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第 23 章 一次函数 知识清单
23.1 一次函数的概念
基本概念
• 正比例函数：形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫
做比例系数。
• 一次函数：形如 y=kx+b（k,b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。
解题技巧
• 判断一个函数是否为一次函数，关键看它是否能化成 y=kx+b（k≠0）的形式。
• 若已知函数是正比例函数，则 b=0 且 k≠0。
易错点拨
• 一次函数的定义中，k≠0 是核心条件。若 k=0，则 y=b 是常数函数，不是一次函
数。
• 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
典型例题
例：已知函数
y=(m-2)xm2-3+3-m。
（1）当 m 为何值时，y 是 x 的一次函数？
（2）当 m 为何值时，y 是 x 的正比例函数？
解：（1）若 y 是一次函数，则需满足：m2-3=1且m-2≠0
解得 m2=4，即 m=±2。
又 m≠2，所以 m=-2。
（2）若 y 是正比例函数，则需满足：m2-3=1且m-2≠0，3-m = 0，
m=-2且m=3，
所以不存在这样的 m 值，使 y 是 x 的正比例函数。
23.2 一次函数的图象和性质
基本概念
• 图象形状：一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此也称为直
线 y=kx+b。
• 图象与坐标轴的交点：
与 y 轴的交点坐标为 (0,b)。
b
与 x 轴的交点坐标为
(- ,0)
。
k
• 增减性：
当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大。
当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小。
• 图象经过的象限：k>0,b>0：一、二、三象限
k>0,b<0：一、三、四象限
k<0,b>0：一、二、四象限
k<0,b<0：二、三、四象限
二级结论/解题技巧
• 两点法画图象：画一次函数图象时，只需确定直线上的两个点（通常是与坐标轴的交
点），即可画出直线。
• 平移规律：直线 y=kx+b 向上平移 m 个单位得到 y=kx+b+m；向下平移 m 个单
位得到 y=kx+b-m；向左平移 n 个单位得到 y=k(x+n)+b；向右平移 n 个单位得到
y=k(x-n)+b。（口诀：上加下减常数项，左加右减自变量）
易错点拨
• 一次函数的增减性只与 k 的符号有关，与 b 的值无关。
• 图象经过的象限由 k 和 b 的符号共同决定，不能只看 k。
典型例题
例：已知一次函数 y=(2m-4)x+3-m。
（1）若图象经过第一、二、三象限，求 m 的取值范围。
（2）若图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。
解：（1）图象经过第一、二、三象限，则 k>0 且 b>0。
2m-4>0，且3 - m > 0
解得 23，此不等式组无解。
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
基本概念
• 一次函数与一元一次方程：解方程 kx+b=0，就是求当函数值 y=0 时，对
应的自变量 x 的值，即直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标。
• 一次函数与一元一次不等式：
不等式 kx+b>0 的解集，就是直线 y=kx+b 在 x 轴上方部分对应的 x 的取值范
围。
不等式 kx+b<0 的解集，就是直线 y=kx+b 在 x 轴下方部分对应的 x 的取值范
围。
• 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的交点坐标，就是它们所对
应的二元一次方程组的解。
解题技巧
• 利用“数形结合”思想，将方程、不等式的求解问题转化为函数图象的问题，直观高
效。典型例题
例：已知一次函数 y=2x-4。
（1）求方程 2x-4=0 的解。
（2）求不等式 2x-4>2 的解集。
（3）若直线 y=2x-4 与直线 y=-x+5 相交于点 A，求点 A 的坐标。
解：（1）解方程 2x-4=0，得 x=2。
（2）解不等式 2x-4>2，得 2x>6，即 x>3。
（3）联立方程组：
解得 x=3，y=2。所以点 A 的坐标为 (3,2)。
23.4 实际问题与一次函数
解题技巧
• 建模步骤：
a. 分析问题，确定自变量 x 和因变量 y。
b. 找出等量关系，列出一次函数解析式 y=kx+b。
c. 确定自变量 x 的取值范围（结合实际意义）。
d. 利用函数性质或图象解决问题（如求最值、方案选择等）。
• 常见应用：行程问题、工程问题、利润问题、方案选择问题等。
典型例题
例：某通讯公司推出两种手机套餐：
套餐A：月租费15元，每分钟通话费0.2元。
套餐B：无月租费，每分钟通话费0.3元。
设每月通话时间为 x 分钟，费用为 y 元。
（1）分别写出两种套餐的费用 y 与通话时间 x 的函数关系式。
（2）每月通话时间为多少分钟时，两种套餐的费用相同？
（3）若每月通话时间为200分钟，选择哪种套餐更省钱？
解：（1）套餐A：y =0.2x+15；套餐B：y =0.3x。
A B
（2）令 y =y ，即 0.2x+15=0.3x，解得 x=150。
A B
答：每月通话150分钟时，两种套餐费用相同。
（3）当 x=200 时，y =0.2×200+15=55 元，y =0.3×200=60 元。
A B
因为 55<60，所以选择套餐A更省钱。
重难题型突破
题型1：一次函数的图象与性质综合
典型试题
已知直线 l :y=k x+b 和直线 l :y=k x+b 相交于点 P(-2,3)，且直线 l 经过点
1 1 1 2 2 2 1
A(0,5)，直线 l 与 y 轴的交点在 x 轴下方。
2（1）求直线 l 的解析式。
1
（2）若 k >k ，求 b 的取值范围。
1 2 2
解题技巧
• 利用待定系数法求解析式。
• 根据交点坐标和 k 的大小关系，结合图象位置分析 b 的取值范围。
解答
（1）将 P(-2,3) 和 A(0,5) 代入 y=k x+b ：-2k +b =3且b =5
1 1 1 1 1
解得 k =1，b =5。所以直线 l 的解析式为 y=x+5。
1 1 1
b -3
（2）因为直线 l 经过点 P(-2,3)，所以 3=-2k +b ，即 k = 2 。
2 2 2 2 2
b -3
已知 k >k ，即 1> 2 ，解得 b <5。
1 2 2 2
又因为直线 l 与 y 轴的交点在 x 轴下方，所以 b <0。
2 2
综上，b 的取值范围是 b <0。
2 2
题型2：一次函数的方案选择问题
典型试题
某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50
件。已知生产1件A产品需要甲原料9kg，乙原料3kg；生产1件B产品需要甲原料4kg，
乙原料10kg。设生产A产品 x 件，总利润为 y 元，且生产1件A产品可获利润700元，
生产1件B产品可获利润1200元。
（1）求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围。
（2）如何安排生产，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解题技巧
• 根据原料限制列出不等式组，确定自变量的取值范围。
• 根据一次函数的增减性，在取值范围内求利润的最大值。
解答
（1）生产B产品 (50-x) 件。
根据原料限制：9x+4(50-x)≤360，且3x+10(50-x)≤290
解得 30≤x≤32。
总利润 y=700x+1200(50-x)=-500x+60000（30≤x≤32，x 为整数）。
（2）在 y=-500x+60000 中，k=-500<0，所以 y 随 x 的增大而减小。
因此，当 x 取最小值30时，y 有最大值。y最大= -500× 30 + 60000 = 45000
元。
答：生产A产品30件，B产品20件时，总利润最大，最大利润为45000元。
