文档内容
重难点突破 13 切线与切点弦问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：切线问题................................................................................................................................3
题型二：切点弦过定点问题................................................................................................................5
题型三：利用切点弦结论解决定值问题............................................................................................6
题型四：利用切点弦结论解决最值问题............................................................................................9
题型五：利用切点弦结论解决范围问题..........................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................121、点 在圆 上，过点 作圆的切线方程为 ．
2、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 的
直线方程为 ．
3、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作圆的切线，
则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
4 、 点 在 圆 上 ， 过 点 作 圆 的 切 线 方 程 为
．
5、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切
点弦 的直线方程为 ．
6、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过 作
圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为 ．
7、点 在椭圆 上，过点 作椭圆的切线方程为 ．
8、点 在椭圆 外，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ，则
切点弦 的直线方程为 ．
9、点 在椭圆 内，过点 作椭圆的弦 （不过椭圆中心），分别过
作椭圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
10、点 在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为
．
11、点 在双曲线 外，过点 作双曲线的两条切线，切点分别为
，则切点弦 的直线方程为 ．12、点 在双曲线 内，过点 作双曲线的弦 （不过双曲线中
心），分别过 作双曲线的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
13、点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线方程为 ．
14、点 在抛物线 外，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 的直线方程为 ．
15、点 在抛物线 内，过点 作抛物线的弦 ，分别过 作抛物线的
切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
题型一：切线问题
【典例1-1】已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 上一
点 作 的两条渐近线的平行线，分别交 轴于 ， 两点，且 ， 内切圆的圆心到
轴的距离为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)（ⅰ）设点 为 上一点，试判断直线 与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点 的直线与 交于 ， 两点（异于 的两顶点）， 在点 ， 处的切线交于点 ，线
段 的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
【典例1-2】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为
上顶点，离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.
① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
【变式1-1】在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比点 到 轴的距离大 ，设动点
的轨迹为曲线 ，直线 交曲线 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交
曲线 于点 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)证明：曲线 在点 处的切线与 平行；
(3)若曲线 上存在关于直线 对称的两点，求 的取值范围．
【变式1-2】已知抛物线 ，焦点为 .过抛物线外一点 （不在 轴上）作抛物线 的切
线 ，其中 为切点，两切线分别交 轴于点 .
(1)求 的值；
(2)证明：
① 是 与 的等比中项；
② 平分 .
【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线 ，F为C的焦点，过点F的直线 与
C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．(1)当 的斜率为 时，求 ；
(2)证明： ．
题型二：切点弦过定点问题
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： .
(1)若点 在 ： 上，记G的几何中心为点 ，则当 取得最大值时，求点
的坐标.
(2)已知动点 、 在C上，分别过 、 作抛物线的切线 、 ，设 和 相交于点T，若点T恒在直线 ：
上，求证：直线 经过定点.
(3)将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，给定点 ， 上有四点 、 、 、 ，满足 ，
、 均三点共线，且 、 都在x轴上方，设线段 和 的中点分别为T、S，试判断：直线
是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
【典例2-2】已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，过 分别作 的切线，若两切线交于点 ，且点 在直线 上，
证明： 经过定点.【变式2-1】（2024·青海海西·模拟预测）过直线 上一个动点 作抛物线 的两条切线，
分别为切点，直线 与 轴分别交于 两点．
(1)证明：直线 过定点 ，并求点 的坐标；
(2)在（1）的条件下， 为坐标原点，求 的最大值．
【变式2-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆 ，直线 ， 是直线 上的动
点，过 作椭圆 的切线 ， ，切点分别为 ，
(1)当点 坐标为 时，求直线 的方程；
(2)求证：当点 在直线 上运动时，直线 恒过定点 ；
(3)是否存在点 使得 的重心恰好是椭圆的左顶点 ，如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
请说明理由．
【变式2-3】已知抛物线 ： 过点 ，点B为直线 上的动点，过点B向曲线C
引两条切线，切点分别为 ， ，判断直线 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理
由.
