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期末检测卷 02（冲刺满分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 的相反数是 ，
故选： ．
2．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【详解】解：根据题意得： ，
解得： 且 ．
故选：D
3．据报道，截止到2020年12月31日，国外累计确诊感染新冠病毒人数已超过 人，数据
用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ．
故选：C．
4．已知 是方程 的一个解，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得： ；故选：C．
5．已知一次函数 ，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数 ，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ，故C正确．
故选：C．
6．如图， 中， 在 的延长线上，过 作 于 ，交 于 ．已知 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
，
在 中， ， ，
，
又 ，
，
在 中， ， ，
．
故选：D．
7．若 与 的相似比为 ，则 与 的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：∵ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的相似比为 ，
故选C．
8．正六边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
【答案】B
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故选：B．
9．如图所示的正方体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，
A选项折叠后“圆”和“三角形”是相对面，不符合题意；
B选项折叠后“三角形”和“三角形”是相对面，不符合题意；
C选项折叠后“三角形”和“三角形”是相对面，不符合题意；
D选项折叠后符合题意，
∴是该正方体的展开图的是D选项，
故选：D．
10．如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ，将 沿 对折至 ，延
长 交边 于点G，连接 、 则下列结论：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【详解】∵四边形 为正方形，将 沿 对折至 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在直角△ECG中，根据勾股定理，得 ，
解得 ．
∴ ，
∴①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ．
又∵ ；
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴②正确；∵ ，
，
∴ ，
∴③正确；
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴④错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． ， ，则 ______．
【答案】
【详解】解： ，
∵ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
12．若点 、 、 在反比例函数 的图像上，则 、 、 的大小关系是
_______．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的解析式是 ，
∴ ，函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 、 、 在反比例函数 的图像上，
∴点A和B在第一象限，点C在第三象限，∴ ．
故答案为： ．
13．在长方形 中， ， ，点E是边 上的一个动点，把 沿BE折叠，点A落在
处，当 是直角三角形时， 的长为______．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，
， ，
当 在 上时， 是直角三角形，如图1所示：
设 ，
由翻折的性质得： ，
，
，
在 中，
，
解得： ，即
14．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，用两
个相同的管子在容器的 高度处（即管子底端离容器底 ）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高 ，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 ，则
注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是 ．
【答案】 ，
【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，且注水1分钟，乙
的水位上升 ，
∴注水1分钟，丙的水位上升 ，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：
①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有：
∴ ，解得： ；
∵ ，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵ 分钟， cm，即经过 分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升 cm，
∴ ，
解得： ；
②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为： 分钟，
∴ ，
解得： ；综上所述：开始注入 ， 分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；
故答案为 ， ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）计算题
(1)
(2)
【答案】(1)34
(2)0
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
16．（8分）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得； ；（2）解：
整理得： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得； ．
