文档内容
小学数学思维训练
-- --数阵
一、知识讲解
把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这
样的图形叫做数阵图，有时简称数阵。
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河里浮出一只
大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左
图）。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每
一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是 15（见上右图）。
多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，
国外称它为“魔方”或“幻方”。我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演
变而来的填数问题。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、
横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、
多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分
为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字
的和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备
数阵的特点。
解决数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各
数。有时，因数字存在 不同的组合方法，答案往往不是唯
一的。
二、例题解析：
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和
都是10。
[来源:Zxxk.Com]
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－
例2将自然数1至9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线
上的三个数之和都相等。
解：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一
数填“5”。再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如下图
），便得解答如下。例3将 1～7七个数字，分别填入
图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍
数。设中心数为a，a被重复使用了2次。总和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝
28＋2a，28＋2a应能被3整除。（三条线段分为三组数）
三数。
例4下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角
形中数字的和都是15。解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而
1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重
复使用才能解决。
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。右图是其
中的一种。
例5 在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，
4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形
共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数
字的和应等于：（1＋2＋3＋4）×3＝30
30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，
里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。
[来源:Z。xx。k.Com]三、巩固练习
（一）选择题
1.在下图的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中
间一个数是两边两个数的平均数。
现已填好两个数，那么X=_______。
A.12 B.15 C. 19 D.16（二）填空题
1.把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。
2.1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。
3.将1—8这八个自然数分别填入图中的○内，使每个大圆上五个○内所填
数的和等于21。
（三）解答题
1.将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都
相等。2.请你在下 图的4×4方格
中填上适当的数 字，使图中每条直线上的四个数字之和
都相等。
[来源:学&科&网]
3.在图 (1)中，同一个圆圈内
四个数的和都是15。请在图(2)
中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于
15。
巩固练习答案：
（一）选择：1.C（二）填空：
1.多种填法，其中一种：
2. 图中共有五条线段，全部数字的总和必须是 5的倍数，每条线上的数字
和才能相等。1～11 十 一个数字和为 66，66÷5＝13
余 1，必须再增加 4，可 使各线上数字和为 14。共五
条线，中心数重复使用 4次，中心数与其重复使用次
数“4”的积加上原余数 1，所得的和必须是 5 的倍数。
据此，中心数填1、6、11均可得解。以下为中心数为“1”时的解。
3.解设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大
圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…
+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有
1+5=6、 2+4=6两种情况。如果中间两个○内分别填1和5，另
（三）解答：
1.解：图中共有四个三角形，共有六个边。1～12的数字和是78。每条边
上的数字和应为：78÷6＝13。
这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数
增加1，十二个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是
很多的。
[来源:学.科.网]2.解：要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行
、每一列及两对角线上的四个数
字只能是1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一
特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数。
如下左图，A格中只能填8或3，若A格填8，则B格只能填3或9，尝试B格只
能填3，这样C格必须填9，D格只能填1，E、F两格应分别填8、1，至此，剩
下的空格便可顺利填出了（如下右图）。如果A格中填3，仿刚采用的尝试推导
法，也可得到另一填法(略)。
