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期末考前基础练练练-圆
一．圆的认识（共2小题）
1．已知 O中最长的弦为10，则 O的半径是（ ）
A．1⊙0 B．20 ⊙ C．5 D．15
【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵最长的弦长为10，
∴ O的直径为10，
∴⊙O的半径为5．
故⊙选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、
等圆、等弧等）．
2．下列说法，其中正确的有（ ）
①过圆心的线段是直径
②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形
③大于半圆的弧叫做劣弧
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆的有关概念进项分析即可．
【解答】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；
②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；
③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．
二．垂径定理（共3小题）
3．如图，AB是 O的弦，半径 OC⊥AB于点 D，若 O的半径为 10cm，AB＝16cm，则 OD 的长是
（ ） ⊙ ⊙A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝ AB＝8cm，再由勾股定理求出OD的长即可．
【解答】解：如图，连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝ AB＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝ ＝ ＝6（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．
4．如图，AB，CD是 O的两条平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之间的距离为5，则 O的直径是（
） ⊙ ⊙
A． B．2 C．8 D．10
【分析】作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，设OM＝x，
∴MB＝ AB＝2，DN＝ CD＝3，
∵OB2＝OM2+MB2，
∴OB2＝x2+22，
∵OD2＝ON2+DN2，
∴OD2＝（5﹣x）2+32，
∵OB＝OD，
∴x2+4＝（5﹣x）2+9，
∴x＝3，
∴OB2＝32+4＝13，
∴OB＝ ，
∴ O直径长是2 ，
故
⊙
选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作 OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD
构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理．
5．（1）解方程：x2﹣4x＝0．
（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在 O的半径r
的长． ⊙
【分析】设 O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r﹣2，则利用勾股定理得到62+（r﹣
2）2＝r2，然⊙后解方程即可．
【解答】（1）解：∵x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，
∴x ＝0，x ＝4；
1 2
（2）解：设 O的半径为r，
∵CD⊥AB并⊙经过圆心O，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAD中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
即 O的半径的长为5．
【⊙点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定
理．
三．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）
6．如图，AB为 O的直径，C是BA延长线上一点，点D在 O上，且CD＝OA，CD的延长线交 O于
点E，若∠C＝⊙23°，试求∠EOB的度数． ⊙ ⊙
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和
三角形外角性质是关键．
7．如图，AB是 O直径， ，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于
⊙
点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．【分析】（1）连接AD，证明∠A＝∠F，再根据三线合一即可证明AE＝EF；
（2）先求出DE＝CE＝5，由∠C的正切求出BE＝ ，从而得到BF的值，在Rt△BGF中即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径， ，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE＝90°，
∵CG⊥DF，
∠F+∠FBG＝90°，
又∵∠CBE＝∠FBG
∴∠C＝∠F，
∵ ，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠F，
又∵AF⊥DE，
∴AE＝EF；
（2）解：∵CD＝EF＝10，AB⊥CD，
∴DE＝CE＝ EF＝5，
∴tan∠F＝tan∠C＝ ，
∴BE＝ CE＝ ，
∴BF＝EF﹣BE＝10﹣ ＝ ，∴BG＝ ．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系等圆的有关知识和三角函数，第（2）问解题的关键是求出
BF的长．
8．如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且
E是 的中点．
（1）求证：E是FC的中点．
（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．
【分析】（1）连接AC，根据AC为圆O的直径，得到∠AEC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧
相等，根据等弧对的圆周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接CD，利用面积法求出FC与AF比值，设FC，根据勾股定理求出x的值，即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是圆O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC，∵E为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（ASA），
∴EC＝EF，
∴E为FC的中点；
（2）连接CD，
∵FA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCB是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵S△AFC ＝ FC•AE＝ AF•CD，
∴5FC＝6AF，
∴ ＝ ，
设FC＝12x，则AF＝10x，
∵E为FC的中点，
∴FE＝ FC＝6x，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，
即52+（6x）2＝（10x）2，
解得：x＝ ，
∴AF＝10x＝ ．【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形
的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
四．圆周角定理（共3小题）
9．如图，已知AB是半圆O的直径，点C和点D是半圆上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝CD．
【分析】利用直径所对的圆周角是90°，可得AC⊥BC，再利用OD∥BC，可得OD⊥AC，最后利用垂
径定理即可求证．
【解答】证明：∵AB是半圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴ ，
∴AD＝CD．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得到 ．
10．已知：如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．
⊙
（1）若 ＝104°，求∠BAD的度数．
