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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
本章知识综合运用
六个概念
●●1、相交线：
两条直线相交所成的四个角中，有4对邻补角，2对对顶角.
(1)◆邻补角 ： 只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补
角．
◆邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
(2)◆对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位
置关系的两个角，互为对顶角．
◆对顶角的性质：对顶角相等．
●●2、垂线：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一
条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
【注意】垂直是相交的一种特殊位置.
●●3、“三线八角 ”：
①两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
②同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
●●4、平行线
平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
◆在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：
一“落”把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．●●5、平移：
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
◆作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次
连接对应点即可得到平移后的图形．
●●6、命题：
◆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
◆定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．
◆证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理
过程叫做证
一个公理
●●平行公理及推论
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c..
一个判定
●●平行线的判定方法
判定方法一：平行线的定义
判定方法二：判定定理1：同位角相等，两直线平行．
判定方法三：判定定理2：内错角相等，两直线平行．
判定方法四：判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
判定方法五：平行公理的推论．
判定方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.
三个性质
●●1、垂线的性质①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
●●2、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，同位角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
【注意】 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
●●3、平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线
段平行（或在同一条直线上）且相等．
一个方法
●●过拐点作平行线解决平行线中的折线问题
几何中常通过添加适当的辅助线建立已知和未知之间的“桥梁”，遇到平行线中折线
问题，通常过拐点作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行题型一 相交线的有关概念与性质
【例题1】（2022秋•青龙县月考）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若
∠BOD＝32°，则∠BOE的度数为（ ）
A．32° B．48° C．58° D．64°
【分析】直接利用邻补角的定义得出∠AOF的度数，进而利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵∠DOF＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠AOF＝90°﹣32°＝58°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝58°．
∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝32°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，余角的性质，正确得出∠AOF度数是解
题关键．
解题技巧提炼
在求角的度数时经常要用到邻补角和对顶角的性质，解决此类的问题是观
察、分析、找出所求角与已知角之间的关系，并理清各角之间的关系，特别是
相等关系.
【变式1-1】（2022秋•香坊区校级期中）图中∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，
并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可．
【解答】解：第一个图：∠1和∠2是同位角；
第二个图：∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角；
第三个图：∠1和∠2不是同位角；
第四个图：∠1和∠2是同位角．
∴∠1与∠2是同位角的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．
在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线
即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形．【变式1-2】（2022春•莲湖区期末）如图，当剪刀口∠AOB的度数减小5°时，∠COD的度数（ ）
A．不变 B．减少5° C．增大5° D．增大10°
【分析】根据对顶角的性质进行判断即可．
【解答】解：由于∠AOB与∠COD是对顶角，
所以∠AOB＝∠COD，
当∠AOB的度数减小5°时，∠COD的度数也减少5°，
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角的定义是正确解答的前提．
【变式1-3】（2022春•景谷县期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回
来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择P→C路线，是
因为垂线段最短，
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点之间段最短．
【变式1-4】（2022•南京模拟）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，
∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离.
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条
线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．
【解答】解：∵PB⊥l于点B，
∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵∠APC＝90°，
∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故③正确；
故选C．
【点评】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质．
【变式1-5】（2021春•娄底月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝ ；
（2）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
1
（3）若∠1= ∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
4
【分析】（1）分析题意，列出代数式，求解即可解决问题；
（2）若∠1＝∠2，找出ON与OD的夹角大小，即可得出结论；
（3）根据角的位置关系，列出代数式，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∠1＝20°，∠2＝20°，
∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°
∴∠DON＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°，故答案为：90°；
（2）∵∠1＝∠2，
∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，
∴∠DON＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°，
∴ON⊥CD；
1
（3）∵∠1= ∠BOC，
4
1 1
∴∠1= ∠BOM= ×90°=30°，
3 3
∴∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
∠MOD＝∠180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．
【点评】本题考查了角的计算，解题关键是分清角的对应关系．
【变式1-6】已知直线AB和CD相交于O，∠AOC为锐角．
（1）填空：如图1图中有 对相等的角（平角除外）．分别是
，判断的依据是 ；
（2）如图2，作∠COE＝90°，OF平分∠COB，求∠AOF﹣∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，∠AOC：∠COF＝2：5，计算∠DOF的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等的性质解答；
（2）由邻补角和角平分线的定义可得出结论；
（3）在（2）的条件下，列出比例式即可得出结论．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，∠BOC＝∠AOD，判断的依据是对顶角相等；
故答案为：2；∠AOC＝∠BOD，∠BOC＝∠AOD；对顶角相等；
（2）设∠AOC＝2 ，则∠BOC＝180°﹣2 ，
∵OF平分∠COB，α α
∴∠COF＝∠BOF＝90°﹣ ，
∵∠COE＝90°， α∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝ ，∠AOF＝∠AOC+∠COF＝90°+ ，
∴∠AOF﹣∠EOF＝90°+ ﹣ α＝90°． α
（3）∵∠AOC：∠COF＝α2：α5，
∴2 ：（90°﹣ ）＝2：5，解得 ＝15°，
∴∠αBOF＝75°，α ∠AOC＝∠BODα＝30°，
∴∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝105°．
【点评】本题考查了角平分线的作法，角平分线的定义及角的计算．关键是利用角平分线的定义得出
∠EOF与∠AOC的关系．
题型二 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题2】（2022春•法库县期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角 B．∠1与∠2是内错角
C．∠1与∠3是同位角 D．∠2与∠3是同旁内角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故本选项不符合题意；
B、∠1和∠2不是内错角，故本选项不符合题意；
C、∠1和∠3是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；
D、∠2和∠3是同旁内角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内
角是解此题的关键．解题技巧提炼
本题主要是考查“三线八角”的识别，熟练掌握三类角的特征是关键，同位角的
边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．学会在复
杂图形中进行判断.
