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第十八章 平行四边形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024下·八年级课前预习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
【答案】B
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性
质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的
不同，即可解答．
【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻
边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个
特征；
故选：B．
2．（2024下·八年级课时练习）已知在四边形 中， ，下列可以判定四边形是正
方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形
为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证．
【详解】解：∵ ，
∴四边形 为矩形，
能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即 ，
故选D．
3．（2024上·云南文山·九年级统考期末）如图，在 中， ， 是斜边 上的中线若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本
题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可．
【详解】解：在 中， ， 是斜边 上的中线，
．
．
故选： ．
4．（四川省达州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形 的边长为 ，对角线
， 交于点 ， 为边 上一点，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，求出 长是解题的关键．由正方形的性质可求 的长，可得
，由线段关系可求解．
【详解】解： 正方形 的边长为 ，
，
，
，，
故选： ．
5．（2023上·贵州贵阳·九年级校考期中）如图，正方形 和正方形 中，点D在 上，
，H是 的中点，那么 的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连
接 ，由正方形的性质可得， ，则 ，由 H是 的中点，可得
，根据勾故定理求 的值，根据 ，求 的值，进而可求 ．
【详解】解：如图，连接 ，
由正方形的性质可得， ，
∴ ，
∵H是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
6．（2024上·福建福州·八年级校考期末）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直的四边形是矩形；（3）对角线相等
的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【答案】C
【分析】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理是解
题的关键．正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故（4）是真命题；
故选：C．
7．（2024上·山东淄博·九年级统考期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如
图， 是平行四边形 的对角线，点E在 上， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，等腰
三角形的性质定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得 ， ，再根据等腰三角形的性质，可得
，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：在平行四边形 中，
， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
8．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．
以 的三条边为边长向外作正方形 ，正方形 ，正方形 ，连接 ．若
，则 的面积为（ ）
A．40 B．32 C．24 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助
线，熟练掌握三角形全等的判定方法．延长 ，过点E作 于点M，证明 ，
得出 ，根据三角形面积公式求出 ．
【详解】解：延长 ，过点E作 于点M，如图所示：则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
9．（2024上·全国·九年级专题练习）如图，矩形 的对角线 交于点O， ，过
点O作 ，交 于点E，过点E作 ，垂足为F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到 的面积为12，
再根据 ，即可得到 的值．
【详解】解：∵ ，
∴矩形 的面积为48， ，
∴ ，
∵对角线 交于点O，
∴ 的面积为12，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
10．（2024上·安徽宿州·九年级校考期末）如图， 中， ，在 的同侧作等边 、
等边 和等边 ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A． B． C．15 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识；过点E作
交 延长线于F；证明 ，得 ， ，则得四边形是平行四边形，则当 重合时，四边形 的面积最大，即可求得其最大面积．
【详解】解：如图，过点E作 交 延长线于F，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ 的最大值为3，
∴四边形 的最大面积为 ，
此时当 重合且 时，四边形 的面积最大．
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024下·全国·八年级课堂例题）如图，在平行四边形 中，在不添加任何辅助线的情况下，请
添加一个条件 ，使平行四边形 是矩形．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形
是矩形”填空．
【详解】解：添加条件：
理由：∵四边形 是平行四边形， ，
∴平行四边形 是矩形（矩形的定义）．
故答案是： （答案不唯一）．
12．（2024上·山东东营·八年级统考期末）在平行四边形 中，若 ，则 的度数是
°．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．根
据平行四边形的对角相等求出 ，进而求出即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：140．
13．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图
中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ．
【答案】菱形【分析】此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实
