文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（呼和浩特专
用）
黄金卷 3
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（2022·山东淄博·统考中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2022·四川广元·统考中考真题）若实数a的相反数是-3，则a等于（ ）
1
A．-3 B．0 C． D．3
3
【答案】D
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【详解】解：∵3的相反数是-3，
∴a=3．故选：D．
【点睛】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
3．（2022·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是( )
A．2a+3b=5ab B．(a+b) 2=a2+b2 C．a2×a=a3 D．(a2) 3 =a5
【答案】C
【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断
即可．
【详解】A. 2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；
B. (a+b) 2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
C. a2×a=a3，故选项C符合题意；
D. （a2 ）3=a6，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公
式，是解题的关键．
4．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中
取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
1 3 2 1
A． B． C． D．
4 4 3 2
【答案】D
【分析】先设每个小等边三角的面积为x，则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，再根据
几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为x，
则阴影部分的面积是6x，整个图形的面积是12x，
6x 1
则这个点取在阴影部分的概率是 = ．
12x 2
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，
醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，
一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可
列方程为（ ）
A．10x+3(5−x)=30 B．3x+10(5−x)=30
x 30−x x 30−x
C． + =5 D． + =5
10 3 3 10
【答案】A
【分析】根据题意直接列方程即可．
【详解】解：根据题意，得：10x+3(5−x)=30，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式
1 2
x3−2022x +x2
的值是（ ）
1 1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，
1 2
∴x 2−2022=x ，x x =−2022，x +x =1
1 1 1 2 1 2
x3−2022x +x2 =x (x ❑ 2−2022)+x ❑ 2=x ❑ 2+x ❑ 2=(x +x ) 2−2x x =1−2×(−2022) =4045
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
7．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方
法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=(x−2) 2，把点(2,0)代入得：
y=(2−2) 2=0，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x−1) 2−1，把点(2,0)代
入得：y=(2−1) 2−1=0，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平
移方式符合题意；
④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：
y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
8．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判
断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不
符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真
命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以
及直角三角形斜边上的中线的性质．
m
9．（2022·江苏无锡·统考中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、B，其中
x
1
点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则 OAB的面积（ ）
m
△
13 7 15
A．3 B． C． D．
4 2 4
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次
函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
1 m
【详解】解：∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图像上，
m x
1
∴m=(- ) • ( -2m)=2，
m
2
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
1
∴B（2，1），A（- ，-4），
2
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
1 1 1
= ×3×2+ ×3×
2 2 2
15
= ．
4
故选：D．．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
10．（2022·浙江宁波·一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四
边形PMNQ，若AB:AD=3:5，则下列BM:MC的值能达成这一翻折的是（ ）
A．1:4 B．2:5 C．1:9 D．4:9
【答案】C
【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质证明△BMP≌△DQN，从而得出BM=QD，再设出BM，利用AB与
AD的比例和勾股定理，分别表示出MN，QN，MQ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，
∴AP=PE=BP，BM=ME，MF=MC，QD=QF，DN=FN=CN，∠BMP=∠EMP，∠CMN=∠FMN，∠CNM=∠FNM，
∠DNQ=∠FNQ，
∴∠BMP+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∠CNM+∠DNQ=90°，∠DNQ+∠DQN=90°，
∴∠BMP=∠CNM，∠CNM=∠DQN，∠MNQ=90°，
∴∠BMP=∠DQN，
∴△BMP≌△DQN（AAS），
∴BM=ME=DQ=QF，
∴MQ=MF+QF=MC+BM=BC，设AB=CD=6a，BM=ME=QF=DQ=x，
∵AB：AD=3：5，
∴BC=AD=10a，
∴MF=MC=10a-x，AP=PE=BP=3a，DN=FN=CN=3a，MQ=10a，
∴M N2=MC2+CN2=(10a−x) 2+(3a) 2，QN2=DQ2+DN2=x2+(3a) 2，
∵MQ2=M N2+QN2，
∴(10a) 2=(10a−x) 2+(3a) 2+x2+(3a) 2，
解得：x=a或x=9a，
当x=a时，BM=a，
∴MC=BC-BM=9a，
∴BM：MC=1：9，
∴MC=BC-BM=9a，
∴MC=BC-BM=a，
∴BM：MC=9：1，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知
识点，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理将BM表示出来．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
