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第11章 三角形 单元检测
一、单选题
1．下列每组数分别是三根木棒的长度不能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，6cm，10cm D．5cm，8cm，12cm
【答案】B
【解析】【解答】因为 3+4=7>5 ，所以A选项的三根木棒可以摆成三角形；因为
5+6=11>10 ，所以C选项的三根木棒可以摆成三角形；因为 5+8=13>12 ，故答
案为：D的三根木棒可以摆成三角形；因为 8+7=15 ，所以B选项的三根木棒不可
以摆成三角形.
故答案为：B.
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
2．如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【分析】由外角定义可知：在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，只有∠4为
△ABC的外角。
故选A．
3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差
是( )
A．2 B．3 C．6 D．不能确
定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣
3=2.故答案为：A.
【分析】根据三角形中线的定义得出AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法及等式
的性质即可得出答案.
4．已知三角形的两边长分别是5cm和10cm，则下列长度的线段中不能作为第三边的
是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．14cm
【答案】A
【解析】【解答】解：设三角形第三边的长为x，
∵三角形的两边长分别是5cm和10cm，
∴10cm﹣5cm＜x＜10cm+5cm，即5cm＜x＜15cm，
∴四个选项中只有A不符合．
故选A．
【分析】设三角形第三边的长为x，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出
不符合条件的x的值即可．
5．如图，在△ABC中，E，F分别是AD，CE边的中点，且S =4cm2，则S 为（
△BEF △ABC
）
A．1cm2 B．2cm2 C．8cm2 D．16cm2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABE 2 △ABD △ACE 2 △ADC
1
∴S +S = S ，
△ABE △ACE 2 △ABC
1
∴S = S ，
△BCE 2 △ABC
∵点F是CE的中点，
1
∴S = S ．
△BEF 2 △BCE
∴S =16cm2
△ABC
故选D
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．6．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，
则∠a的度数是( )
A．42° B．40° C．36° D．32°
【答案】A
【解析】【解答】解：正方形的内角=90°
正五边形的内角=180°×（5-2）÷5=108°
正六边形的内角=180°×（6-2）÷6=120°
∴∠α=360°-108°-120°-90°=42°。
故答案为：A.
【分析】根据题意，由多边形的内角和计算得到正多边形的内角，根据周角的度数求
出答案即可、
7．一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【分析】n边形的内角和公式为（n-2)180°，由此列方程求边数n．
【解答】设这个多边形的边数为n，
则（n-2)180°=540°，
解得n=5，
故选B．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公
式进行正确运算、变形和数据处理．
8．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ）
A．3，7，5 B．3x，4x，5x(x>0)
C．5，5，a(0b>c>0)
【答案】D
【解析】【分析】根据三角形的三边关系，即“三角形的任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边”进行注意分析排除．
【解答】A、∵3+7＞5，7-3＜5，能够组成三角形；
B、∵x＞0，∴3x+4x＞5x，4x-3x＜5x，能够组成三角形；
C、∵0＜a＜10，∴5-5＜a＜5+5，能够组成三角形；
D、如a=3，b=2，c=1，则a2-b2=5＞c2，不能组成三角形．故选D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，当遇到字母的时候，只要举出一个反例，即
可说明错误
9．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
【答案】B
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、3+2＜6，不能够组成三角形．
故选B．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边”，进行分析．
10．一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC//DE；②如果
BC//AD，则有∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD随着∠2的变化而变化；④如果∠4＝45°，
那么∠1＝60°，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．
①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°，
∵∠AED＝60°，
∴∠1＝∠AED，
∴AC//DE；
所以①正确；
②∵BC//AD，
∴∠B＝∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°；
所以②正确；③∵∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CAD随着∠2的变化不会发生变化；
所以③错误；
④如图，
∵∠EGF＝∠4＝45°，∠FEG＝60°，
∴∠GFA＝45°+60°＝105°，
∵∠GFA＝∠C+∠1，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝60°.
所以④正确.
所以其中正确的是①②④.
故答案为：B.
