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第十八章 平行四边形
01 思维导图
02 知识速记
【知识点01】平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【知识点02】矩形1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点03】菱形
1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点04】正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
03 题型归纳
题型一 利用平行四边形的性质求解
例题：（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）在 中，若 ，则 的度
数为 度．
巩固训练
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， ，对角线 与 相交于点O，，则 的周长为 .
2．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ， 的平分线AE交DC于点
E，连接BE，若 ，则 的度数为 ．
3．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点F， 平分
，交 于点E， ， ，则 长为 .
题型二 利用平行四边形的性质与判定综合
例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是 对角线 上的两点．
(1)若 ，求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，垂足分别为E、F， ，求 的度数．
巩固训练
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图， 中，E、F分别是 、 上的点，且 ，
连接 交 于O．(1)连接 、 ，判断四边形 的形状并说明理由．
(2)若 ， ， 的面积为2，求 的面积．
(3)若 ， ， ，延长 交 的延长线于G，当 时，则 的长为______．
2．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形 中， ， ．
(1)如图①，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②， 平分 ，交 于点 ．若 ， ，求 的面积；
(3)如图③， 平分 ，交 于点 ，作 交射线 于点 ，交 于点 ．若 ，
请探究线段 ， ， 之间的数量关系．
题型三 矩形的性质
例题：（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等
2.（2024·河南鹤壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
题型四 利用矩形的性质求解
例题：（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形 中，点 是 延长线上一点，连接 ，若 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（2024·四川凉山·二模）如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
连接 ．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在矩形 中， 分别是 上的点， 分别是
的中点， ， ，则线段 的长为 ．
3.（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形 中，点E、F分别为 边上的任意点，
、 的面积分别为15和25，那么四边形 的面积为 ．
题型五 菱形的性质
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南商丘·期中）关于菱形的性质，下列说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2.（2024八年级下·全国·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
题型六 利用菱形的性质求解
例题：（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形 的对角线 上一点，连接 ，若 ，
，则 的度数为 ．
巩固训练
1.（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在菱形 中， ，依次连接各边中点，得到四边形 ，
则 °．
2.（2024·四川成都·二模）如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ，连接
， ．若 ， ，则 的大小为 ．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形 中， ，点E在边 上，点F在边上，且 ，若 ，则 ．
4.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 分别是边
， 的中点，连接 ．若 ，则 (用含 的代数式表示)；若 ，
，则菱形 的面积为
5.（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 都
在第一象限，若 ，则顶点 的坐标为 ．
题型七 正方形的性质
例题：（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（ ）
A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角
B．正方形有四条对称轴
C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖北荆州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．都是轴对称图形C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分
2.（23-24八年级下·山东淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
3.（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四个角都是直角
题型八 利用正方形的性质求解
例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形 的内侧，作等边三角形 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形 中， ，直线 交 于点 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形 的对角线 是菱形 的一边，则 等
于（ ）
A． B． C． D．3.（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在正方形 中，点 在 上， ，
，垂足分别为 、 ，若 ，则 ．
4.（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形 和正方形 的边长分别为 和 ，则阴
影部分的面积为 .
5.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形 的对角线相交于点 ，以 为顶点的正方形
的两边 ， 分别变正方形的边 ， 于点 ， ．记 的面积为 ， 的面积
为 ，若正方形的边长 ， 则 的大小为 ．
题型九 矩形的性质与判定的综合问题
例题：（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形 中， ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
巩固训练
1.（2024·云南德宏·一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连接
并延长至点 ，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
2.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 是 的角平分线， 是
的外角 的平分线，过点C作 ，垂足为E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
3.（2024八年级下·浙江·专题练习）在 中， ， 为 上的两点，且 ， ．(1)求证： ；
(2)求证： 是矩形；
(3)连接 ，若 是 的平分线， ， ，求四边形 的面积．
题型十 利用菱形的判定与性质综合性问题
例题：如图，在等腰 中， ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于 ，连
接 ，过点 作 交 的延长线于 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
巩固训练
1.如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若菱形 的周长为 ， ，求 的长度．
2.已知，四边形 是菱形．(1)若 ，则菱形 的周长 ______；
(2)如图①， 、 是对角线，则 与 的位置关系是_______．
(3)如图②，点 、 分别在 、 上，且 ， ， ，点 、 分别在 、
上， 与 相交于点 ．求证：四边形 是菱形．
题型十一 正方形的性质与判定的综合问题
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过D的直线折
叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，然后在把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 上的点 处，得到
折痕 ， 交 于点M，再把纸片展平．
问题解决：
(1)如图1，求证：四边形 是正方形；
(2)如图2，若 ， ，，求 的面积．
巩固训练
1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图， 中， ， 、 外角平分线交于点
，过点 分别作直线 ， 的垂线， ， 为垂足．(1) ________°（直接写出结果不写解答过程）
(2) 求证：四边形 是正方形．
若 ，求 的面积．
(3)如图（ ），在 中， ，高 ， ，则 的长度是________（直接写出结
果不写解答过程）．
2.（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形 是边长为4的正方形，点P为射线 上的一个
动点，延长 到点E，使 ，连接 ，以 为边作平行四边形 ，直线 和直
线 相交于点M．
(1)如图1，点P在边 上，判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若点P为 的中点，求点F到边 的距离；
(3)若 ，求 的长．
3.（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：
如图①，点E为正方形 内一点， ，且 ，延长 交 于点G，连接
．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形 的形状，并说明理由．
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系，并加以证明．
解决问题：
（3）如图①，若 ，请直接写出 的长．