（2）点G是 上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．【分析】（1）由圆周角定理的推论即可计算；
（2）由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明．
【解答】（1）解：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，
⊙
∴ ＝ ，
∵ ＝104°，
∴ ＝52°，
∴∠BAD＝ ×52°＝26°；
（2）证明：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，
⊙
∴ ＝ ，
∴∠AGD＝∠ADC．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理的讨论，关键是掌握：垂直于弦的直径平分弦对的两条弧；同
弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧度数的一半．
11．如图，C是 的中点，∠AOC＝4∠B，OC＝4．
（1）求∠A的度数；
（2）求线段AB的长度．【分析】（1）延长CO交AB于H，连接BC，根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角性质
推出∠A＝30°；
（2）解直角三角形求出AH＝2 ，根据垂径定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长CO交AB于H，连接BC，
∵C是 的中点，
∵ ＝ ，
∴CH⊥AB，AH＝BH，
∴∠AHO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠AOC＝90°+∠A＝4∠OBA，
∴∠A＝30°；
（2）∵OA＝OC＝4，CH⊥AB，∠A＝30°，
∴OH＝ OA＝2，
∴AH＝ ＝ ＝2 ，
∴AB＝2AH＝4 ．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，属于中考常考题型．
五．圆内接四边形的性质（共3小题）
12．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE；
（2）解：∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．如图，四边形ABCD内接于 O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED． ⊙
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则 O的直径长为 1 0 ．
⊙
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到BD＝ED；
（2）连接DO并延长交 O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD，AD
＝CD＝5，求得∠F＝30°⊙，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
∴AD＝DC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°⊙，∵∠ECD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：连接DO并延长交 O于F，连接CF，
则∠FCD＝90°， ⊙
∵D是弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠F＝∠DBC＝30°，
∴DF＝2CD＝10，
∴ O的直径长为10，
故⊙答案为：10．
【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
14．如图，点A、B、C、D都在 O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数； ⊙
（2）求∠ACB的度数；【分析】（1）根据垂径定理得出 ，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）连接BD，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【解答】解：（1）∵点A、B、C、D都在 O上，OC⊥AB，
⊙
∴ ，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）连接BD，
∵ ，
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝120°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定
理是解决问题的关键．
六．点与圆的位置关系（共2小题）
15．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
【分析】搞清楚P点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的关系为差为直径（P为圆外一点），
本题易解．
【解答】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的
直径是7﹣1＝6（cm），因而半径是3cm．
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确
定圆的半径．
16．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在 P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置； ⊙
（2）点P的坐标是 ， P的半径是 ．
⊙
【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点．
【解答】解：（1）弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是
（6，6）．
（2）点P的坐标是， P的半径是P的半径是PA的长， ，
故答案为：（6，6），⊙ 5．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．
七．确定圆的条件（共2小题）
17．下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确
定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．
【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
③三点必须不在同一条直线上，故此选项错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；
故正确的有1个，
故选：A．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心角、弧、
弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．
18．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷
盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．
【分析】根据垂径定理，在残破的圆形瓷盘上任取两个弦，分别作弦的垂直平分线即可．
【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．
【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①
过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上
述5条中任意2条，则其他3条成立．
八．三角形的外接圆与外心（共4小题）
19．如图， O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的大小为（ ）
⊙
A．30° B．60° C．80° D．120°
【分析】由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB＝30°，则∠BOC＝120°，即可根据圆周角定理求得∠A＝
∠BOC＝60°，得到问题的答案．
【解答】解：∵ O是△ABC的外接圆，
∴OB＝OC， ⊙
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，
∴∠A＝ ∠BOC＝60°，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，根据等腰三角形的
性质求出∠BOC的度数是解题的关键．
20．如图，△ABC的三个顶点在 O上， O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．
