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2022-2023 学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷
第十四章 整式的乘法与因式分解（能力提升）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．计算 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
解： = ，
故选：A．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
2．下列单项式中，使多项式 能用平方差公式因式分解的M是 （ ）
A．a B． C．-16a D．
【解析】
解：A、16a2+a，不符合平方差公式，不符合题意；
B、16a2+b2，不符合平方差公式，不符合题意；
C、16a2-16a，不符合平方差公式，不符合题意；
D、16a2-b2，符合平方差公式，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），掌握平方差公式是解题的关键．
3．若 ，则代数式 的值为 （ ）
A． B．9 C．7 D．5
【解析】
解：∵ ，
∴
∴
=9．
故选:B．
【点睛】
本题考查求代数式的值，完全平方式，解题关键能发现所给的条件等式与所求代数式之间的
关系．
4．把一块边长为 米（ ）的正方形土地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成
一块长方形土地，你觉得土地的面积 （ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【解析】解：由题意得：长方形土地的长为 米，宽为 米，
∴长方形的面积为 ，正方形的面积为 平方米，
∴ ，
∴我觉得土地的面积变小了；
故选C．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式 （ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2
D．（a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2
【解析】
解：∵长方形的面积=（a+b）（a+2b）
长方形的面积=a2+ab+ab+ab+b2+b2= a2+3ab+2b2，
∴（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2
故选：A．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式
做出几何解释．
6．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式 的最小值时，利用公式
，对式子作如下变形： ，因为 ，
所以 ，当 时， ，因此 的最小值是1．
通过阅读，解答问题：当x取何值时，代数式 有最大或最小值，是多少？（ ）
A．当 时，有最小值 ． B．当 时，有最小值7．
C．当 时，有最大值7． D．当 时，有最大值 ．
【解析】
解：
=
==
∴当 时，有最大值7，
故选：C．
【点睛】
本题考查求代数式的最值，完全平方公式的应用，解题的关键是参照样例对代数式进行变形．
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲，将A、B并列放置，以正方
形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面
积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解析】
解：设大小正方形边长分别为a、b，
S ＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，
阴1
S ＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．
阴2
∴a2+b2﹣2×4＝1，
∴a2+b2＝9．
故选：B．
【点睛】
考查了完全平方式的应用，把阴影部分表示出来是解题的关键．
8．若 ， ，则 与 的关系为 （ ）
A． B． C． D．不能确定
【解析】
解：∵ ， ，
＞0，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同
类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．计算： _________．
【解析】解：
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
10．计算：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=__________．
【解析】
解：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2
=202.2×（4.3+7.6-1.9）
=202.2×10
=2022，
故答案为：2022．
【点睛】
本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式的方法是正确应用的前提．
11．已知 ， ，则 ________．
【解析】
解：
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解此题的根据．
12．若 是完全平方式，则 ______．
【解析】
解：∵ 是完全平方式，
∴m−3＝±6，
解得：m＝-3或9．
故答案为：-3或9．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．已知 ， ，若用含x的代数式表示y，则 ______．
【解析】
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键．
14．若 满足 ，则 ________．
【解析】
解： ，
又 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键．
15．已知 ， ，则m+n+c的值为__________．
【解析】
解：∵m−n＝6，
∴m＝n＋6，
∵ ，
∴n（n＋6）＋c2＋16c＋73＝0，
∴n2＋6n＋c2＋16c＋73＝0，
∴n2＋6n＋9＋c2＋16c＋64＝0，
∴（n＋3）2＋（c＋8）2＝0，
∴n＋3＝0，c＋8＝0，
∴n＝−3，c＝−8，
∴m＝n＋6＝−3＋6＝3，
∴m＋n＋c＝3＋（−3）＋（−8）＝−8，
∴m＋n＋c的值为−8．
故答案为：−8．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百
年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多
规律，如它的每一行的数字正好对应了 （ 为非负整数）的展开式中 按次数从大到小排列的项的系数，例如： 展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的
数字； 展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．
请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出 的展开式： ______．
【解析】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应
用规律解决问题是解题的关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算
(1)计算：（2x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；
(2)用简便方法计算：20212﹣2020×2022．
【解析】
（1）解：原式=4x2-4xy+y2-4x2+y2=-4xy+2y2；
（2）解：原式=(2020+1)2-2020×(2020+2)=20202+2×2020×1+1-20202-2020×2=1．
【点睛】
本题考查整式混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式
是解题的关键．