【变式2-1】（2022春•仪征市校级月考）如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，下列说法正确的是（
）
A．∠3与∠4是同旁内角 B．∠2与∠5是同位角
C．∠6与∠1是内错角 D．∠2与∠6是同旁内角
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．
【解答】解：A、∠3与∠4是内错角，错误；
B、∠2与∠5不是同位角，错误；
C、∠1与∠6不是同旁内角，错误；
D、∠2与∠6是同旁内角，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同位角、同旁内角、内错角，关键是根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念
解答．
【变式2-2】（2021春•江西月考）如图，∠ABD的同旁内角共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．【解答】解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
故选：D．
【点评】本题考查同旁内角，理解同旁内角的定义是正确判断的前提．
【变式2-3】指出图中各对角的位置关系：
（1）∠C和∠D是 角；
（2）∠B和∠GEF是 角；
（3）∠A和∠D是 角；
（4）∠AGE和∠BGE是 角；
（5）∠CFD和∠AFB是 角．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第
三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．分别进行分析即可．
【解答】解：（1）∠C和∠D是同旁内角；
（2）∠B和∠GEF是同位角；
（3）∠A和∠D是内错角；
（4）∠AGE和∠BGE是邻补角；
（5）∠CFD和∠AFB是对顶角；
故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，
同旁内角的边构成“U”形．【变式2-4】如图，填空．
（1）若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1与 是同位角；
（2）若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3与 是内错角；
（3）∠1与∠3是直线AB和直线AF被直线 所截构成的 角；
（4）∠2与∠4是直线 和直线 被直线BC所截构成的 角；
（5）图中∠5的同旁内角有 个，它们是 ．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个求解即可．
【解答】解：（1）若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1与∠2是同位角；
（2）若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3与∠4是内错角；
（3）∠1与∠3是直线AB和直线AF被直线DE所截构成的内错角；
（4）∠2与∠4是直线 AB和直线AF被直线BC所截构成的同位角；
（5）图中∠5的同旁内角有3个，它们是∠A，∠3，∠2，
故答案为：∠2，∠4，DE，内错，AB，AF，同位，3，∠A，∠3，∠2．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能根据图形找出同位角、内错角和同旁内角是
解此题的关键．
题型三 平行线判定方法的综合运用
【例题3】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠B C．∠A＝∠3 D．∠A＝∠1+∠2
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
由∠1＝∠B，不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠3，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
由∠A＝∠1+∠2，不能判定AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
解题技巧提炼
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，结合平行线的几种判
定综合论证.
【变式3-1】（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个
（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
（2）∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
（3）∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
（4）∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，
两直线平行．
【变式 3-2】（2022春•青龙县期末）如图所示，添加一个条件，使 AB∥CE，则添加的条件为
．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：添加的条件为：∠B＝∠DCE（答案不唯一），
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠B＝∠DCE（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式3-3】如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．【分析】已知两角互余，得出∠1＝∠2，等量代换得到∠C＝∠2，即可判定AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查平行线的判定以及余角的知识，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【变式3-4】（2022春•定南县期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2
（1）证明：AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行？为什么？
【分析】（1）直接根据平行线的性质即可得出结论；
（2）先根据 AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D得出∠ABE＝∠CDE，再由∠1＝∠2可知∠MBE＝
∠NDE，由此可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∴AB∥CD；
（2）BM∥DN．理由：∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，
∴∠ABE＝∠CDE．
∵∠1＝∠2，
∴∠MBE＝∠NDE，
∴BM∥DN．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
【变式3-5】如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一
点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，求证：AB∥EF．
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角的余角相等，得出结论；
（2）根据角平分线定义以及等量代换，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG；
（2）∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF．
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AB//EF．
【点评】本题考查角平分线、互相垂直的意义，余角的性质，以及平行线的判定，等量代换在证明过程
中起到非常重要的作用．题型四 平行线性质的综合运用
【例题4】（2022秋•东方期末）如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠AEB的度数为
．
【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的
性质得∠AEB＝35°．
【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠CBE= ∠ABC＝35°，
2
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等．
解题技巧提炼
综合利用平行线的性质，正确探究出“三线八角”中同位角、内错角、同旁内
角之间的关系.