⊙ ⊙【分析】连接CO并延长交 O于D，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，根据勾股定
理即可得到结论． ⊙
【解答】解：连接CO并延长交 O于D，连接BD，
则∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°⊙，
∵ O的半径为5，
∴⊙CD＝10，
∴BD＝ CD＝5，
∴BC＝ ＝ ＝5 ，
故弦BC的长为5 ．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅
助线是解题的关键．
21．如图，△ABC是 O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交 O于点D，交AB于点E，连接
AD、BD． ⊙ ⊙
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝
∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的结论可得 ＝ ，从而可得AD
＝DB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，
∴∠AED的度数为70°；
（2）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°⊙，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ ＝2 ，
∴AD的长为2 ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接
BD．求证：DB＝DE．【分析】根据角平分线定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到 ＝ ，根据圆周角定理得到
∠DBC＝∠BAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴ 和 所对的圆心角相等，
∴ ＝ ，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB．
【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线定义是
解题的关键．
九．直线与圆的位置关系（共3小题）
23．如图，已知∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位
置关系，并说明理由．
【分析】利用直线l和 O相切 d＝r，进而判断得出即可．
【解答】解：相切， ⊙ ⇔
理由：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝6，
∴DC＝3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．
24．如图，AB是 O的直径，AN、AC是 O的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点
M，且AM⊥PM⊙，∠PCB＝∠PAC． ⊙
（1）试判断直线PC与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝10，∠P＝⊙30°，求MN的长．
【分析】（1）连结OC，则OA＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠ACO．求得∠PCB＝
∠ACO．根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OC⊥PC．根据切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据直角三角形的性质得到∠COP＝60°．解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）直线PC与 O相切．
理由：连结OC，则OA＝OC，⊙
∴∠PAC＝∠ACO．
∵∠PCB＝∠PAC，
∴∠PCB＝∠ACO．
∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB．
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC．
∵OC为半径，∴直线PC与 O相切．
（2）∵∠P＝⊙30°，∠OCP＝90°，
∴∠COP＝60°．
∵AB＝10，
∴AN＝5，
∴ ．
∴ ．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键：熟练掌
握圆的切线的判定方法．
25．如图，在△ABC中，BD＝DC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC； ⊙
（2）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，可得结论；
（2）连接OD，利用三角形中位线定理可得OD∥AC，从而证明OD⊥DE，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC， ⊙
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB＝AC
（2）解：直线DE与 O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：⊙
由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴DE与⊙O相切．
【点评】⊙本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握切线的判
定方法是解题的关键．
一十．切线的性质（共3小题）
26．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在 O上，过点B作 O的切线交OA的延长线于点D．若 O的
半径为2，则BD的长为（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．4 B．3 C．2 D．2
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得
到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是 O的切线，
∴∠OBD⊙＝90°，
∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝ ＝2 ，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过
切点的半径是解题的关键．
27．如图，AB是 O的弦，直线BC与 O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．
（1）求证：AB⊙平分∠OAD； ⊙
（2）点E是 O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．
⊙
【分析】（1）根据切线的性质得到OB⊥BC，证明AD∥OB，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠OBA，
根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，等量代换证明结论；
（2）分点E在优弧AB上、在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵直线BC与 O相切于点B，
∴OB⊥BC， ⊙
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB＝∠OBA，∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB＝∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：当点E在优弧AB上时，∠AEB＝ ∠AOB＝50°，
当点E′在劣弧AB上时，∠AE′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述，∠AEB的度数为50°或130°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
28．如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点，AC是直径．
（1）连接BC，OP⊙，求证：OP∥BC；
（2）若OP与AB交于点D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直径AC的长．
【分析】（1）连接OB，根据线段垂直平分线的判定定理得到OP⊥AB，根据圆周角定理得到∠ABC＝
90°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据相似三角形的性质得到AD2＝OD•DP，求出OD，根据勾