【分析】① 如果∠2＝30°，则∠1=∠E，则有AC//DE，正确；
② 如果BC//AD，则∠B=∠3=45°，则有∠2＝45° ，正确；
③ ∠BAE+∠CAD =180°，故错误；
④∠4=∠C=45°，则AC//DE，则∠1=∠E=60°，正确.
二、填空题
1
11．如图，若BD是△ABC的角平分线，则∠1=∠ = ∠
2
【答案】2；ABC
【解析】【解答】∵BD是△ABC的角平分线，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC．
2
故填∠2，∠ABC．
【分析】根据角平分线的意义即可求解。12．如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是 .
【答案】8
【解析】【解答】解：正多边形的一个外角为45°，
360∘
那么它的边数是 =8.
45∘
故答案为：8.
【分析】利用正多边形的每一个外角相等，且任何多边形的外角和都等于360°，因此
利用360°÷一个外角的度数，可求出其边数.
13．已知三角形的两边分别是5和10，则第三边长x的取值范围是 ．
【答案】5＜x＜15
【解析】【解答】根据三角形的三边关系可得：10－5＜x＜10＋5，
解得：5＜x＜15．
故答案为：5＜x＜15．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
即可得答案．
14．一个多边形的每一个内角为150°，那么这个多边形是 边形．
【答案】十二
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，由题意可得：
180⋅(n-2)＝150⋅n ，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理： 180°⋅(n-2) 可得
180°⋅(n-2)＝150°⋅n ，再解方程求解即可．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P
从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．
若设点P运动的时间是t秒，那么当t= ，△APE的面积等于6．
【答案】1.5或5或9
【解析】【解答】解：当P在AC上，
则AP=2t, CE=4,
1 1
S = AP×EC= ×2t·4=4t=6,解得t=1.5 ;
△APE 2 2当P在CE上时，
PE=4-（t-3）×1=7-t，
1 1
S = PE×AC= ×(7-t)·6=3(7-t)=6,解得t=5 ;
△APE 2 2
当P在EB上时，
PE=（t-3）×1-4=t-7，
1 1
S = PE×AC= ×(t-7)·6=3(t-7)=6,解得t=9.
△APE 2 2
故答案为：1.5或5或9
【分析】分三种情况讨论，即当P在AC上，P在CE上和P在EB上，分别求出△APE
的底和高或用含t的代数式表示，代入三角形面积公式，根据面积等于6列等式，即可
求出t值。
三、解答题
16．如图，AD是△ABC的中线，AH是△ABC的高，BD=1，AH=2，求△ABC的面
积.
【答案】解：∵AD是△ABC的中线
∴BC=2BD
∵BD=1
∴BC=2
∵AH是△ABC的高，且AH=2
1 1
∴S△ABC= BC·AH= ×2×2=2；
2 2
答：△ABC的面积为2.
【解析】【分析】由中线的定义，求出BC的长度，然后再根据三角形的面积计算公式
求出△ABC的面积.
17．已知：某个多边形的内角与外角和的比是3：1，求这个多边形的边数．(n-2)×180°
【答案】解：设这个多边形的边数为n，则有 =3，解得：n=8．
360°
∴这个多边形的边数为8．
【解析】【分析】本题由题意得出等量关系即多边形的内角和与外角和的比是3：1，
列出方程解出即可．
18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2
的度数.
【答案】解：设∠2=x°，∴∠1=x°+5°∴∠3=∠1+∠2=x+x+5°，∵∠3=∠4，
∴∠4=x+x+5°，在ΔABC中，∠2+∠4+∠BAC=180°，∴∠2+∠4=180°-∠BAC，
∴x+x+x+5°=180°-85°，解得，x=30°，∴∠2=30°.
【解析】【分析】根据题意设∠2=x°，用含x的代数式表示出∠1，再利用三角形的外
角性质表示出∠3、∠4，再根据∠BAC=180°-∠2-∠4，建立关于x的方程，求解即可。
四、综合题
19．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB＝∠DBE.
（1） DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A＝40°，∠ADE＝60°，求∠C的度数.
【答案】（1）DE 与 BC 平行.
∵BE 是 △ABC 的角平分线 ，
∴∠DBE=∠EBC.
∵∠DEB=∠DBE,
∴∠DEB=∠EBC.
∴DE∥BC.