【变式 4-1】（2021春•铜梁区校级期末）如图，已知点 D为∠EAB内一点，CD∥AB，DF∥AE，
DH⊥AB交AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为（ ）A．120° B．130° C．135° D．140°
【分析】根据平行线的性质先求出∠ECD，再根据平行线的性质求出∠CDF，再根据垂直和周角的定义
可求∠FDH的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝40°，
∴∠ECD＝40°，
∵DF∥AE，
∴∠CDF＝140°，
∵DH⊥AB，
∴∠CDH＝90°，
∴∠HDF＝130°．
故选：B．
【点评】考查了平行线的性质，关键是求出∠CDF的度数．
【变式4-2】（2022•太康县校级开学）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝105°，∠1＝43°，则∠3＝ ．
【分析】由平行线的性质可得求得∠QRP＝75°，∠QRS＝∠3，从而可求解．
【解答】解：∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠QRP＝180°，∠3＝∠QRS，
∵∠2＝105°，
∴∠QRP＝75°，
∵∠1＝43°，
∴∠QRS＝∠QRP+∠1＝118°，
∴∠3＝118°．
故答案为：118°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两
直线平行，同旁内角互补．
【变式4-3】（2021春•定陶区期中）如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，点E在DC的延长线上，CN是
∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCN的度
数，然后再根据CM⊥CN即可求出∠BCM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
1 1
∴∠BCN= ∠BCE= ×140°＝70°，
2 2
∵CM⊥CN，
∴∠BCM＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，比较简单．
【变式4-4】（2022春•温岭市期中）如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝
30°，则∠NMP等于（ ）
A．10° B．15° C．5° D．7.5°
【分析】由AB∥CD，MP∥AB推出AB∥CD∥MP，根据平行线的性质求出∠AMD的度数为70°，再根
据角平分线的定义求出∠AMN＝35°，所以∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN．
【解答】解：∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥CD∥MP，
∵∠A＝40°，∠D＝30°，∴∠AMP＝∠A＝40°，∠DMP＝∠D＝30°，
∴∠AMD＝40°+30°＝70°，
∵MN平分∠AMD，
1 1
∴∠AMN= ∠AMD= ×70°＝35°，
2 2
∴∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN＝40°﹣35°＝5°．
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线平行内错角相等的性质和角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的
关键．
【变式4-5】（2021春•固始县期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4倍少
30°，那么这两个角是（ ）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．
【解答】解：如图1，∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2．
如图2，∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°
∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，
解得x＝10°，
4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；
（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，
解得x＝42°，
4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°．
故选：C．
【点评】本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．
题型五 平行线判定与性质的综合运用
【例题5】（2021春•夏邑县期末）如图直线a，b分别被直线c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝
108°，则∠4的度数等于（ ）
A．72° B．80° C．82° D．108°
【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠5+∠2＝180°，可得∠1＝∠2，得a∥b，进而可得∠4的度数．
【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝180°，∠5+∠2＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
∴∠4＝∠6，
∵∠3＝108°，
∴∠6＝180°﹣108°＝72°，
∴∠4＝72°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是根据平行线的判定与性质得到a∥b．
解题技巧提炼
平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，看到角相等或互补就应该想到能
否判定两直线平行，看到直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
【变式5-1】（2021春•鄂州期末）如图，下面推理过程正确的是（ ）
A．因为∠B＝∠BCD，所以AB∥CD
B．因为AB∥CD，所以∠1＝∠2
C．因为∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC
D．因为∠1＝∠B，所以AD∥BC【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：A．因为∠B＝∠BCD，所以AB∥CD，错误；
B．因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，错误；
C．因为∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC，正确；
D．因为∠1＝∠B，所以AD∥BC，错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【变式5-2】（2022春•新田县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，试说明DE∥BC．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∴BD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∴∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【变式5-3】（2021春•荔湾区校级月考）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，则∠1与∠2是
否相等？说说你的理由．
【分析】由AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．
【解答】解：∠1＝∠2，
理由是：∵∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，
∴∠PBC＝∠QCB，
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠BCD﹣∠QCB，
即∠1＝∠2．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
【变式5-4】已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA．
（1）如图①，点D在线段BC上，DE∥AB交AC于点E，∠EDF＝∠A．求证：DF∥AC．
（2）如图②，若点D在BC的延长线上，DE∥AB交AC的延长线于点E，DF∥AC交BA的延长线于
点F．问∠EDF与∠BAC有怎样的关系，说明理由．
【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠EDF＝∠BFD，再根据∠EDF＝∠A，得出∠A＝∠BFD即
可得出结论；
（2）先根据DE∥AB得出∠EDF与∠F互补，再根据DF∥AC得出∠F＝∠BAC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB
∴∠EDF＝∠BFD
又∵∠EDF＝∠A
∴∠A＝∠BFD
∴DF∥AC
（2）∠EDF与∠BAC互补
∵DE∥AB
∴∠EDF与∠F互补
∵DF∥AC
∴∠F＝∠BAC
∴∠EDF与∠BAC互补【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，
同旁内角互补．
题型六 利用平行线的性质解决学具操作及折叠问题
【例题6】（2022•日照三模）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点
C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）
A．77° B．64° C．26° D．87°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，
∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，
1 1
由折叠可得，∠α= ∠DEG= ×154°＝77°，
2 2
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题技巧提炼
本题是给出了一个长方形的折叠问题或是把三角尺与直尺之间的夹角放到平行
线中，利用折叠的特征和平行线的性质求解是解题的关键.
