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第四章《几何图形初步》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．A
【分析】根据方位角的概念，即可解答；
【详解】解：如图，
1班在2班的北偏东40°方向，距离B处5千米的A处；
故答案为：A．
【点睛】本题考查了方位角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方位角和距离．
2．C
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，即可．
【详解】解： 点 分，再过 分钟就是 点 分，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查角的知识，解题的关键是掌握时针的速度和分针的速度．
3．D
【分析】根据面动成体进行判断即可．
【详解】解：解：长方形绕直线旋转一周，能形成的几何体是大圆柱内套一个小圆柱，
因此选项D中的形体比较符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提．
4．C
【分析】依据过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念即可作出判断．
【详解】解：C、延长线段 应改为反向延长线段 ，故选项说法错误，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念等知识点，区分延长线段和反
向延长线段是解题的关键．
5．B
【分析】根据两点间的距离，余角的性质，交点的定义，中点的定义，线段的性质逐项分析即可．【详解】解：①连接点A与点B的线段的长度，叫做A、B两点之间的距离，故原说法错误；
②等角的余角相等，正确；
③三条直线两两相交，有三个或一个交点，故原说法错误；
④当点C在线段 上时，若线段 ，则C是线段 的中点，故原说法错误；
⑤在草坪中踩出一条“捷径”，其蕴含的数学道理是“两点之间线段最短” ，故原说法错误．
故选B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，余角的性质，交点的定义，中点的定义，以及线段的性质，熟练掌握各知识
点是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据三角尺每个角的度数，利用角的和差计算即可得出．
【详解】左边三角尺的三个角分别为 ， ， ，右边三角尺的三个角分别为 ， ， ，
， ， ，
用这副三角尺画出来的是： ， ， ，
①③④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，利用和、差关系求解是解答此题的关键．
7．B
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可．
【详解】解：根据有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图可知应剪去1或2或6，
故不应剪去的是3，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握正方体的展开图的特征是关键．
8．A
【分析】根据正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．
【详解】根据题意及图示只有A经过折叠后符合．
故选：A．
【点睛】此题考查几何体的展开图，解题关键在于空间想象力.
9．C
【分析】根据C是 的中点，D是 的中点，得到 ，结合线段的和与差，计算
判断选择即可．
【详解】解： C是 的中点，D是 的中点，
，
A、 ，此选项正确，故不符合题意；
B、 ，此选项正确，故不符合题意；C、 ，此选项错误，故符合题意；
D、 ，此选项正确，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是掌握线段的中点把线段分成相等的两条线段．
10．C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ,
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵不能证明 ，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角
的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
11． -20 100 120 40
【分析】（1）利用数轴上点表示的数的特征即可；
（2）两点间的距离用大数减小数；
【详解】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，
∴点A表示的数是 ，∵点B在原点右侧且距原点100个单位，
∴点B表示的数是100，
故答案为： ；100．
（2）∵点A表示的数是-20，点B表示的数是100，
∴A、B两点间的距离为100-（ ）=120；
线段AB中点表示的数是100-120÷2=40；
故答案为： ，100，120，40；
【点睛】本题考查了数轴上点表示数的特征，以及两点间距离公式等知识，属于数轴的简单应用．
12．3或9##9或3
【分析】分点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况，根据线段中点的定义、线段的和差进行计算即可得．
【详解】解：①如图，当点 在点 的左侧时，
， ，
，
点 是线段 的中点，
，
；
②如图，当点 在点 的右侧时，
， ，
，
点 是线段 的中点，
，
；
综上， 的长是 或 ，
故答案为：3或9．
【点睛】本题考查了线段的中点、以及线段的和差，正确分两种情况讨论是解题关键．
13．5
【分析】根据时针每小时转 ，每分钟转 ，得出9点50分时针转过 ，分针每分钟转 ，得出分针一共
转过 ，据此即可求解．
【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间．
∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转 ，每分钟转 ，因而转过，
分针每分钟转过 ，因而转过了 ，
∴时针和分针所成的夹角是 ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．
14． 或30
【分析】利用分针的旋转速度是 度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
【详解】解：分针的旋转速度是 度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的
夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x= ；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过 或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为： 或30
【点睛】本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针
所走路程的等量关系是解决本题的关键．
15． 或 或 ．
【分析】对射线OC、OD在∠AOB内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
如图1，OC、OD都在∠AOB内部，
；
如图2，OC在∠AOB内部， OD在∠AOB外部，
，
如图3，OC在∠AOB外部， OD在∠AOB内部，
，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了角的和差，解题关键是画出准确图形，分类讨论，准确计算．
16． 或
【分析】由题意，分两种情况讨论，当 平分 时，当 平分 时作出图形，分别画出对应图，
对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解】 平分 ，
，
以每秒 的速度绕点O逆时针旋转， 以每秒 的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当 平分 时，解得
，
②如图2，当 平分 时，
解得
故答案为： 或
【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
17．36
【分析】先确定5个面都是那几个面，再根据6个面上的数字位置确定这5个面上的数再计算.