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，
对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图， ， 分别为抛物线
y2=2px(p>0)的切线三角形和切点三角形， 为该抛物线的焦点．当直线 的斜率为 时， 中点
的纵坐标为 ．(1)求 ．
(2)若直线 过点 ，直线 分别与该抛物线的准线交于点 ，记点 的纵坐标分别为 ，
证明： 为定值．
(3)若 均不与坐标原点重合，证明：
【典例3-2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交
于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛
物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
【变式3-1】已知 ， 分别为椭圆 ： 和双曲线 ： 的离心率．
(1)若 ，求 的渐近线方程；
(2)过 上的动点 作 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的方程为 ，把该抛物线整体平移，使其顶
点与坐标原点 重合，平移后的抛物线记作 ．
(1)写出平移过程，并求抛物线 的标准方程；
(2)已知 是抛物线 的内接三角形（点 在直线 的下方），过 作抛物线的切线交于点 ，
再过 作抛物线的切线分别交 于点 ，记 ， 的面积分别为 ，证明 为
定值．
【变式3-3】已知圆 有以下性质：①过圆 上一点 的圆的切线方程是 ．
②若 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
；③若不在坐标轴上的点 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 垂直 ，即 ，且 平分线段 ．
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆 上一点 的切线方程（不要求证明）；
(2)过椭圆 外一点 作两直线，与椭圆相切于 两点，求过 两点的
直线方程；
(3)若过椭圆 外一点 （ 不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与
两点，求证: 为定值，且 平分线段 ．题型四：利用切点弦结论解决最值问题
【典例4-1】如图，抛物线 ： 上异于坐标原点 的两不同动点 、 满足 .
(1)求证：直线 过定点；
(2)过点 ， 分别作抛物线 的切线交于点 ，求 的面积的最小值.
【典例4-2】（2024·河北邢台·二模）已知定点 ， 轴于点H，F是直线OA上任意一点，
轴于点D， 于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过 的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为 和 ，证明： 为定值；
(3)在直线 上任取一点 ，过点B分别作曲线C： 的两条切线，切点分别为M和N，设
的面积为S，求S的最小值.
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点
与椭圆 的一个焦点重合， 是抛物线 上位于 轴两侧不对称的两动点，且 ．
(1)求证：直线 恒过一定点 ，并求出该点坐标；
(2)若点 为 轴上一定点，且 ；
（ⅰ）求出 点坐标；
（ⅱ）过点 作平行于 轴的直线 ，在 上任取一点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，求
面积的最小值．【变式4-2】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．抛物线
的焦点坐标为 ．
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)若点 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 、 ，直线
交椭圆 于 两点．
①求证直线 过定点，并求出该定点坐标；
②当 的面积取最大值时，求直线 的方程．
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）经过圆 上一动点 作椭圆 的两条
切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆 相交于异于点 的 两点.
(1)求证： ；
(2)求 的面积的取值范围.
（参考结论：点 是椭圆 外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则
直线AB的方程为 .）
【典例5-2】已知椭圆 ： 和圆 ： ，点 是圆 上的动点，过点 作椭圆的切线
，切点为A，B.(1)若点 的坐标为(0,3)，证明：直线 ；
(2)求O到直线 的距离的范围.
【变式5-1】已知抛物线C： （p>0）的焦点为F，过F点且垂直x轴的直线l交抛物线C于M，N
两点， .
(1)求抛物线C的方程；
(2)圆Q： ，点P在圆Q上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求 面积
的范围.
