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鹤岗一中2021级高二上开学考试数学卷
一、单选题
1．复数 的共轭复数是 （其中 为虚数单位），则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少1个白球”与“都是白球” B．“至少1个白球”与“至少1个红球”
C．“至少1个白球”与“都是红球” D．“恰好1个白球”与“恰好2个白球”
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ，
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为 ，方
差为 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，
则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（
）
A． B．C． D．
8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为
边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形
的边长的比值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
10．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个
人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（ ）
A．两人都中靶的概率为 0.72
B．至少一人中靶的概率为 0.88
C．至多一人中靶的概率为 0.26
D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
11．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩
（单位：秒），将数据按照 ， ，…， 分成9组，制成了如图所示的频率
分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ）
A．直方图中 的值为0.38
B．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54
D．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒
12．如图，在正四棱柱 中， 与 交于点 ， 是 上的动点，下列说法中
一定正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．点 在 上运动时，三棱锥 的体积为定值
D．点 在 上运动时， 始终与平面 平行三、填空题13．已知向量 ､ 满足 ， ，则 ___________.
14．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的 分位数为______．
15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 ， ， ，该同学站在
这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为 ，则 的值为________.
16．在三棱锥 中，侧棱 、 、 两两垂直， 、 、 的面积分别为
、 、 ，则三棱锥 的外接球的体积为__________．
四、解答题
17．如图，在长方体 中，点 为 的中点，且 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值.
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， .
(1)求C；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值
19．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一
点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
20．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工
业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D
级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费
为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试
加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个
分厂承接加工业务?
21．如图，已知三棱柱ABC–A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N分别为BC，B C
1 1 1 1 1 1 1
的中点，P为AM上一点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1（1）证明：AA //MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
1 1 1 1
（2）设O为△A B C 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB C F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB C F的
1 1 1 1 1 1 1
体积．
22．在 中，角 的对边分别为 ，已知
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 点 满足 ，求 的面积；
（3）若 ，且外接圆半径为2，圆心为 ， 为 上的一动点，试求 的取值范围.
