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第二十二章 二次函数 （能力提升）
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 2019年5月19日—26日在广西南宁举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛，决赛时，中国队以
3比0战胜日本队第11次获得苏迪曼杯冠军，在比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O
点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A。
【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线
3
可求出b＝ ，c＝1。因此这条抛物线的解析式是 ，故选A。
4
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
2.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么
在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. y＝4（x﹣2）2+2 B. y＝4（x+2）2﹣2
C. y＝4（x﹣2）2﹣2 D. y＝4（x+2）2+2
【答案】B
【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于
将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，根据平移法则：左加右减，上加下减，∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3、在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】由方程组 得ax2＝﹣a，
∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，
图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图
象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．
【考点】二次函数与一次函数的图形问题．
4、如果函数 的图象经过平面直
角坐标系的四个象限，那么 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】函数图象经过四个象限，需满足 3 个条件：（Ⅰ）函数是二次函数．因此 ，即①
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点．因此△= ，解得 ②
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧．因此 ，解得 ③
综合①②③式，可得： ．故答案为：D.
5、已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，
且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
【答案】D．
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．
【考点】二次函数对称轴综合问题．
6．如图，将函数 ＝ 的图像沿 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，
）、B（4， ）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
则新图像的函数表达式是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
y
B
A
B
A
O x
【答案】D，
【解析】连接AB、A′B′，则S ＝S ．由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
阴影 四边形ABB′A′
所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A、B′B交轴于点M、N．因为A（1， ）、B（4，），所以MN＝4－1＝3．
因为 ＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，
即沿 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式 ＝ ．故答案选D
y
B
A
B
A
O M N x
【考点】二次函数与几何综合问题．
7．如图，已知点A ，A ，…，A 在函数 位于第二象限的图象上，点B ，B ，…，B 在函
1 2 2011 yx2 1 2 2011
数 位于第一象限的图象上，点 C ，C ，…，C 在y轴的正半轴上，若四边形 、
yx2 1 2 2011 OACB
1 1 1
，…， 都是正方形，则正方形 的边长为（ ）
C AC B C A C B C A C B
1 2 2 2 2010 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011
A. 2010 B. 2011 C. 2010 D. 2011
2 2
【答案】D.
【解析】∵OA C B 是正方形，∴OB 与y轴的夹角为45°，∴OB 的解析式为y=x
1 1 1 1 1
联立 ，解得 或 ，∴点B （1，1），OB = ，
1 1
∵OA C B 是正方形，∴OC = OB = × =2，∵C AC B 是正方形，∴C B 的解析式为
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2
y=x+2 ， 联 立 ， 解 得 或 ， ∴ 点 B （ 2 ， 4 ） ， C B =
2 1 2，
∵C AC B 是正方形，∴C C = C B = ×2 =4，∴C B 的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
1 2 2 2 1 2 1 2 2 3
联立 ，解得， 或 ，∴点B （3，9），C B = ，
3 2 3
…，依此类推，正方形C A C B 的边长C B = ．故选D.