【变式5-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
抛物线在点 处的切线为 ，在 点处的切线为 ，直线 与直线 交于点 ，当直线 的倾斜角为 时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设线段 的中点为 ，求 的取值范围．1．已知抛物线E： ，过点 的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为 和 ，
与 的交点为P．
(1)若点A的坐标为 ，求 的面积（O为坐标原点）；
(2)证明：点P在定直线上．
2．在直角坐标系 中，动圆经过点 且与直线 相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C．直线y＝
x＋b(其中b为非零常数)与曲线C交于 两点，设曲线C在点 处的切线分别为 和 ，已知 和 分
别与 轴交于点M，N． 与 的交点为T．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)求点T的横坐标；
(3)已知 与 面积之比为5，求实数b的值．
3．已知椭圆 ，焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，且过点 ，点 在 上，
且 ， 在点 处的切线交 于 两点.
(1)求直线 的方程（用含 的式子表示）；
(2)若点 ，求 面积的最大值.
4．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知双曲线 的实轴长为4，离心率 .(1)求 的方程；
(2)过 上任意一点作圆 的切线 ，求切线 斜率最大时， 与 的渐近线围成的三角形面积.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为2，离心率为2，右焦点
为 ， 为 上的一个动点，
(1)若点 在双曲线 右支上，在 轴的负半轴上是否存在定点 ．使得 ？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过 作圆 的两条切线 ，若切线 分别与 相交于另外的两点 、 ，证明：
三点共线．
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线 的方程为 ， 为直线 上任意一点；过点 作抛
物线 的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
(1)当M的坐标为 时，求过M，A，B三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明
理由；若不存在，也请说明理由．
7．已知直线 ： 和圆 ： .
(1)判断直线 和圆 的位置关系，并求圆 上任意一点 到直线 的最大距离；
(2)过直线 上的点 作圆 的切线 ，切点为 ，求证：经过 ， ， 三点的圆与圆 的公共弦必过
定点，并求出该定点的坐标.8．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O: 切线，切点分别为P，Q.
(1)当OM的值最小时，求切线方程;
(2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
9．已知动点 与定点 的距离等于点 到 的距离，设动点 的轨迹为曲线 ．椭圆 的一个
焦点与曲线 的焦点相同，且长轴长是短轴长的 倍．
(1)求 与 的标准方程；
(2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若 为曲线 上的点，过点 作
的切线 ，则切线 的方程为 ．利用上述结论，解答问题：过 作椭圆 的切线
（ 为切点），求 的面积．
10．设抛物线 的方程为 ，点 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的两条切
线 ， ，切点分别为 ， ．
(1)当 的坐标为 时，求过 ， ， 三点的圆的方程，并判断直线 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线 恒过定点．
11．已知点 到直线 ： 的距离和它到定点 的距离之比为常数 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若点 是直线 上一点，过 作曲线 的两条切线分别切于点 与点 ，试求三角形 面积的最小值．
（二次曲线 在其上一点 处的切线为 ）12．如图所示，已知椭圆 ，上顶点为A，过点A作圆 的两条切线
分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．当r变化时，试问：直线BD是否过某个定点？若过某个定
点，求出该定点；若不过某个定点，请说明理由．
13．已知圆 ，直线 .
(1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线 ，切点分别为 ，求证：过点 的圆
过定点，并求出所有定点的坐标；
(2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线 ，切点分别为 ,求证：直线AB过定点，并
求出定点的坐标.
14．（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线 是 上不同的三点，过三点的三条切线分
别两两交于点 ，则称三角形 为抛物线的外切三角形．
(1)当点 的坐标为 为坐标原点，且 时，求点 的坐标；
(2)设外切三角形 的垂心为 ，试判断 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理
由；(3)证明：三角形 与外切三角形 的面积之比为定值．
15．已知点A，B是圆 上的动点，且 ，直线PA，PB为圆 的切线，
当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 ，斜率为k的直线与曲线 交于点M，N，点Q为曲线 上纵坐标最大的点，求证：直线
MQ，NQ的斜率之和为定值．
16．已知椭圆 ， 分别为双曲线 的左，右顶点， 分别为 和
的离心率．
(1)若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线l交 的右支于 两点， 与直线 交于 两点，记 坐
标分别为 ，求证： ；
(2)从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形的
面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