际上就是轴对称性质的运用进行解答．
【详解】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
故将①展开后得到的平面图形是菱形．
故答案为：菱形．
14．（2024·全国·八年级竞赛）在 的网格中，每个小格的边长为1，把顶点是格点（即正方形的顶点）
的四边形称为格点四边形．在图中以 为边的格点平行四边形共可画出 个．
【答案】
【分析】本题考查了在网格中画平行四边形，掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
【详解】解：如图所示：
每一行找到 的矩形的对角线，即可与 边构成平行四边形
每一行能数出3条线（ 所在行有两条），
∴在图中以 为边的格点平行四边形共可画出： （个）．
故答案为： ．
15．（2024上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，四边形 是边长为 的正方形纸片，将其沿 折
叠，使点 落在 边上的 处，点 对应点为 ，且 ，则AM的长是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．设 ，连接，分别在 和 中利用勾股定理得出三边关系，然后利用 得出
，最后利用方程求解即可．
【详解】设 ，
∵正方形的边长为25， ，
∴ ， ，
连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
即 ．
故答案为：8．
16．（2023上·江西吉安·九年级统考期末）如图，菱形 中， ， ， ，垂足为
，点 在菱形的边上，若 ，则 的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】先求出 ， ，再根据点P的位置分三种情况画出图形，分别进行求
解即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点P在 上时，如图，过点C作 交 的延长线于点H，
∵
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点P在 上时，如图，∵ ， ，
∴ ，
当点P在 上时，如图，连接 ，
∵菱形 是轴对称图形， 所在直线是菱形的对称轴， ，
∴ 和 关于 所在直线成轴对称，
∴ ，
∴ ，
综上可知， 的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，分类
讨论是解题的关键．
17．（2024上·山西晋城·九年级校联考期末）如图，在 和 中， ， ，
分别为边 ， 的中点，连接 ， ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】4【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到 ，根据勾股定理得到 ，根据三角形中位线性
质得到 ．
本题主要考查了直角三角形．熟练掌握直角三角形斜边中线性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线
性质，是解决问题的关键．
【详解】∵ 中， ， 为边 的中点， ，
∴ ,
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 为边 的中点，
∴ ．
故答案为：4．
18．（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 边上一
动点（不与A，D重合）， 与 关于 成轴对称，过点F作 于点G，当点F落在矩形
的内角平分线上时， 的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理；根据点 在不同的矩形内角的平分线上分情况讨论计算
即可；准确的画出图形并利用勾股定理列方程求解是关键．
【详解】解：如图，由题意得： 点在以点 为圆心， 长为半径的圆弧上；
（1）当点 在 的平分线上时；（2）当点 在 的平分线上时；
为等腰直角三角形
；
（3）当点 在 的平分线上时；延长 交 于 点；
由矩形的性质可知：
为等腰直角三角形
设 ，则 ，
由勾股定理得：
解得，
故答案为： 或 或三、解答题（10小题，共64分）
19．（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）如图所示，在矩形 中， ， 是对角线，过顶点 作
的平行线与 的延长线相交于点 ，求证： 是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性
质求证出四边形 是矩形，然后求得 ，所以 是等腰三角形．
【详解】证明：∵ 是矩形，
∴ ,
∵ ，
四边形 是平行四边形．
．
四边形 是矩形，
．
．
是等腰三角形．
20．（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，在矩形 中，点 在 的延长线上， ，
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】由矩形 的性质，得出 ， ， ，再由等腰三角形的性质得到
，进而推出结论．【详解】 四边形 矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，即 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是
解题的关键．
21．（2021下·湖北武汉·八年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图，在6×6的网格中，
请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)在图1中，作 中 边上的中线 ；
(2)在图2中，作 中 边上的高 ；
(3)在图3中，找一个格点D，使以 为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出
所有符合条件的D点坐标_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或 或
【分析】（1）借助矩形的对角线互相平分即可找到 的中点，即可完成作图；
（2）根据“一线三垂直”的全等模型可作出过点 且垂直 的线段，再过点 作平行线即可；
（3）分类讨论当以 作为平行四边形的对角线、当以 作为平行四边形的对角线、当以
作为平行四边形的对角线即可求解．【详解】（1）解：如图， 即为所求：
（2）解：如图， 即为所求：
（3）解：如图所示：
设点
当以 作为平行四边形的对角线时：
有
解得：∴
当以 作为平行四边形的对角线时：
有
解得：
∴
当以 作为平行四边形的对角线时：
有
解得：
∴
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质．掌握相关结论即可．
22．（2023上·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）如图，在 中， 平分 交 于
点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 是 的中点，连接 ，求证： 平分 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，等腰三角形的判定和性质．
（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；（2）依据平行四边形的性质证明 ， ，推出 ，由等边对等角结合平行线的性质，
推出 ，即可得出 平分 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