18．以下是小鹏化简代数式 的过程．
解：原式 ……………………①
…………②
．……………………………………………③
(1)小鹏的化简过程在第______步开始出错，错误的原因是______．
(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当 时代数式的值．
【解析】
（1）小鹏在第①步开始出错，（a-2）2≠a2-2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．
故答案为：①，完全平方公式运用错误．
（2）（a-2）2+（a+1）（a-1）-2a（a-3）
=a2-4a+4+a2-1-2a2+6a
=2a+3．
∴当 时，原式=2×（-0.5）+3=2．【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．
19．甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了a，分解结果为 ，乙看错了
b，分解结果为 ．求多项式 分解因式的正确结果．
【解析】
解：∵ ，甲看错了 的值，
∴ ，
又∵ ，乙看错了 的值，
∴ ，
∴多项式 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
20．如图，学校有一块长为 ，宽为 的长方形土地，四个角留出四个边长为
的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
(1)用含 、 的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
(2)当 ， 时，求要进行绿化的土地面积．
【解析】
(1)
解：由于S ＝S ﹣4S ，因此有，
绿化面积 长方形 小正方形
（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2
＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2），
答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）；
(2)
解：当a＝6，b＝10时，
原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）
答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2．【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握完全平方公式
的结构特征，多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．
21．计算并观察规律，完成下列问题：
例：计算：
解：设 ，则原式 ．
(1)计算： ；
(2)若 ， ，请比较M、N的大小．
【解析】
(1)设223=x，
∴2232-224×122
=x2-（x+1）（x-1）
=x2-x2+1
=1；
(2)设123456786=x，
∴M=123456789×123456786
=（x+3）•x
=x2+3x，
N=123456788×123456787
=（x+2）（x+1）
=x2+3x+2，
∴M＜N．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，理解例题的解题思路是解题的关键．
22．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a
的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图
②）．
(1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ．
(2)小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝1•（2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）(3)利用以上的结论和方法、计算： +（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【解析】
（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，图②是长为（a＋
b），宽为（a−b）的长方形，因此面积为（a＋b）（a−b），由图①、图②面积相等可得：
（a＋b）（a−b）＝a2−b2，故答案为：（a＋b）（a−b）＝a2−b2；
（2）解：原式＝（2−1）•（2＋1）（22＋1）（24＋1）＝（22−1）（22＋1）（24＋1）＝
（24−1）（24＋1）＝28−1，故答案为：28−1；
（3）解：原式＝ ＋ （3−1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝ ＋
（32−1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝ ＋ （34−1）（34＋1）（38＋1）（316
＋1）＝ ＋ （38−1）（38＋1）（316＋1）＝ ＋ （316−1）（316＋1）＝ ＋ （332−1）
＝ ＋ − ＝ ．
【点睛】
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式
表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．
23．先阅读，再解答．
例： ，求 的值．
解：∵
∴
即
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 为ΔABC的三边，且满足 判断ΔABC的形状，并说明
理由．
【解析】
(1)解：∵
∴即
∵
∴
∴
∴ ．
(2)解：ΔABC是等边三角形，
理由∵
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴ΔABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是
解题的关键．
24．（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和．
方法1：____________________________；
方法2：____________________________．
（2）请你直接写出三个代数式： ， ，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ， ，求mn和 的值；
②已知 ，求 的值．【解析】
解：（1）方法1：两个阴影部分的面积和就是边长为 的正方形，与边长为 的正方形的面
积和，即 ；
方法2：两个阴影部分的面积和也可以看作从边长为 的正方形面积中减去两个长为 ，宽
为 的长方形面积，即 ；
故答案为： ， ；
（2）由（1）得， ；
（3）① ，
，
，
，
即 ；
，
答： ， ；
②设 ， ，则 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的代数式表示阴影部分的面积．
25．在求代数式值的问题中，有时通过观察式子的特点，可以找到较为简单的解法．
例如，若x满足 ，求 的值，可以按下列的方法来解：
解：设 ， ，则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
(1)若x满足 ，求 的值；(2)将正方形ABCD和正方形EFGH按如图所示摆放，点F在BC边上，EH与CD交于点I，且
， ，长方形EFCI的面积为24，以CF为边作正方形CFMN．设 ，
①用含x的代数式直接表示EF和CF的长；
②求图中阴影部分的面积．
【解析】
(1)解：设 ， ，则 ， ，
∴ ；
(2)①∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，四边形EFCI是长方形， ，
，
∴CD＝AD＝x，
∴ ，
∴FG＝ ，
∴ ；
②∵长方形EFCI的面积为24，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和平分差公式的应用，牢记完全平方公式和平方差公式以及变
形公式（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab是解题关键．