【变式6-1】如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在CD边上的点F处，如果∠EFC＝65°，那么
∠BAE＝ °．
【分析】想办法求出∠BAE即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
由翻折不变性可知：∠AFE＝∠B＝90°，∠BAE＝∠EAF，
∴∠AFD＝90°﹣∠EFC＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝25°，
25
∴∠BAE＝（ ）°，
2
25
故答案为（ ）
2
【点评】本题考查平行线的判定，矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
【变式 6-2】（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝
28°，则∠2的度数为（ ）A．28° B．56° C．36° D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点E作MN∥AB是解题的
关键．
【变式6-3】（2022•路南区二模）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置
（∠ABC＝30°），并且顶点A，B分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）A．20° B．22° C．28° D．38°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，过C作CD∥直线m，求出CD∥直线m∥直线n，根据平
行线的性质得出∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，即可求出答案．
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进
行推理是解此题的关键．
【变式6-4】 （2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图
2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝ ．【分析】由长方形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝24°，再根据翻折的性质可知每翻
折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝24°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换以及长方形的性质，根据翻折变换找出相等的边角关系是
解题的关键．
题型七 利用平行线的性质和判定解决生活实际问题
【例题7】（2022春•齐齐哈尔期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原
来相同，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转80°，再左转100° B．先左转80°，再右转80°
C．先左转80°，再左转100° D．先右转80°，再右转80°
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，
但角度相等画出图形，根据图形直接解答即可．
【解答】解：如图所示：
A、
，故本选项错误；
B、 ，故本选项正确；
C、 ，故本选项错误；D、 ，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键．
解题技巧提炼
本题是给出了一个生活中的实际问题，分析题意，选择适当的判定方法或者是
平线的性质来求解.
【变式7-1】（2022春•淮滨县期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角
∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路
平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A＝∠1，
∠2+∠C＝180°，则可求得∠C的值．
【解答】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．【点评】此题考查了平行线的性质．注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见
做法．
【变式7-2】（2022春•二七区校级期中）如图，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A
地测得铁路的走向是北偏东68°，如果A、B两地同时开工，那么在B地按 方向施工，才能
使铁路在山腹中准确接通．
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如果A、B两地同时开工，那么在B地按南偏西68°方向施工，才能使铁路在山腹中准确
接通，
故答案为：南偏西68°．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式7-3】（2022春•中山市期末）如图，两面平面镜OA、OB形成∠AOB，从OB上一点E射出的一
条光线经OA上一点D反射后的光线DC恰好与OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，则
∠DEB的度数是 ．
【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠AOB＝35°，∠CDE+∠DEB＝180°，再由平角的定义可求得
∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝110°，从而可求解．
【解答】解：∵DC∥OB，∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，∴∠ADC＝∠AOB＝35°，，∠CDE+∠DEB＝180°，
∴∠ODE＝∠ADC＝35°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝110°，
∴∠DEB＝180°﹣∠CDE＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相
等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式7-4】（2022春•洪山区期中）一个长方形台球桌面ABCD（AB∥CD，AD∥BC，∠A＝90°）如图
1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，
即图1中的∠1＝∠2．
（1）台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为GH．若开始时的撞击线路为EF，求证：
EF∥GH；
（2）台球经过如图3所示的四次碰撞后（台球从点E出发，碰撞点依次为点F，G，H，I），落入点K
处的球袋内．若∠IKC＝55°，则∠GHI+∠AFE＝ ．
【分析】（1）根据平行线的性质结合题目条件推出∠GFE+∠HGF＝180°，即可证明EF∥GH；
（2）由（1）的结论知：EF∥IK∥HG，运用平行线的性质可得∠HGC＝∠IKC＝55°，再根据直角三角
形性质可得∠BIH＝90°﹣∠IHB＝55°，应用平角定义求出∠IHG，最后应用平行线的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：由题意知，∠AFG＝∠BFE，∠DGH＝∠AGF，
∵∠A＝90°，
∴∠AFG+∠AGF＝90°，∠BFE+∠DGH＝90°，
∵∠AFG+∠BFE+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝∠AGF+∠DGH，∵∠AGF+∠DGH+∠FGH＝180°，
∴∠EFG+∠FGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）解：由（1）的结论知：EF∥IK∥HG，