11．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=√2．以A为圆心，AD的长
为半径作弧交BC边于点E，则阴影部分的面积是 __．
4√2−2−π
【答案】
4
【分析】根据题意可得AD=AE=√2，则可以求出sin∠AEB，可以判断出∠AEB=45°，进一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长计算公式可得出阴影面积．
【详解】解：
如图，连接AE，
在RtΔABE中，AB=1，AE=AD=√2，
∴BE=√AE2−AB2=1=AB，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴∠DAE=90°−45°=45°，
∴S =S −S −S
阴影部分 矩形ABCD ΔABE 扇形ADE
2
1 45π×(√2)
=√2×1− ×1×1−
2 360
4√2−2−π
= ，
4
4√2−2−π
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查扇形的面积，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握扇形面积公式
及解直角三角形的知识．
12．（2022·山东菏泽·统考二模）某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧
面积是______cm2（结果保留π）．
【答案】65π
【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．【详解】解：观察图形可知：这个几何体是圆锥，
圆锥母线长为：√52+122 =13，
所以圆锥侧面积为：πrl=5×13×π=65π（cm2）．
答：该几何体的侧面积是65πcm2．
故答案为：65π．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图判断出几何体，再根据几何
体求其侧面积．
6−x 2m
13．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x的方程 − =0有增根，则m的值是______．
x−3 x−3
3
【答案】
2
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
6−x 2m
【详解】解： − =0，
x−3 x−3
方程两边同乘x−3，得6−x−2m=0．
移项，得−x=2m−6．
x的系数化为1，得x=−2m+6．
6−x 2m
∵关于x的方程 − =0有增根，
x−3 x−3
∴−2m+6−3=0．
3
∴m= ．
2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
14．（2022·北京西城·校考模拟预测）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元
活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价
和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方
案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况(见表格)，若按照这个百分
比情况定制商品，至少定制小熊______个和钥匙扣______个，才能筹集到600元资金(即获得600元利润)．
小熊 钥匙扣 套装进价 13 3 16
售价 16 4 18
购买意向 40% 30% 25%
【答案】 195 165
【分析】设定制小熊、钥匙扣以及套装共x件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利
润600元，列出方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设定制小熊、钥匙扣以及套装共x件，由题意得：
(16−13)×0.4x+(4−3)×0.3x+(18−16)×0.25x=600，
解得：x=300，
∴单独买小熊：300×0.4=120(个)，
单独买钥匙扣：300×0.3=90(个)，
买套装：0.25×300=75(套)，
∴至少定制小熊：120+75=195(个)，定制钥匙扣：90+75=165(个)，
∴至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个．
故答案为：195；165．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键．
15．（2022·四川广元·校考模拟预测）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例
如[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：①[﹣1.2]+[1]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x+1]＝3，则x的范围是
2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1，则[x+1]+[﹣x+1]的值为0，1，2．其中正确的结论有：________．
【答案】③
【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】[−1.2]+[1]=−2+1=−1≠−2，错误；
②[x]+[−x]=0，错误，例如：[2.5]+[−2.5]=2+(−3)=−1≠0；
③若[x+1]=3，则3≤x+1<4，解得2≤x<3，正确；
④当−1≤x<1，0≤x+1<2，0<−x+1≤2，
∴[x+1]=0或1，[−x+1]=0或1或2，
当[x+1]=0时，[−x+1]=1；当[x+1]=1时，[−x+1]=1或0；
所以[x+1]+[−x+1]=1或2，故错误．
故答案为：③．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．
16．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE
的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=√5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离
为√3；③EB⊥ED；④S =4+√6．其中正确的是________．
正方形ABCD
【答案】①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③
利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B
作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰
直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在Rt△ABF中，利用勾
股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△AEB和△APD中 ，
¿
∴△APD≌△AEB(SAS)故①正确；
③△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE=√AE2+AP2=√2，
∴BE=√BP2−PE2=√5−2=√3，
√6
∴BF=EF= ，故②不正确；
2
√6
④∵BF=EF= ，AE=1，
2
∴在Rt△ABF中，AB2=(AE+EF) 2+BF2=4+√6，
❑
∴S =AB2=4+√6，故④正确，
正方形ABCD
故答案为：①③④
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的
关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）（1）计算(−2) 2+|−√3|+2sin60°−√12；
（2）解不等式组¿．
【答案】（1）4；（2）−1≤x<2
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值和二次根式的性质进行计算，再算加
减即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）(−2) 2+|−√3|+2sin60°−√12
√3
=4+√3+2× −2√3
2
=4+√3+√3−2√3
=4；
（2）¿ ，
解不等式①，得x≥−1，
解不等式②，得x<2，
∴等式组的解集是−1≤x<2．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元一次不等式组等知识点，能正确根据