股定理求出OA，进而求出AC．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵PA，PB是 O的切线，
∴PA＝PB，⊙
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是 O的直径，
⊙∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADO，
∴OP∥BC；
（2）解：设OD＝x，则DP＝4x，
∵PA是 O的切线，
∴∠OA⊙P＝90°，AD⊥OP，
∴AD2＝OD•DP，即22＝x•4x，
解得：x＝1（负值舍去），
∴OD＝1，
由勾股定理得：OA＝ ＝ ，
∴AC＝2 ．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半
径是解题的关键．
一十一．切线的判定（共3小题）
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的 O分别交AC、BC于
点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E． ⊙
（1）若 O的半径为 ，AC＝5，求BN的长；
（2）求⊙证：NE是 O的切线．
⊙
【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB，由勾股定理可求BC，由等腰三角形的性质可得BN＝6；（2）欲证明NE为 O的切线，只要证明ON⊥NE．
【解答】解：（1）⊙连接DN，ON，
∵ O的半径为 ，
⊙
∴CD＝ ，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD＝ ．
∴AB＝13，
∴BC＝ ＝12，
∵CD为直径，
∴∠CND＝90°，且BD＝CD．
∴BN＝NC＝6．
（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝ AB．
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC．
∴∠ONC＝∠B．
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE．
∴NE为 O的切线．
【点评】⊙本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
30．如图，以△ABC的边BC的长为直径作 O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是 O的切线．
⊙ ⊙
【分析】根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，根据题意得到AB⊥BC，根据切线的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BC为 O的直径，
∴∠BDC＝90°， ⊙
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DBC，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BC，
∵BC为 O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
【点评】⊙本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线是解题的关键．
31．如图，A，B，C，D是 O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点
E． ⊙
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是 O的切线．
⊙
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性
质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，
根据切线的判定定理证明结论．【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA是 O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
⊙
【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握经过半径
的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
一十二．切线的判定与性质（共2小题）
32．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交 于点E，点F为OD的延长线上一点且满
足∠B＝∠F．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝4，∠⊙B＝30°，连接AD，求AD的长．
【分析】（1）欲证明CF为 O的切线，只要证明即OC⊥CF即可；
（2）利用圆周角定理和勾股⊙定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接CO，∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠B＝∠F，
∴∠OCB＝∠F，
∵OD⊥BC，
∴∠DCF+∠F＝90°，
∴∠DCF+∠OCB＝90°．
即OC⊥CF，
∴CF是 O的切线．
（2）解⊙：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝2BC＝ ，
∴ ，
在Rt△ACD中，
AD＝ ＝ ．
【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的基本性质，学会添加常用辅助线，构造直角三角形是
解决问题的关键．
33．如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长
EC，AB交于点F，∠ECD＝∠⊙BCF． ⊙
（1）求证：CE为 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为5，DE＝1，求CD的长．
⊙【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于 O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代
换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结⊙论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形
是矩形得四边形OGEC是矩形，设 O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接⊙OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠CDE＝∠OBC， ⊙
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是 O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解⊙：如下图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，
∴EC＝OG＝ ＝3，∴CD＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线
的判定是本题的关键．
一十三．切线长定理（共3小题）
34．如图， O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为
O的切⊙线，则△CDE的周长为（ ）
⊙
A．9 B．7 C．11 D．8
【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝
DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求
解即可．
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
35．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、
OC、OH，则圆的半径 R，可以看作△BOC，△COD，△AOD 的高，根据 S 梯形 ABCD ＝
S△BOC +S△COD +S△DOA ，以及梯形的面积公式即可求解．
方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB
＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD ＝S
