文档内容
资阳市 2024 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4页．全卷满分150分．考试
时间共120分钟．
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将
试题卷和答题卡一并交回．
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．
3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作
答，答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则解答即可．【详解】解：AB、 和 不是同类项，不能合并，故AB错误，不符合题意；
C、 ，故C错误，不符合题意；
D、 ，故D正确，符合题意．
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查由三视图来判断几何体的形状．
【详解】解：由三视图可知，该几何体长方体，
故选：A．
4. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从
小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】中位数： ，
众数：7
故选：C．5. 在平面直角坐标系中，将点 沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可
得答案．
【详解】点 沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为
故选：B．
6. 如图， ，过点 作 于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得 ， ，即 ，再根据平行线的同旁内角互
补 ，即可求出 的度数．
【详解】∵过点 作 于点 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
将 代入上式，可得 ，
故选 ．
7. 一个正多边形的每个外角度数都等于 ，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于 ，根据正多边形的每个
内角相等，每个外角也相等，外角和等于 ，即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于 ，且这个每个外角都等于 ，
∴它的边数为 .
故选：C．
8. 若 ，则整数m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定 和 的范
围，然后求出整数m的值的值即可．
【详解】解：∵ ，即 ， ，即 ，
又∵ ，
∴整数m的值为：3，
故选：B．
9. 第 届国际数学教育大会（ ）会标如图 所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵
爽的“弦图”，如图 所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（ ， ， ， ）
和一个小正方形 拼成的大正方形 ．若 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据全等三角形，正方形的性质可得 ，再根据勾股定理可得
，即可求出 的值．
【详解】解：根据题意，设 ，则 ，
∵ ，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
10. 已知二次函数 与 的图像均过点 和坐标原点 ，这两个函数在
时形成的封闭图像如图所示， 为线段 的中点，过点 且与 轴不重合的直线与封闭图像交于 ， 两点．给出下列结论：
① ；
② ；
③以 ， ， ， 为顶点的四边形可以为正方形；
④若点 的横坐标为 ，点 在 轴上（ ， ， 三点不共线），则 周长的最小值为 ．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线 ，根据对称轴公式即可求出 ，可判断①正确；过
点 作 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，证明 ，可得 ，
可判断②正确；当点 、 分别在两个函数的顶点上时， ，点 、 的横坐标均为 ，求出
的长度，得到 ，可判断③正确；作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此
时 周长的最小，小值为 ，即可判断④．
【详解】解：① 二次函数 与 的图像均过点 和坐标原点 ， 为线
段 的中点，，两个函数的对称轴均为直线 ，
即 ，
解得： ，故①正确；
②如图，过点 作 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
，
由函数的对称性可知 ，
在 和 中，
，
，
，故正确②；
③当点 、 分别在两个函数的顶点上时， ，点 、 的横坐标均为 ，由①可知两个函数的解析式分别为 ， ，
， ，
，
点 ，
，
，
由 ，
此时以 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 周长的最小，最小值为
，
点 的横坐标为 ，
，点 的横坐标为 ，
， ，
， ，周长的最小值为 ，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数 的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判
定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 若 ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别
为0．根据绝对值和平方的非负性，得出 ，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：2．
12. 年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长 左右，城镇新增就
业 万人以上……将数“ 万”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：
“ ，其中 ， 是正整数”是解题的关键．
【详解】解： 万 ，故答案为： ．
13. 一个不透明的袋中装有 个白球和 个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机
取出一个球是白球的概率为 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．根据概率公式
即可求解．
【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
14. 小王前往距家2000米的公司参会，先以 （米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议
地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之
间的函数图象如图所示．若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分
钟．【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运
用所学知识解决问题．
根据图象求出 ，进而得出小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．
【详解】解：根据题意可得： （米/分），
小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达需要时间为： （分），
由图可知，会议开始时间为出发后 （分），
∴若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 （分），
故答案为：5．
15. 如图，在矩形 中， ， ．以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ，再
以 为直径作半圆，与 交于点 ，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法
求阴影部分的面积．
设弓形 ，连接 ， ，由题意知 ，即 为等边三角形，
，即可得出阴影部分面积为 ，代入数值即可求出结
果．
【详解】解：∵以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ， ， ，
∴ ，∴以 为直径作半圆时，圆心为点 ，
设弓形 ，连接 ， ，即 ，如图：
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故阴影部分面积为 ，
代入数值可得 ，
故答案为 ．
16. 在 中， ， ．若 是锐角三角形，则边 长的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作 的高 ， ，根据题意
可得 ， ，在 中，根据三角函数可得 ，即 ，再
根据 ，即可求解．
的
【详解】解：如图，作 高 ， ，是锐角三角形，
， 在的内部，
， ，
在 中， ， ，
，
，
又 ，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共 8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：，
把 代入得：原式 ．
18. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古
诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为
A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画
树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】（1）400，见解析
（2）800名 （3）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的
人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
再利用概率公式求解即可．【
小问1详解】
解：由图可得， （名），