实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）
的关键．
18．（8分）（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，
DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得ΔABE≌ΔCDF，则其对
应边相等：AB=CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【详解】证明：∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF．
在ΔABE与ΔCDF中，
∠BAE=∠DCF
{∠AEB=∠CFD=90°．
BE=DF
∴ΔABE≌ΔCDF(AAS)．
∴AB=CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的
判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．（10分）（2022·湖南常德·统考中考真题）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京
举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的
热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点
区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距
离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD
的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，
sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】70
【分析】过点E作EN ⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt△AHF中，
EM EM EM
求得AH，根据FM= ,MG= = ，FG=7，求得FM，进而求得MN，
tan∠EFG tan∠EGF tan∠ECB
根据AB=AH+HB=AH+MN即可求解．
【详解】如图，过点E作EN ⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，
∴HB=MN，∵ AF=50，∠AFH=40°，
在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），
∵ HG∥BC，
∴∠EGF=∠ECB
∵ ∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米
EM EM EM
∵FM= ,MG= =
tan∠EFG tan∠EGF tan∠ECB
EM EM
∴ + =7，
0.47 0.73
解得EM≈2，
∵顶端E到BD的距离为40米，即EN=40米
∴MN=EN−EM=40−2=38（米）．
∴AB=AH+HB=AH+MN=32+38=70（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．（8分）（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于C、B
m
两点，与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面
积最大时，求点D的坐标．
12
【答案】(1)y= (x>0)
x
( 1)
(2)点D的坐标为 1,−
2
【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得
BC OB OC 1
= = = ，结合已知条件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，
AC AF CF 2
可得A(6,2)，代入反比例函数解析式求出m值即可；
1 1
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y= x−1，设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，
2 2
12
E(t, )，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，
t
即可求出最值．
（1）
解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
BC OB OC 1
∴ = = = ，
AC AF CF 2
∵OB=1，tan∠OBC=2，∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A(6,2)．
m
∵点A在反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象上，
x
∴m=2×6=12．
12
∴反比例函数的表达式为：y= (x>0)．
x
（2）
解：由题意可知B(0,−1)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(6,2)，B(0,−1)代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
1
∴直线AB的解析式为：y= x−1．
2
1 12
设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，E(t, )，
2 t
12 1
∴ED= − t+1，
t 2
∴△BDE的面积为：
1 12 1
(t−0)( − t+1)
2 t 2
1 1
=− t2+ t+6
4 2
1 25
=− (t−1) 2+ ．
4 4
1
∵− <0，
4
25
∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为 ，
4
1 1 1
将x=1代入y= x−1，得y= −1=−
2 2 2( 1)
∴点D的坐标为 1,− ．
2
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函
数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的
关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．
21．（7分）（2022·江苏宿迁·统考中考真题）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽
样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下
尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ；
(2)补全条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的
人数．
【答案】(1)200，30
(2)补全图形见解析
(3)1600人
【分析】（1）利用活动天数为2天的人数占比5%，可得总人数，再扇形图的信息可得n的值；
（2）先求解活动3天的人数，再补全图形即可；（3）由2000乘以活动4天及以上部分所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：m=10÷5%=200（人），
n=100−25−25−5−15=30,
故答案为：200，30
（2）活动3天的人数为：200×15%=30（人），
补全图形如下：
（3）该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为：
60+50+50
2000× =1600（人）．
200
答：估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1600人．
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，理解题意，获取
两个图中相关联的信息是解本题的关键．
22．（7分）（2022·湖北黄石·黄石十四中校考模拟预测）x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两
1 2
个实数根，若满足|x﹣x|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
1 2
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2√3x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．【答案】(1)①不是；②是
1
(2)±
2
(3)b2＝a2+4a