∴∠HGC＝∠IKC＝55°，
∵∠C＝90°，
∴∠GHC＝90°﹣∠HGC＝35°，
∴∠IHB＝∠GHC＝35°，
∴∠IHG＝180°﹣∠IHB﹣∠GHC＝110°，
∵∠B＝90°，
∴∠BIH＝90°﹣∠IHB＝55°，
∴∠IFG＝∠BIH＝55°，
∴∠EFA＝∠GFI＝55°，
∴∠GHI+∠AFE＝110°+55°＝165°，
故答案为：165°．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质及平行线的判定和性质是解题的关
键．
题型八 真假命题的判断
【例题8】（2022春•海淀区月考）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题
的是 ．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，
符合题意；
④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是①③，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离
的定义，难度不大．
解题技巧提炼
判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命题只需举一个反例即可；举反例
是说明一个命题是假命题的常用方法.
【变式 8-1】判断命题“如果x2＞0，那么x＞0“是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为
（ ）
1
A．2 B． C．0 D．﹣2
2
【分析】找出x满足x2＞0，但不满足x＞0即可．
【解答】解：“如果x2＞0，那么x＞0“是假命题，可以举一个反例为x＝﹣2．因为x＝﹣2满足条件x2
＞0，不满足x＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分
组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判
断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【变式8-2】（2022秋•阿图什市校级月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．相等的角是对顶角
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】判断命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，
错误的命题为假命题．
【解答】解：A、内错角不一定相等，原命题是假命题，故此选项不合题意；
B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，故此选项不合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故此选项不合题意；
D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是相交线，平行线相关的概念和定理．
【变式8-3】（2022春•仓山区期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条
件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并
证明．
如图，已知 ，求证： ．（填“①”，“②”，“③”）
证明：
【分析】根据平行线的判定定理和性质定理分类证明即可．
【解答】答案一：已知①②，求证：③，
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠3＝∠D，
∵∠3＝∠A，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C；
答案二：如图，已知①③，求证：②，
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠3＝∠D，
∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∴∠3＝∠A；
答案三：如图，已知②③，求证：①．
证明：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠3＝∠A，
∴∠3＝∠D，
∴AD∥EF，
∴∠1+∠2＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
【变式8-5】（2022春•钦北区期中）如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．
请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个
作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
【分析】（1）以三个条件的任意2个为题设，另外一个为结论组成命题即可；
（2）根据平行线的性质进行证明．
【解答】解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN；
∴∠BAM＝∠CEN；
命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN；
∴AM∥EN；
命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN；
∴AB∥CD；
故答案为AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN．
（2）证明命题1：
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CEA，
∵AM∥EN，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，
即∠BAM＝∠CEN．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分
是题设，“那么”后面接的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真
即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例
即可．
题型九 通过阅读填写推理过程
【例题9】（2022春•宁安市期末）推理填空
如图，已知∠BCD+∠B＝180˚，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
证明∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2 （ ），
∵∠BCD+∠B＝180˚，
∴AB∥CD （ ），
∴∠1＝（ ），
∵∠CFE＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（ ），
∴∠2＝ ，
∴AD∥BC（ ）．
【分析】由角平分线的定义得∠1＝∠2，再由同旁内角互补，两直线平行得 AB∥CD，则有∠1＝∠CFE，从而得∠1＝∠E，即有∠2＝∠E，即可判定AD∥BC．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线定义），
∵∠BCD+∠B＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等），
∵∠CFE＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（等量代换），
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线定义；同旁内角互补，两直线平行；∠CFE；等量代换；∠E；内错角相等，两直
线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
解题技巧提炼
给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，对于这种题型要认真分
析题意，然后联系上下文求解.