∴D等级的人数为： （名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
【小问2详解】
解： （名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为 ．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根
据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
19. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪
念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200
元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元
（2）至少应购买B款纪念品30个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，
则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品 个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范
围，即可求解．
【小问1详解】
解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
【小问2详解】
解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品 个，
由题意得， ，
解得， ，
答：至少应购买B款纪念品30个．
20. 如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 （ ）的图象与反比例函数
的图象相交于 ， 两点．（1）求一次函数的解析式；
（2）若点 在一次函数的图象上，直线 与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的
坐标，并写出直线 在图中的一个特征．
【答案】（1）
（2） ，直线 上y随x的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法
和步骤．
（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入 ，求出k和b的值，即可得出一次
函数解析式；
（2）先求出直线 的函数解析式为 ，进而得出 ，结合图象可得直线 的特征．
【小问1详解】
解：把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，把 ， 代入 ：
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设直线 的函数解析式为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
联立得： ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
由图可知：直线 上y随x的增大而增大．
21. 如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点 在 外，延长 ， 相交于点 ，过点
作 于点 ，交 于点 ， ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为6，点 为线段 的中点， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角和对顶角相等可推出 ，
，结合 和三角形内角和，从而推出
，得证；
（2）由（1）可知 ，可证 ，推出 ，再由勾股定理可得 ，
利用点 为线段 的中点，可得 ，从而得到 ，从而得到 ，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
， ，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，是 的切线；
【小问2详解】
解：如（1）图， ，
又 ， ，
，
，
的半径为6， ，
，
，即 ，
又 点 为线段 的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角
形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东 方向，且A，B相距 海里．一
渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东 方向、灯塔B的正北方向．（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东 方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，
在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东 方向，便立即以18海里/小时的速度沿 方向航行至D处救
援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据： ， ）
【答案】（1）B，C两处的距离为16海里
（2）渔政船的航行时间为 小时
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得 ，则 ，再求出 （海里），即可解答；
（2）过点D作 于点F，设 海里，则 ，
，则 ，求出 ，进而得出 海
里， 海里，根据勾股定理可得： （海里），即可解
答．
【小问1详解】
解：过点A作 于点E，∵灯塔B在灯塔A的南偏东 方向，C处在灯塔A的北偏东 方向、灯塔B的正北方向．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 海里，
∴ （海里），
∴ （海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
【小问2详解】
解：过点D作 于点F，
设 海里，
∵ ，
∴ ，
由（1）可知， 海里，
∴ 海里，
∵ ，∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 海里， 海里，
根据勾股定理可得： （海里），
∴渔政船的航行时间为 （小时），
答：渔政船的航行时间为 小时．
23. （1）【观察发现】如图1， 在中，点D在边 上．若 ，则 ，
请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在 中， ，点D为边 的中点， ，点E在
上，连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图 3，在菱形 中， ，点 E，F 分别在边 ， 上，的
，延长 ， 相交于点G．若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）证明 ，得出 ，即可证明结论；
（ 2 ） 过 点 C 作 于 点 F ， 过 点 D 作 于 点 G ， 解 直 角 三 角 形 得 出
， ， 证 明 ， 得 出
， 求 出 ， 根 据 勾 股 定 理 得 出
，得出 ，证明 ，得
出 ，求出 ；
（3）连接 ，证明 ，得出 ，求出 ，证明 为直角三角形，得出
，根据勾股定理求出 ，证明 ，得出，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点C作 于点F，过点D作 于点G，如图所示：
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
（3）连接 ，如图所示：
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
∴在 中根据勾股定理得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，
平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
24. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴的
正半轴交于C点，且 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接 ，过点P作 轴于点D，交 于
点K．记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
（3）如图2，连接 ，点E为线段 的中点，过点E作 交x轴于点F．抛物线上是否存在
点Q，使 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在， 或【解析】
【分析】（1）先求 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 的解析式，设 ，则： ，将 转化为二次
函数求最值即可；
（3）易得 垂直平分 ，设 ，勾股定理求出 点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出
，分别作点 关于 轴和直线 的对称点 ，直线 ， 与抛物线
的交点即为所求，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 ， ，代入函数解析式得：
∴ ，解得： ；
∴ ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 的最大值为 ；
【小问3详解】
存在：
令 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
①取点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交抛物线与点 ，则： ，
，
设 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；
②取 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交抛物线于点 ，则： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求
线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中
考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
