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第十八章 平行四边形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在 中， ，则 （ ）
A．10 B． C． D．
2．如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，若 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ， 是矩形 B．当 ， 是菱形
C．当 ， 是菱形 D．当 ， 是正方形
4．如图，延长正方形 边 至点 ，使 ，则 为（ ）
A． B． C． D．5．大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片 沿 折叠，使点 恰好落在 处，已知 ，
， 的长为（ ）
A．3 B．4 C．17 D．5
6．学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形 和正方形 中，
、 的延长线分别交 、 于点 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．
如图，改变正方形 的内角，正方形 变为菱形 ．若 ，则菱形 的面
积与正方形 的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱
形中国结装饰，测得 ，直线 交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）A． B． C． D．
9．如图，四边形 是一张平行四边形纸片，其高 ，底边 ， ，沿虚线
将纸片剪成两个全等的梯形，若 ，则 的长为（ ）
A．1cm B． C． D．
10．如图，点 ， ， ， 为正方形 四边中点，连结 ， ， ， ．下列说法错误的是
（ ）
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 一定是正方形
C．若 ，则四边形 的面积是20
D．点M，Q是 的三等分点
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，四边形 是平行四边形，对角线 ， 交于点 ．若增加一个条件，将它边的数量关系
特殊化，可使 ，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可）12．如图，在菱形 中， ， ，将菱形 绕点A逆时针旋转，当 时，
的长度为 ．
13．如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、 、 均在平行四边形的边
上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．
14．如图，矩形 对角线 相交于点O，E为 上一点，连接 ，F为 的中点，
．若 ，则 的长为 ．
15．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，边
交 于点 ，当点 的对应点 恰好落在线段 的延长线上时， 的长是 ．
16．如图，正方形 的边长是4，点 在边 上， ，点 是边 上不与点 重合的一个
动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，则 的长为 ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在平行四边形 中， 分别平分 和 ，交 于点 ， 相交于
点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
18．如图，在 中，D，E分别是 ， 的中点， ，延长 到点F，使得 ，连
接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
19．如图，在 中，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ，交 于点G，H，连接 ，
．(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
20．在 中，对角线 与BD相交点 ，过点 分别作AB和 的垂线，垂足分别为 ， ．
(1)如图 ，当 时，求证：平行四边形 是菱形；
(2)如图 ，当 时，若 ，求 的值．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在矩形纸片 中， ，将纸片折叠，使顶点 落在边 上的点 处，折痕的一端点
在边 上．
(1)如图1，当折痕的另一端点 在 边上时，
①求线段 的长；
② 的面积为________；
(2)如图2，当折痕的另一端点 在 边上时， ，折痕 的长为________．
22．如图 ，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，
当点 与点 重合时（如图 ），求菱形 的边长；
若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离．
23．【课本再现】
（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方
形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的
是________（填序号即可）
；② ；③四边形 的面积总等于 ；
①
④连接 ，总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ， 与边 相
交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 ， ， 之间的数量关系，并进行证明．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形 ， ，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1， ，由勾股定理可知，
中， ， 中， ，
同理 ， ，
则 ，
即 _________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．
【问题解决】
（1）如图1，若 ， ，则 _________．若 ， ，则四边形 的面
积 _________；
（2）如图2， ， 是 的中线， ，垂足为O， ，设 ，用含a的代数式表
示 _________；
（3）如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连接．求证：四边形 为垂美四边形．
25．综合与实践
【问题情境】：
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，正方形 和正方形 ，连接 ， ．
【操作发现】：
当正方形 绕点 旋转，如图 ，线段 与 之间的数量关系是______；直线 与 的夹角度数
为______；
【深入探究】如图 ，若四边形 与四边形 都为菱形，且 ， ，猜
想 与 的数量关系与直线 与 的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】：如图 ，在（ ）的条件下，若 ， ，直接写出线段 的长．
