文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知圆亭的高为 ，上底面半径为1，母线与底面成 角，则
此圆亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
4. 的展开式中 的系数为12，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知RL串联电路短接时，电流 随时间 的变化关系式为 ，电路的时间常数
，当 由 减小到 时，相应的时间间隔称为半衰期．若某RL串联电路电流从 减少到 的
时间间隔为 ，则该电路的时间常数约为（ ）（参考数据：
A． B． C． D．6. 在 中，点 是 的中点，点 是 的中点，点 在线段 上并且 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ，满足 ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 又 ，对任
意的 均有 成立，且存在 使 ，方程 在
上存在唯一实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数据 的平均数是 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 .由这组数据得到新数据
，其中 ，则（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的中位数是C．新数据的方差是 D．新数据的极差是
10.已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4
C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
11.关于函数 ，下述结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 在 上单调递增
C．函数 在 上有3个零点 D．曲线 关于直线 对称
12. 如图，在 中， ， ， ，过 中点 的直线 与线段 交于点 ．
将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影 在线段 上，连接 交 于点
， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）
A. B.C. 点 的轨迹的长度为
D. 直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数 ,则 ．
14．已知等差数列 的前n项和为 ，公差d为奇数，且同时满足：① 存在最大值；② ；
③ ．则数列 的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米
两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ，200米比赛未能站上领
奖台的概率为 ，两项比赛都未能站上领奖台的概率为 ，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则
他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 .
16．已知椭圆 的两个焦点分别为 ．若 为 上关于坐标原点对称的两
点，且 的面积 ，则 的离心率的取值范围为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17. 已知数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求 ；（2）若 ，求数列 的前n项和 .
18.如图，直四棱柱 的底面是正方形， ，E，F分别为BC， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
19.在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最小值．
20.《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动､质量为先､绿色发展､结构优化､人才为本”的基本方针，通
过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国
制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强
国前列.为此，我国在基础教育阶段鼓励中学生开展科技发明活动，为了解某校学生对科技发明活动的兴趣，
随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对科技发明活动没兴趣的占女生人数的 ，男生有
5人表示对科技发明活动没有兴趣.
(1)完成 列联表，并回答能否有 的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”？
没兴
有兴趣 合计
趣
男 60
女
合计
参考表格、公式如下：
0.10 0.05 0.025 0.0102.706 3.841 5.024 6.635
.
(2)从样本中对科技发明活动没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取
3人，抽到的男生人数为 ，求 的分布列和期望.
21.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直线l交C的右支于M，N两点，
当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值.
22.已知函数 ， 的导函数为 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记函数 的极大值和极小值分别为 ， ，求证： ．