【详解】最下面的正方体中，-3对面是3，-1对面是1，故上下两个面的数是2和-2，
中间正方体中，1对面是-1，-2对面是2，故上下两个面的数是3和-3，
最上面的正方体中，2对面是-2,3对面是-3，1-对面是1，
故无论从哪个角度都看不到的5个面的数字分别是2，-2，3，-3，1，
∴它们的乘积是 ，
故答案为：36.
【点睛】此题考查正方体的特点，解题的关键是根据题意找出5个无论从哪个角度都看不到的面，确定上面的数
字由此进行计算.
18．(1)见解析
(2)3cm
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出 和 的长，相加即可．
【详解】（1）解：如下图，
以点A为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线与点C， ，
以点A为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线与点E， ，
以点B为圆心， 长为半径画弧，交 与点D， ，
点C、点D、点E为所求；
（2） ，
，
是 的中点，
，
是 的中点，
，
．
【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的中点的含义
与线段的和差关系”是解题的关键．19．(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根据“点M、N分别是 的中点”，先求出 的长度，再利用 即可求
出MN的长度即可；
（2）当C为线段 上一点，且M，N分别是 的中点，则存在 ；
（3）点在 的延长线上时，根据M、N分别为 的中点，即可求出 的长度．
【详解】（1）解：∵ ，点M是 的中点，
∴ ，
∵ ，点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度为5 ；
（2）解：∵ ，点M是 的中点，
∴ ，
∵ ，点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴线段MN的长度为 ，
故答案为： ；
（3）解：当点C在线段 的延长线时，如图：
则 ，
∵M是 的中点，
∴ ，∵点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．分情况讨论是解题的关键．
20． ， ， ， ， ，
【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ， （已知）
∴ ．
∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线定义）
∵ （已知）
∴ ．
故答案为： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查的是余角定义及角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程
思想的运用．
21．(1)60°
(2)2α
(3)360°-2α
【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD
可求；
（2）利用（1）中方法可求；
（3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数．
【详解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°，
∴∠DOE=90°-30°=60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．
（2）∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=90°-α．
∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α．
（3）由题意：∠DOE=α-90°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．
故答案为：360°-2α．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解
题的关键．
22．(1)18
(2)
(3)线段 的长为 ；
(4)点G表示的数为2或3或 或10．
【分析】（1）由 即可求解；
（2）利用“优点”定义求出 即可；
（3）分两种情况讨论，第一是点M在N左侧，第二是点M在N右侧，再由“优点”定义求解即可；
（4）分为两种情况，一是点G在线段 中间，可得出 或 ，二是点G在线段 右侧，可得
出 或 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵点C为线段 的“优点”， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：18；
（2）如图，
∵点D是线段 的“优点”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；（3）∵点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F，
∴点F表示的数为4，
∴ ，
当点M在点N左侧时，则：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点M在点N右侧时，则：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上，线段 的长为 ；
（4）∵点E表示的数为1，点F表示的数为4，
∴ ，
①线段 互为“优点”伴侣线段时，有
或 ，
当 时，
，
∴ ，
∴点G表示的数为3，
当 时，
，
∴ ，
∴点G表示的数为2，
②线段 互为“优点”伴侣线段时，有
或 ，
当 时，
，
∴点G表示的数为 ，
当 时，，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为2或3或 或10．
【点睛】本题考查数轴相关知识点，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优
点”伴侣线段的定义．
23．(1) ；
(2)不变， ；
(3) 或 ；
【分析】（1）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可；
（2）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可；
（3）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可；
（1）
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
（2）
解：不变， ．
理由如下：
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
，
．
（3）解：如下图
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
，
，
如下图：
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
，，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线的性质和角之间的关系，关键要结合图形进行分析，清楚角之间的关系．