则S＝ （CD+AB）R＝ （y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC +S△COD +S△DOA
＝ xR+ yR+ ×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是 O的切线，
∴∠ADO＝∠⊙ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA＝6．
36．如图，PA和PB是 O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画 O的切线，分
别交PA和PB于D，⊙E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长． ⊙
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA和PB是 O的两条切线，
∴PA＝PB， ⊙
同理可得：DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
一十四．三角形的内切圆与内心（共2小题）
37．如图，△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则
△ABC的周长为（ ）⊙
A．10 B．12 C．14 D．16【分析】根据切线长定理得出AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF＝CE＝3，再求出△ABC的周长即可．
【解答】解：∵△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AD＝BD＝2，EC＝3，
∴AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF⊙＝CE＝3，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC
＝AD+BD+BE+CE+AF+CF
＝2+2+2+3+3+2
＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，能熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等是解此题的关键．
38．如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，
则线段DB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】连结BI，先由△ABC是等边三角形证明∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，则∠D＝∠C＝60°，再根
据三角形的内心的定义证明∠IAB＝ ∠BAC＝30°，∠IBA＝ ∠ABC＝30°，即可证明AD是△ABC外
接圆的直径，再证明△DBI是等边三角形，则DI＝BI，即可证明DI＝AI＝ AD＝2，则BD＝DI＝2．
【解答】解：如图，连接BI，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点I为等边△ABC的内心，
∴∠IAB＝ ∠BAC＝30°，∠IBA＝ ∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，∴AD是△ABC外接圆的直径，
∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴DI＝BI，
∵∠IAB＝∠IBA，
∴AI＝BI，
∴DI＝AI＝ AD＝2，
∴BD＝DI＝2，
∴线段DB的长为2，
故选：A．
【点评】此题重点考查三角形的内心与三角形的外心的性质、等边三角形的判定与性质、90°的圆周角
所对的弦是直径、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助
线是解题的关键．
一十五．正多边形和圆（共5小题）
39．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边
形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形
的性质求出OH即可．
【解答】解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，
∵ O的直径为4cm，
∴⊙OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵OH⊥AB，
∴BH＝ AB＝ ×2＝1（cm），
∴OH＝ ＝ （cm），
∴正六边形纸片的边心距是 cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解
答是解答此题的关键．
40．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的
度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【分析】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP
＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝ ＝120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP
＝∠CMB是解决此题的关键．
41．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CMD的大小为（ ）
⊙
A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】由正六边形的性质得出∠COD＝60°，由圆周角定理求出∠CMD＝30°．
【解答】解：连接OC，OD，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CMD＝ COD＝30°，
故选：C．【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出
∠AOB＝60°是解决问题的关键．
42．如图，正方形ABCD内接于 O， ＝ ，求证：BM＝CM．
⊙
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧
之间的关系定理是解题的关键．
43．如图，已知 O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r 、面积S ．
6 6
⊙【分析】连接OB，OG⊥CB于G，易得△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然
后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形 ＝6S△OBC 求得答案．
【解答】解：连接OB，OG⊥CB于G，
∵∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴CG＝BG＝ CB＝ ×6＝3cm，
在Rt△COG中，r ＝OG＝ ＝3 （cm），
6
∴S ＝ ×6×6×3 ＝54 （cm2）．
6
【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌
握数形结合思想的应用．
一十六．弧长的计算（共2小题）
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．
（1）求证：AD＝3BD；
（2）求 的长．（结果保留 ）
π【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）直接利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BD的长为 ＝ ．
【点评】本题考查弧长公式、直角三角形的性质、解题的关键是正确记忆相关知识点．
45．如图，AB是 O的直径，CD是弦，点C，D在AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，
CD＝4，求弧C⊙D的长．
【分析】根据平角定义和已知条件求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，进而求出∠COD＝90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝ ×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
在Rt△OCD中，OD＝OC，CD＝4，OC2+OD2＝CD2，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2 ，
∴ 的长＝ ＝ ，
即弧CD的长为 ． π
【点评】本题考查了
π
勾股定理和弧长公式，根据勾股定理能求出半径OD的长是解此题的关键．
一十七．扇形面积的计算（共4小题）