2010 2011 2011 2011 2010 2011
【考点】二次函数综合题．
8．小智将如图两水平线L 、L 的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L 、L 的其中一条
1 2 3 4
当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y
轴的叙述，下列何者正确？（ ）
A．L 为x轴，L 为y轴 B．L 为x轴，L 为y轴
1 3 1 4
C．L 为x轴，L 为y轴 D．L 为x轴，L 为y轴
2 3 2 4
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式y=ax2+2ax+1，得到与y轴交点坐标为（0，1），确定L 为x轴；
2
根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，确定L 为y轴．
4
【解答】解：∵y=ax2+2ax+1，∴x=0时，y=1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴L 为x轴；
2
∵对称轴为直线x=﹣ =﹣1，即对称轴在y轴的左侧，∴L 为y轴．故选D
4
【考点】二次函数的性质．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．根据二次函数的解析式求出与y轴交点坐标及对
称轴是解题的关键．
9．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y
的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A． 3或6 B． 1或6 C． 1或3 D． 4或6【答案】B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的
一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该
情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．
综上即可得出结论．
【解析】如图，当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h =1，h =3（舍去）；
1 2
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h =4（舍去），h =6，
3 4
综上所述：h的值为1或6，故选B．
【考点】二次函数的最值问题．
10.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l
上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的
函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．【考点】二次函数的综合问题．
11.如图， 中， ，且 ，设直线 截此三角形所得阴影部分的
面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性
质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解
答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【解析】∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，
∴S = ×OD×CD= t2（0≤t≤3），即S= t2（0≤t≤3）．
△OCD
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据
三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．12.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（ ，m），给出下列结论： 若
①
点（n，y ）与（ ﹣2n，y ）在该抛物线上，当n＜ 时，则y ＜y ； 关于x的一元二次方程
1 2 1 2
②
ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ）
A． 正确， 正确 B． 正确， 错误 C． 错误， 正确 D． 错误， 错误
【答案】A
① ② ① ② ① ② ① ②
【解析】 ∵顶点坐标为（ ，m），n＜ ，
①
∴点（n，y ）关于抛物线的对称轴x＝ 的对称点为（1﹣n，y ），
1 1
∴点（1﹣n，y ）与（ ﹣2n，y ）在该抛物线上，
1 2
∵（1﹣n）﹣（ ﹣2n）＝n﹣ ＜0，∴1﹣n＜ ﹣2n，
∵a＞0，∴当x＞ 时，y随x的增大而增大，∴y ＜y ，故此小题结论正确；
1 2
把（ ，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝ a+ b+c，
②
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，
△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（ a+ b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A．
【考点】二次函数的综合问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.如图，抛物线 与x轴一个交点为 ，对称轴为直线 ，则时x的范围是
【答案】
【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B．
【考点】二次函数的性质．
14．把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为 ．
【答案】y=﹣x2﹣2x﹣3．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物
线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，即y=﹣x2﹣2x﹣3．
故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图所示，若球命中
篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
【答案】4．
【解析】如图，把C点纵坐标y=3.05代入 中得: x=±1.5 (舍去负值),即0B=1.5，所以l=AB=2.5+1. 5=4.
令把y=3.05代入 中得:x=1.5,x=-1. 5(舍去)，
1 2
L=2.5+1.5=4米.故答案为: 4.
【考点】二次函数的应用．
16.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均
以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过
程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
【答案】 (1). 3 (2). 18
【解析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S =S ﹣4S =6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
四边形EFGH 正方形ABCD △AEH
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
【考点】二次函数的最值；正方形的性质．
17．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x ，x ，且满足0＜x ＜1，1
1 2 1
＜x ＜2，则k的取值范围是 ．
2
【答案】 ＜k＜2
【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x ，x ，
1 2如图，利用函数图象得到当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜
0；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x ，x ，
1 2
∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x ，x ，如图，
1 2
当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；
当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞ ；
当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜ ；
∴k的范围为 ＜k＜2．故答案为 ＜k＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18、如图，抛物线 与 交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，
分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y 的值总是正数；② ；③当
2
x=0时，y -y =6；④AB+AC=10；⑤ ，其中正确结论的序号是：_____．
2 1
【答案】①②④⑤．【解析】∵ ，∴ ，∴无论x取何值， 的值总是正数，①正
确；
∵抛物线 与 交于点A（1，3），∴ ，∴ ，②
正确；
当x=0时， ， ，当x=0时， ，③错误；
当y=3时， ，解得x=﹣5或1， ，解得x=1或5，即
AB+AC=10，④正确；
最小值为﹣3， 最小值为1， ，⑤正确，
综上正确的有①②④⑤，故答案为①②④⑤．
【考点】二次函数的性质．
三、解答题（共46分）
19.（6分）某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60元，每个玩具不得
低于80元出售．销售“乐迪”玩具的单价 (元/个)与销售数量 (个)之间的函数关系如图所示．
（1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策；
（2）写出该店当一次销售 ( ＞10)个时，所获利润 （元）与 （个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解
释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少
提高到多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB
所表示的实际优惠销售政策即可。
（2）分类讨论：当10
