文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A C C D A A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
CD BCD CD BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． （答案不唯一） 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【解析】
【小问1详解】
当 时， .
当 时， ，也适合上式.
故 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，则 .
18．（12分）
【详解】（1）连接 ，交 于点G，连接FG，
因为E，F分别为BC， 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立坐标系，如图所示，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
,即 ，不妨取 ，则 ，即 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
,即 ，
不妨取 ，则 ，即 ，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则
，
所以
故二面角 的正弦值为 .
19．（12分）
【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， ，
，
，
，
又 为斜三角形，则 ，
，
，
∵ 为 的内角，
.（2）由题意及（1）得，
在 中， ， ，是等腰三角形，
由正弦定理 ，则 ，
又 ，即 ，
，
，
令 ， ，
又因为 ，即 ，
当 即 时， 取最小值，且 ，
∴ 的最小值为 ．
20．（12分）
【详解】（1）由题述列联表可知，男生合计60人，所以女生合计 人，
由题意，女生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有 人， 人，
男生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有5人， 人，
由此可以得到完整列联表如下：
没兴
有兴趣 合计
趣
男 55 5 60
女 30 10 40
合计 85 15 100
所以 ，
所以有 的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”.
（2）由题意首先抽出的6名学生中，男生、女生分别有 人， 人，若从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为 ，则 的所有可能取值为 ，
， ， ，
所以 的分布列如下表：
0 1 2
所以 的期望为 .
21．（12分）
【详解】（1）根据题意有 ，C的一条渐近线方程为 ，
将 代入C的方程有 ， ，
所以M，N到直线 的距离之和为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，故 .
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知 ， ，故 .
设 ，代入C的方程有： ，
设 ， ，则 ， ，
所以
，
所以 .
综上， 的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，
故 .
当l不垂直于x轴时，设 ，
代入C的方程有： .
设 ， ，则 ， ，所以 .
综上， 的值为6.
22．
【详解】（1）依题意， ，根据题意知， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
则 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ， ， ，故 ， ，
当 时， ， ，即 在 上单调递增，
当 时， ， ，即 在 上单调递减，
故 ，则 ，
故实数 的取值范围为 ．（2）令 ，则 ，设 ， 分别为函数 在 上的极大值点与极小值
点，
所以 ， ，则 ，且 ．
所以 ，由 ，得 ，其中 ， ，
故
．
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，故 ．