【变式9-1】 已知某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，若AG同时平分∠BAC与∠EDF，且
AB∥ED，则AC∥DF吗？请在下面括号内填写理由．
解：∵AB∥DE
∴∠ ＝∠ （ ）
∵AG同时平分∠BAC与∠EDF（已知）
∴∠DAC＝∠DAB，∠GDF＝∠GDE（ ）
∴∠DAC＝∠GDF（ ）
∴AC∥DF（ ）【分析】根据平行线的性质推出∠BAD＝∠EDG，求出∠DAC＝∠GDF，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠EDG（两直线平行，同位角相等），
∵AG同时平分∠BAC与∠EDF（已知）
∴∠DAC＝∠DAB，∠GDF＝∠GDE（角平分线定义），
∴∠DAC＝∠GDF（等量代换），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DAB，GDE，两直线平行，同位角相等，角平分线定义，等量代换，同位角相等，两直线平
行．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，能正确运用平行线的性质进行推理是解此题
的关键，注意：两直线平行，同位角相等，反之也然．
【变式9-2】（2021春•静安区期中）如图，已知：∠A＝∠C，DF平分∠BDC，BE平分∠ABD，说明：
BE∥DF的理由．
解：因为∠A＝∠C( )．
所以 ．
所以∠ABO＝∠CDO( )．
因为DF平分∠CDO，BE平分∠ABO，
1 1
所以∠1= ∠ ，∠2= ∠ ，
2 2
所以∠1＝∠2 ( )，
所以BE∥DF( )．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解析：因为∠A＝∠C（已知），
所以AB∥CD，
所以∠ABO＝∠CDO（两直线平行，内错角相等），
因为DF平分∠CDO，BE平分∠ABO，
1 1
所以∠1= ∠ABO，∠2= ∠CDO，
2 2
所以∠1＝∠2（等量代换），
所以BE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；AB∥CD；两直线平行，内错角相等；ABO；CDO；等量代换；内错角相等，两直线
平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式9-3】（2022春•湖北期末）如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请
完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ ． （ ）
∴∠2＝∠DAC． （ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （ ）
∴∠ADC＝∠ ． （ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
【分析】直接根据平行线的判定与性质及垂直定义解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥AC． （同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC． （两直线平行，内错角相等）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF． （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC． （两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°． （垂直定义）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
故答案为：AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；
EFC；两直线平行，同位角相等；垂直定义．
【点评】此题考查的是平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
【变式9-4】（2022秋•德惠市期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB吗？
解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ ，
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ）
∠2＝∠5（ ）
∴ （等量代换），
∴EF平分∠DEB．
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质等知识点，逐个分析得结论．
【解答】解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∵CD∥EF（已知），
∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠5（等量代换）．
故答案为：∠1＝∠2，角平分线的定义；3；CD∥EF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角
相等；∠4＝∠5．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角、内错角相等”是解决本题的关键．
题型十 通过添加辅助线解决拐点问题
【例题10】阅读下列解题过程：
如图，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF（平行的传递性）
AB∥EF ∠B＝∠1＝35°
又因为C⇒D∥EF ∠D＝∠2＝32°
所以∠BED＝∠⇒BED＝∠1+∠235°+32°＝67°（等量代换）
然后解答下列问题：
如图，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决：
问题（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A＝ ；
问题（2）：∠G+∠F+∠H＝ °时，GP∥HQ．【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行内错角相等进行做题．
【解答】解：（1）由例题的结论可知，若AB∥DE，则∠A＝∠ACD﹣∠D＝65°﹣30°＝35°；
（2）过F作FE∥GP，若GP∥HQ，则FE∥GP∥HQ，
∠1+∠G＝180°，∠2+∠H＝180°，
∴∠1+∠2+∠G+∠H＝360°，
即∠G+∠F+∠H＝360°．
【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到
解决问题的目的．
解题技巧提炼
当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，平行线的性质
则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推
论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
【变式10-1】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正
确的是（ ）
A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°
【分析】首先过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由AB∥EF，即可得AB∥CM∥DN∥EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式10-2】（2022•皇姑区一模）如图所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C+∠D的值为
．
【分析】过C作CG∥AB，过D作DH∥EF，依据AB∥EF，可得AB∥EF∥CG∥DH，进而得出∠1＝
∠B＝35°，∠2＝∠E＝25°，∠GCD+∠HDC＝180°，可得∠BCD+∠CDE＝35°+180°+25°＝240°．
【解答】解：如图所示，过C作CG∥AB，过D作DH∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG∥DH，
∴∠1＝∠B＝35°，∠2＝∠E＝25°，∠GCD+∠HDC＝180°，
∴∠BCD+∠CDE＝35°+180°+25°＝240°，
故答案为：240°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．
【变式10-3】如图，AB∥CD．
（1）如图①，若∠CMN＝90°，点B在射线MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度数；
（2）如图②，若∠CMN＝150°，请直接写出∠ABM与∠C的数量关系．
【分析】（1）过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，根据AB∥CD，MK∥AB，即可得到MK∥CD，再