平分 ，
，
，
；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ,
∵ 是 的中点，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
平分 ．
23．（2024上·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， ，点 是线段
上一动点，连结 ．
(1)当 为等腰三角形时，直接写出 的度数．
(2)当点 是 的中点时，求 的度数．
(3)过点 作 ，垂足分别点 ，求连结 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)(3) 的最小值是
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，点到
直线垂线段最短等知识点，解题的关键是正确做出辅助线；
（1）分为① 为底时，② 为底时，③ 为底时，分别求解即可；
（2）延长 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连结 ，根据 ，求出
， ，再根据 是 的中点，得出 ，即可证明
是等边三角形，结合 ，即可求解；
（3）如图，连结 ，取 的中点 ，连结 ，根据 ，得出
，求出 ， 是等腰直角三角形， ，当 最小
时， 最小，即当 时，即可求解．
【详解】（1）解：当 为等腰三角形时，分三种情况：
① 为底时，
② 为底时，
③ 为底时，
综上， 的度数为 ；
（2）如图，延长 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连结 ，，
．
是 的中点，
，
是等边三角形，即 ，
，
，
．
（3）如图，连结 ，取 的中点 ，连结 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
．
当 最小时， 最小，即当 时，此时 ．
的最小值是 ．
24．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ，， ， ，动点 从点A出发，以 的速度向终点 运动，同时动点 从
点 出发，以 的速度沿折线 向终点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之
停止运动，设运动时间为 秒．
(1)用含 的式子表示 ；
(2)当 为何值时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱形，则点 的运动速度应为多少？
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质．
（1）根据P点的速度以及时间结合 的长表示即可；
（2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形 是平行四边形，②四边形
是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为 ，Q在CD边上，此时 可为菱形，满足 ，建立方程解决即
可．
【详解】（1） P从A点以 向B点运动
时，
；
（2）Q在 上运动时间为
运动时间最长为
时， 在 边上
此时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形 是平行四边形，如图所示：
即
只需 即可，由（1）知：
以 的速度沿折线 向终点 运动，
运动时间为 时，
解得： ；
②四边形 是平行四边形，如图所示：
同理
只需 ，四边形 是平行四边形
由（1）知，
则解得：
综上所述：当 或 时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为 ，由（2）可知，Q在 边上，此时四边形 可为菱形
只需满足 即可
由（1）知：
由（2）知： ，
，
解得： ，
当Q点的速度为 时，四边形 为菱形．
25．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）在四边形 中， ， ，
， 为射线 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置，使点 落在点 处．
(1)若 为线段 上一点．
①如图1，当点 落在边 上时，求 的长；
②如图2，连接 ，若 ，则 与 有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点 在 的延长线上，当 为直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)① ；② ，理由见解析
(2) 或30【分析】（1）①根据折叠得出 ，利用勾股定理求出 的长即可；
②根据平行线的性质和翻折的性质可证 ，从而 ；
（2）由 是直角三角形，当 时，则四边形 是正方形，得 ；当
时，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列方程即可求解，当
时，点P在线段 上，不符合题意，舍去．
【详解】（1）解：①根据折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵将 沿直线 翻折至 的位置，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时，如图所示：
∵ ，且 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ；
当 时，如图所示：则 ，
∴ ，
∵ ，
∴点E、D、C三点共线，
由翻折知 ，根据勾股定理得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ，
∴ ；
当 时，点P在线段 上，不符合题意，舍去，
综上： 或30．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线的判定和性质，解
题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）已知：如图1，在四边形 中， ，
．P是 边上一动点，联结 ，将 绕点P顺时针方向旋转 ，得到 ，联结
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)M是 延长线上一点，联结 ，且 ．
①若 ，求证： ；
②如图2，若 ， ，联结 、 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，再由 可得
，从而得出 ，再由平行四边形的判定可得结论；
（2）①先证明 ，再证明 ，推出 ，可得结论；
②延长 至N，使 ，联结 、 ，先证明 ，可得 是线段 的线段垂
直平分线，得出 ，则 是等腰直角三角形，从而证得 ，再证明
，从而得出 ，延长 交 于E，则 ，最后由勾股定理得出
，最后可得结论．
【详解】（1）如图1，
，
；
，
，
，
四边形 是平行四边形；（2）①如图1，
， ，
，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
；
②如图2，延长 至N，使 ，联结 、 ，
在 与 中，
，
，
， ；
，
是线段 的线段垂直平分线，
，
， ，是等腰直角三角形，
，
，
，
又 ，
；
四边形 是平行四边形，
，
，
；
在 与 中，
，
，
， ，
；
延长 交 于E，则 ，
，
，
四边形 内角和为 ， ，
，
在 中， ，
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，
全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键．