（2）∵DE∥BC.∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ADE=60°,
∴∠ABC=60°.
△ABC 中： ∠A+∠ABC+∠C=180°.
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-40°=80°.
【分析】
【解析】【分析】（1）由 BE是△ABC的角平分线可得 ∠DBE=∠EBC，且 ∠DEB
＝∠DBE 易得 ∠DEB=∠EBC可得结果；
（2）由（1）可得 DE∥BC ，即可得 ∠ABC=∠ADE，根据三角形内角和可得结
果.
20．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1） 求这个多边形是几边形；
（2） 求这个多边形的内角和
1
【答案】（1） 设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为 x，
2
1
由题意得，x+ x=180°，
2
解得，x=120°，
1
x=60°，
2
360
这个多边形的边数为： =6，
60
答：这个多边形是六边形
（2）解：由（1）知，该多边形是六边形，∴内角和=（6﹣2）×180°=720°
答：这个多边形的内角和为720°。
1
【解析】【分析】（1） 设内角为x，则外角为 x， 根据多边形的一个外角与其相
2
邻的内角互补，列出方程，求解得出x的值，进而算出多边形的每一个外角的度数，
又任何多边形的外角和都是360°，从而用外角和的总度数除以每一个外角的度数，即
可算出外角的个数，即多边形的边数；
（2）根据（1）可知多边形每一个内角都是120°，该多边形是6边形，利用多边形的
内角和公式（n-2）×180°即可算出该多边形的内角和。
21．根据多边形回答
（1）过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分多边形所得的三角形
个数的和为21，求这个多边形的边数；
（2）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理．
【答案】（1）解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，n﹣3+n﹣2=21，
解得，n=13；
（2）解：
由题意得，n﹣3+n﹣2=2016，
2021
解得，n= ，
2
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对
角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016．
【解析】【分析】（1）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，这些对
角线分多边形所得的三角形个数是（n﹣2）列式计算；
（2）与（1）相同的思路，求出边数n进行判断．
22．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB=∠DBE．
（1）DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A=40°，∠ADE=60°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：DE∥BC．
理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∵∠DEB=∠DBE，
∴∠DEB=∠EBC，
∴DE∥BC
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ADE=60°，
∴∠ABC=60°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣40°﹣60°=80°
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE=∠EBC，从而求出∠DEB=∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）根据两直线平行，
同位角相等可得∠ABC=∠ADE，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
23．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出
∠G的度数 ．
【答案】（1）解： ∵∠B=40°，∠C=60°，∠BAC+∠B+∠C=180°
∴∠BAC=80°
∵AE 是 ΔABC 的高，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CAE=90°-60°=30°
∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，
1
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=40° ，
2
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°
（2）解： ∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
∵AE 是 ΔABC 的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠C
∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，
1
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC ，
2
1
∴∠DAE=CAD-∠CAE= ∠BAC-(90°-∠C)
2
1
= (180°-∠Β-∠C)-90°+∠C
21 1
= ∠C- ∠B
2 2
1 1
即 ∠DAE= ∠C- ∠B ；
2 2
（3）45°
【解析】【解答】解：（3） ∵∠CAE 和 ∠BCF 的角平分线交于点 G ，
∴∠CAE=2∠CAG，∠FCB=2∠FCG
∵∠CAE=∠FCB-∠AEC，∠CAG=∠FCG-∠G
∴2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G ，即 ∠AEC=2∠G ，
∵AE 是 ΔABC 的高，
∴∠AEC=90° ，
∴∠G=45° ．
故答案为：45°．
【分析】(1)先根据三角形的内角和代理求得∠BAC=80°，∠CAE=90°-60°=30°，
1
再根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAD= ∠BAC=40° ，最后根据角的和差解
2
答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理得出∠BAC=180°-∠B-∠C、∠CAE=90°-∠C，
1
再根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAD= ∠BAC ，再根据角的和差表示出即
2
可；
（3）先根据角平分线的定义得出∠CAE=2∠CAG，∠FCB=2∠FCG，再结合三
角形外角的性质得出∠AEC=2∠G ，再根据题意得出∠AEC=90° ，最后算出∠G
即可 ．