根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；
（2）过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，根据AB∥CD，MK∥AB，即可得到MK∥CD，再根据平行
线的性质，即可得到180°﹣∠ABM+∠C＝150°，据此可得∠ABM与∠C的数量关系．
【解答】解：（1）如图①，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABM＝60°，
∵∠CMN＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝30°，
∵AB∥CD，MK∥AB，
∴MK∥CD，
∴∠C＝∠2＝30°；
（2）∠ABM﹣∠C＝30°，
理由：如图②，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABM，
∵AB∥CD，MK∥AB，
∴MK∥CD，
∴∠C＝∠2，∵∠CMN＝∠1+∠2＝150°，即180°﹣∠ABM+∠C＝150°，
∴∠ABM﹣∠C＝180°﹣150°＝30°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错
角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角．
【变式10-4】（2021春•怀化期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，
在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的
值
【分析】（1）过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE，EF∥OP，依据平行线的性质可得到∠PBD＝
∠BDE，则∠NAD+∠PBD＝∠ADB，最后，依据垂线的定义求解即可；（2）由（1）得∠NAD＝90°﹣
∠PBD，然后结合∠OBD+∠PBD＝180°，进行证明即可；
（3）先求得∠OBD的度数（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE．∵MN∥OP，EF∥MN，
∴EF∥OP．
∴∠PBD＝∠BDE，
∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠NAD+∠PBD＝90°．
（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD．
∵∠OBD+∠PBD＝180°，
∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，
∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．
（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，
∠OBD＝2∠OBA．
∵OP∥MN，
∴∠OBA＝∠NAB＝2α，
∴∠OBD＝4α．
由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【变式10-5】（2022秋•南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵∠ABC＝88°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．
故答案为：∠A+∠C＝88°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵∠ABC＝88°．
∴∠ABE+∠CBE＝88°．
∴∠A+180°﹣∠C＝88°．∴∠C﹣∠A＝92°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
1
∴∠GAF= ∠MAB．
2
∵CH平分∠NCB，
1
∴∠BCF= ∠BCN．
2
∵∠B＝88°，
∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
1
∴∠AGH= （∠BCN﹣∠MAB）．
2
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，
1
∴∠AGH= ×92°＝46°．
2
故答案为：46°．
【点评】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型十一 平移性质的应用
【例题11】如图是一块从一个边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测量FG＝8cm，求这个垫片
的周长．【分析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移
的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加2FG．
【解答】解：把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，
这个垫片的周长：50×4+8×2＝216（cm）．
答：这个垫片的周长为216cm．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长减
去FG．
解题技巧提炼
解决这类问题时，根据平移的性质，利用平移前后的对应线段相等和平移的距
离得出图形各边的长，进而解决求图形的周长或面积问题，通过平移把不规则图
形的面积转化成规则图形的面积来求解.
【变式11-1】（2021春•滨海县月考）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位
长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 ，线段AA′、CC′的数量关系为
；
（3）四边形AA′C′C的面积为 ．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）把四边形的面积看成两个三角形的面积和即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为：AA′∥CC′，线段AA′、CC′的数量关系为：AA′＝
CC′．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′；
1
（3）四边形AA′C′C的面积为：2× ×6×1＝6，
2
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中
考常考题型．
【变式11-2】（2022春•黄陂区期中）如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小
路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比
为（ ）1 1 2 2
A． B． C． D．
9 10 11 13
【分析】根据平移，可得路的宽度，根据矩形的面积，可得答案．
【解答】解：∵小路左边线向右平移tm就是它的边线，
∴路的宽度是tm，
∴小路面积是btm2，绿地面积是b（a﹣t）m2，
∵a：b＝5：3，b：t＝6：1，
∴a：t＝10：1，
1
∴小路面积与绿地面积的比为 ．
9
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积．
【变式11-3】如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，将直角梯形ABCD沿AB方向平移
2个单位得到直角梯形EFGH，HG与BC交于点M，且CM＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】先根据图形平移的性质得出BC＝GF＝5，再根据直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到
直角梯形EFGH，且CM＝1得出BM的长，再根据S阴影 ＝S梯形BFGM 即可得出结论．
【解答】解：∵直角梯形EFGH由直角梯形ABCD平移而成，
∴BC＝GF＝5，
∵直角梯形ABCD沿AB方向平移2个单位得到直角梯形EFGH，且CM＝1，
∴BM＝BC﹣CM＝5﹣1＝4，BF＝2，1 1
∴S阴影 ＝S梯形BFGM =
2
（BM+GF）•BF =
2
×（4+5）×2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平移的性质，直角梯形，仔细观察图形，得到阴影部分的面积等于四边形 BFGM
的面积是解题的关键．
【变式11-4】（2022春•黄陂区月考）如图是一块长方形的草地，长为21m．宽为15m．在草地上有两条
宽为1米的小道，长方形的草地上除小道外长满青草．求长草部分的面积为多少？
【分析】直接利用平移道路的方法得出草地的绿地面积＝（21﹣1）×（15﹣1），进而得出答案．