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
1
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝± ；
2
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系
√ ( b) 2 1
得到 − −4× =1，整理即可得到b2＝a2+4a．
a a
（1）
解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝√(x +x ) 2−4x x =√42−4×(−5)=6，
1 2 1 2
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2√3x+1＝0的两个实数根，
1
∴x1+x2＝√3，x1•x2＝ ，
2
∴|x1﹣x2|＝√(x +x ) 2−4x x = √ (√3) 2 −4× 1 =1，
1 2 1 2 2
∴方程2x2﹣2√3x+1＝0是差根方程；
（2）
x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
1
∴2a＝±1，即a＝± ；
2
（3）
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，b 1
∴x1+x2＝− ，x1•x2＝ ，
a a
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝√(x +x ) 2−4x x ＝1，即 √ ( − b) 2 −4× 1 =1，
1 2 1 2 a a
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，
正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
23．（10分）（2022·陕西西安·西安市曲江第一中学校考三模）探究题：
(1)问题提出：如图1，已知△ABC是边长为4的等边三角形，则△ABC的面积为______．
(2)问题探究：如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=6√3，求△ABC的最大面积．
(3)问题解决：如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能
够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到
礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通
过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)4√3
(2)9√3
(3)存在，MC的长度为8米或12米
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据已知算出AD，进而求出△ABC的面积；
（2）作△ABC的外接圆，当点A在B´C的中点时，S 最大，根据题意，此时△ABC是等腰三角形，
△ABC
AD⊥BC，∠BAC=120°，根据锐角三角函数求得AD的长，进而求出△ABC的最大面积；
（3）存在，如图③，以AB为斜边作等腰Rt△AOB，使得∠AOB=90°，再以点O为圆心，OA长为半径作圆，过O作OE⊥AB于E，延长EO交⊙O于点N，根据圆周角定理得出∠ANB=45°，根据等腰直角
三角形的性质，求出AE=BE=OE，算出⊙O的半径，算出NE的长与BC比较得出此时∠ANB的顶点N
在矩形ABCD的边CD的外侧，CD与⊙O有两个交点，故在CD上存在点M，满足∠AMB=45°，再根
据勾股定理算出OF的长，进而得到结论．
【详解】（1）如图①：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠BAD=30°，
∵AB=BC=4，AD⊥BC，
√3
∴AD=AB·cos∠BAD=4× =2√3，
2
1 1
∴S = ×AD·BC= ×2√3×4=4√3；
△ABC 2 2
（2）如图②，作△ABC的外接圆，当点A在B´C的中点时，S 最大，
△ABC
根据题意，此时△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵BC=6√3，1
∴BD= BC=3√3，
2
BD 3√3
∴AD= = =3，
tan60° √3
1 1
∴S = BC·AD= ×6√3×3=9√3；
△ABC 2 2
（3）存在，如图③，以AB为斜边作等腰Rt△AOB，使得∠AOB=90°，再以点O为圆心，OA长为半径
作圆，过O作OE⊥AB于E，延长EO交⊙O于点N，
∵∠AOB=90°，
1
∴∠ANB= ∠AOB=45°，
2
∵在等腰Rt△AOB中，AB=20米，OE⊥AB，
1
∴AE=BE=OE= AB=10米，
2
∴⊙O的半径R=√2AE=10√2米，
∴NE=NO+OE=10√2+10=10(√2+1)米，
∵BC=24米，
∴NE=10(√2+1)>24，
∴此时∠ANB的顶点N在矩形ABCD的边CD的外侧，
∴CD与⊙O有两个交点，故在CD上存在点M，满足∠AMB=45°．
记⊙O与CD的两个交点为M ，M ，过点M 作M G⊥AB于G，过点O作OF⊥M G于F，因此
1 2 1 1 1
OE=FG，M G=BC，连接OM ，
1 1
∵ OE=FG，M G=BC，
1
∴M F=M G−FG=BC−OE=24−10=14米，
1 1∵在Rt△M OF中，OM =R=10√2米，
1 1
∴OF=√OM2−M F2=√(10√2) 2 −142=2米
1 1
∴M C=EB−OF=10−2=8米，
1
同理M C=EB+OF=10+2=12米，
2
∴在墙面CD区域上存在点M满足∠AMB=45°，且MC的长度为8或12米．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆心角与圆周角的关系，这
是一道几何综合题，学会灵活运用所学知识解决问题是解本题的关键．
24．（12分）（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念
品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用
400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件） 50≤x≤60 6030)元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
求m的值．
【答案】(1)A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元
106
(2)①当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②m=
3
【分析】（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是(x+30)元，根据用1000元购进A
种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为w，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性
质，求出最值即可；②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品(200−a)件，根据题意列出不等式
组，求出a的取值范围，进而得到A型纪念品的最大利润，设总利润为y，求出函数关系式，根据函数的性
质，求出当y=2800时，m的值即可．【详解】（1）解：设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是(x+30)元，由题意，得：
1000 400
= ，
x+30 x
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解；
当x=20时：x+30=20+30=50；
∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
（2）解：①设利润为w，由表格，得：
当50≤x≤60时，w=(x−50)×100=100x−5000，
∵k=100>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60−5000=1000元；
当6030，
∴30−m<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=50时，y有最大值，最大值为：y=(30−m)×50+200m−4000=150m−2500=2800，
106
∴m= ．
3
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程
和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