17．（8分）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
18．（10分）如图， 为 的直径，弦 于E，连接 ，过A作 ，交 于点F，连接 ，过B作 ，交 的延长线于点G．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴四边形 中， ，
∴半径 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ 是 的直径，
∴ ，
∵直径 于E，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴E为 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴
．
19．（10分）农历正月十五元宵节有吃汤元的习俗、小华的妈妈在包的48个汤元中，有两个汤元用红枣
做馅，与其它汤元不同馅、现每碗盛8个汤元，共盛6碗，且两个红枣汤圆被盛到不同的碗里，小华吃2
碗，
(1)小华吃的两碗中都有红枣汤元的概率；
(2)小华吃到红枣汤元的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：每碗盛8个汤元，48个汤元共可盛6碗，用A、B、C、D、E、F分别表示6碗汤元，
则小华吃两碗，所有可能为：
共15种，设A，B中含有红枣
汤圆，
∴小华吃的两碗中都有红枣汤元的概率是 ；
（2）解：由（1）可知，吃到红枣汤圆的情况有9种，所以概率是 ．
20．（10分）某市初级中学在开展“疫情防控，从我做起”的活动中，为了了解该校学生对疫情防控知识的了解程度，现对该校学生进行随机抽样调查，调查结果分为四种：A．非常了解， B．比较了解， C．
基本了解， D．不太了解．整理数据并绘制了如下不完整的统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是
；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有 名学生，根据以上信息，请你估计全校学生对疫情防控知识“非常了解“和“比较了解
“的共有多少名？
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)全校学生中对疫情防控知识 “非常了解”和“比较了解”的约有 人．
【详解】（1）解：由题意可得，
本次调查的总人数为： （人），
C所对应的扇形百分比为： ，
扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是： ，
故答案为： ； ；
（2）解：由（1）可得，
B的百分比为： ，
B的人数为： （人），
（人），
∴直方图如下图所示：
；（3）解：由题意可得，
“非常了解“和“比较了解“的共有： （人）．
21．（10分）为了丰富学生的课外活动，某校决定购买一批体育活动用品，经调查发现：甲、乙两个体育
用品商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和羽毛球拍．已知每个篮球比每副球拍贵50元，两个篮球与三
副球拍的费用相等，经洽谈，甲体育用品商店的优惠方案是：每购买十个篮球，送一副羽毛球拍；乙商店
的优惠方案是：若购买篮球超过80个，则购买羽毛球拍打八折．该校购买100个篮球和a（ ）副羽
毛球拍．
(1)求每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别是多少？
(2)请用含a的式子分别表示出到甲商店和乙商店购买体育活动用品所花的费用．
(3)当该校购买多少副羽毛球拍时，在甲、乙两个商店购买所需费用一样？
【答案】(1)每副羽毛球拍100元，每个篮球150元
(2)到甲商店购买所花的费用为 ；到乙商店购买所花的费用为
(3)购买50副羽毛球拍时，在甲、乙两个商店购买所需费用一样
【详解】（1）解：设每个篮球的定价是 元，则每幅羽毛球拍是 元，根据题意得
，
解得 ，
．
答：每副羽毛球拍100元，每个篮球150元．
（2）解：到甲商店购买所花的费用为： 元；
到乙商店购买所花的费用为： 元；
（3）解：当在两家商店购买一样合算时，有
，
解得 ．
所以购买50副羽毛球拍时，在甲、乙两个商店购买所需费用一样．
22．（12分）如图1，梯形 中， ， ， ， ， ，M在边 上，
连接 ， ；(1)求 的长；
(2)如图2，作 ， 交 于点E， 交 于点F，若 ， ，求y关于x的函数
解析式，并写出定义域；
(3)若 是等腰三角形，求 的值；
【答案】(1)5
(2)
(3) 或 或8
【详解】（1）解：过点D作 于点P，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ．
（2）解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
整理得： ．
（3）①当点E在线段 上时，
由（2）可得 ，
∵ 为等腰三角形，
∴ 为等腰三角形，
当 时， ；
当 时，过点M作 于点Q，
由（1）可得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，不符合题意，舍去；=
当 时，过点E作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
②当点E在 延长线上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴当点E在 延长线上时， 只能为等腰三角形 的顶角，
∴ ，
∴ ．
综上： 或 或8．
23．（14分）如图，在直角坐标系中有 ， 为坐标原点， ， ，将此三角形绕原
点 顺时针旋转 ，得到 ，二次函数 的图象刚好经过 ， ， 三点．(1)求二次函数的解析式及顶点 的坐标；
(2)过定点 的直线 与二次函数图象相交于M， 两点．
①若 ，求 的值；
②证明：无论 为何值， 恒为直角三角形；
③当直线 绕着定点 旋转时， 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【答案】(1) ，
(2)① ；②见解析；③
【详解】（1）解： ，
，
根据旋转的性质可得： ，
，
把 、 分别代入解析式，得
，
解得： ，
二次函数的解析式为 ，
，
顶点坐标为 ；（2）解：①设 ，
直线 ： 过定点 ，抛物线的顶点坐标为 ，
，
，
，
联立
得 ，
，
，
；
②证明：过点 作 轴，垂足为 ，分别过点 ， 作 的垂线，垂足分别为 、 ，
设 ．
， 在二次函数 图象上，
， ．
，
， ， ，
，，
，
由①可知 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
无论 为何值， 恒为直角三角形；
③解：∵ 恒为直角三角形， ，
∴ 外接圆圆心是线段 的中点；
设线段 的中点 ，
∵ ， ， ．
∴
∴ 的中点为 ，
，化简，得 ，
抛物线的表达式为 ．