【解答】解：由图示可得，这块草地的绿地面积为：（21﹣1）×（15﹣1）＝280（平方米）．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题关键．
【变式11-5】（2021春•庆云县期末）如图，一块边长为 8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽
都是1米，空白的部分种上各种花草．
（1）求种花草的面积；
（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？
【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；
（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）（8﹣2）×（8﹣1）
＝6×7＝42 （平方米）
答：种花草的面积为42平方米．
（2）4620÷42＝110（元）
答：每平方米种植花草的费用是110元．
【点评】此题考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移
到矩形的边上进行计算．
题型十二 综合压轴探究题
【例题12】（2022春•罗定市期末）已知，直线l ∥l ，直线l 和l ，l 分别交于C，D点，点A，B分别
1 2 3 1 2
在直线l ，l 上，且位于直线l 的左侧，动点P在直线l 上，且不和点C，D重合．
1 2 3 3
（1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB＝∠CAP+∠DBP；
（2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，
∠DBP之间的数量关系，并选择其中一种的数量关系说明理由．
【分析】（1）如图1所示，过P点作PE∥l ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平
1
行线中的一条平行，与另一条也平行得到PE∥l ，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代
2
换即可得证；
（2）∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，如图2所示，过点P作PE∥l ，同（1）即可得证．
1
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE∥l ，
1∴∠APE＝∠CAP，
又∵l ∥l ，
1 2
∴PE∥l ，
2
∴∠BPE＝∠DBP，
∴∠APE+∠BPE＝∠CAP+∠DBP，
即∠APB＝∠CAP+∠DBP；
（2）解：如图2，∠APB＝∠DBP﹣∠CAP，
理由是：过点P作PE∥l ，
1
∴∠APE＝∠CAP，
又∵l ∥l ，
1 2
∴PE∥l ，
2
∴∠BPE＝∠DBP，
∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE，
即∠APB＝∠DBP﹣∠CAP．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．解题技巧提炼
解决这类问题主要是运用综合分析法，灵活运用本章节所学的知识来解决问
题，在解题过程中会用到转化思想或分类讨论的思想，得出各种情况下的结论.
【变式12-1】已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝ ，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当 ＝30°时，则∠EOC＝ °；∠FOD＝α °．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开
始以8°/秒α的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射
线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线
OE′转动的时间为 秒．
【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）先根据 ＝60°，求∠EOF＝150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的
度数＝150，列α式解出即可；
（3）分两种情况：在直线OE的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝ ＝30°，
∴∠EOC＝α90°﹣30°＝60°，
∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠AOD，1 1
∴∠FOD= ∠AOD= ×150°=75°；
2 2
故答案为：60，75；
（2）当 ＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线αOE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
1
12t+8t＝90+（180﹣60）× =150，
2
t＝7.5，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要7.5秒；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：12t+90+8t＝150或12t+8t＝150+90或360﹣12t＝8t﹣150+90或360﹣12t+360﹣8t+90＝360﹣
150，
t＝3或12或21或30．
故射线OE'转动的时间为3或12或21或30秒．
故答案为：3或12或21或30．
【点评】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟
记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
【变式12-2】（2022春•渌口区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在
∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；（2）需要分类讨论，当点 E，F在直线AB的同侧时，当点 E，F在直线AB的异侧；再分别表示
∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
1
∴∠EOF＝∠FOB= ∠EOB，
2
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意
数形结合．
【变式12-3】（2022秋•南关区校级期末）【感知】如图①，AD∥BC，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，
∠APC的度数为 ．
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，
（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，
∠ α ， ∠ β 之 间 的 数 量 关 系 为
．
【分析】【感知】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝55°+50°＝105°．
【探究】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质
得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
【解答】【感知】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝55°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝50°，
∴∠APC＝50°+55°＝105°；
故答案为：105°；
【探究】解：（1）∠APB＝∠α+∠β，理由如下：
如图②，过P作PE∥AD交AB于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在D、N两点之间时，∠APDB∠β﹣∠α；
理由：如图③，过P作PE∥AD交AB于E，∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠β﹣∠α；
当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β．
理由：如图④，过P作PE∥AD交AB于E点，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，
∴∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠α﹣∠β．
故答案为：当点P在D、N两点之间时，∠APB＝∠β﹣∠α；当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α
﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助
线构造内错角以及同旁内角．