46．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB＝120°，半
径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留 ）
π
【分析】直接利用弧长公式和扇形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为6m，
∴该扇形的弧长为： ＝4 （m），面积为 ＝12 （m2）．
π π
答：该扇形的弧长与面积分别为4 m和12 m2．
【点评】此题主要考查了弧长公式π及扇形面π积公式的应用，熟练记忆弧长公式及扇形面积公式是解题关
键．
47．如图所示，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交 A
于点G． ▱ ⊙
（1）求证： ＝ ；
（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．【分析】（1）由同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等即可证明；
（2）根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积，即可计算．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴∠GAE＝∠EAF，
∴ ＝ ；
（2）解：作AH⊥BF于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴BF＝AB＝2，∠BAF＝60°，
∴S扇形ABF ＝ × ×22＝ ，
π
∵sin∠ABH＝ ，
∴AH＝AB•sin∠ABH，
∴AH＝2× ＝ ，∵S△ABF ＝ BF•AH，
∴S△ABF ＝ ×2× ＝ ，
∴S阴 ＝ ﹣ ．
【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握：在同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等；正确表示出
阴影的面积．
48．如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的⊙长；
（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？
【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）S
1
＝S扇形OAC ﹣S△OAC ，S
2
＝S扇形OBC ﹣S△OBC 即可求解．
【解答】解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，
又∵OC＝2，
∴OE＝ OC＝1，
∴ ．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE．
∴ ．（2）S
1
＝S扇形OAC ﹣S△OAC ＝ ＝ ．
S
2
＝S扇形OBC ﹣S△OBC ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积
的和或差求解．
49．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．
（1）若 ＝ ．求证：AB＝AC；
（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是 ﹣ ．（结果保留
和根号） π π
【分析】（1）先根据AB为直径得∠AEC＝∠AEB＝90°，由弧DE＝弧BE，得∠BAE＝∠CAE，根据
ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB＝AC；
（2）连接OE，作EF⊥OB于点F，由D、E为半圆的三等分点，可证明△OBE为等边三角形，由S阴影
＝S扇形BOE ﹣S△BOE 即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵ ＝ ，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC；
（2）解：如图，连接OE，作EF⊥OB于点F，
∵D、E为半圆的三等分点，
∴∠BOE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴OF＝ OB＝1，
∴EF＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝S扇形BOE ﹣S△BOE ＝ ﹣ ×2× ＝ ﹣ ．
π
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题π主要考查了圆周角定理、扇形的面积公式以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作
辅助线，构造全等三角形．解题时注意面积法的运用．
一十八．圆锥的计算（共6小题）
50．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．6
【分析】利用圆锥的弧长等于底面周长可得圆锥的母线长．【解答】解：设母线长为R，由题意得：2 ×1＝ ，
解得：R＝3， π
故选：B．
【点评】此题考查圆锥的计算，关键是利用圆锥的弧长等于底面周长（2 r＝ ）可得圆锥的母线长
解答． π
51．如图，圆锥母线长l＝8，底面圆半径r＝2，则圆锥侧面展开图的圆心角 是（ ）
θ
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公
式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2 ×2＝4 ，
π π
设圆心角 的度数是n度．则 ＝4 ，
解得：n＝θ90． π
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
52．若圆锥的底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2 cm2，则圆锥的母线长为（ ）
π
A．2cm B． C． cm D．3cm
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝ rl代入数据求出π圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式π：S＝ rl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为2 cm2，
故2 ＝ ×1×l， π π
解得π：l＝π 2（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
53．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图
为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 ＝2 r，解方程求出r，然后计
算9﹣2r即可． π
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，
根据题意得 ＝2 r，
解得r＝2， π
所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
54．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．
（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．
【分析】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾
股定理求出AD，进而求出AC；
（2）根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，则AD＝DC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝ OA＝2，
∴AD＝ ＝ ，
∴AC＝2AD＝2 ，即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2 ；
（2）扇形BAC的弧长为： ＝ ，
∴圆锥形铁帽的底面周长为 ，
∴2 r＝ ，
π
解得：r＝ ．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长，要熟记弧长公式和扇形的面积公式．
55．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．
【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2 ×40×50＝2000 （cm2），
所以裁剪的面积为2000 cm2． π π
π【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
