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2025年 山东省青岛实验初级中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图
形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是一个正方体切去后剩下的几何体，这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四个实数m、n、p、q在数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，若p＋m＝0，则
m、n、p、q四个实数中，绝对值最大的是（ ）
A．p B．q C．m D．n
5．《九章算术 盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．
问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出 钱，就多了 钱；
如果每人出 钱，就少了 钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有 人，
物品的价格为 钱，则可列方程组为（ ）
试卷第1页，共3页A． B．
C． D．
6．如图，将 先向下平移3个单位，再绕原点O按逆时针方向旋转 ，得到
，则点C的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点E在 上，且 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 中， ， ， ，将边 沿 翻折，使点 落
在 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折
痕与斜边 分别交于点 、 ，以下四个结论不正确的是( )
试卷第2页，共3页A． B． 是等腰直角三角形
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练．在相同的条件下，两人各射
击10次，成绩如图所示，则运动员 的成绩更加稳定．
11．如图，点 在 轴的正半轴上，以 为边在 左侧作菱形 ，且 ，
反比例函数 的图象经过点 ，若菱形 的面积是12，则 的值为
．
12．如图，在扇形 中， ，点 在 上且 垂直平分线段 ，
为垂足，以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，则阴影部分面积等于 ．
试卷第3页，共3页13．如图，在正方形ABCD中，对角AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，AE
的延长线交BF于点M， ，若 ， ，则EM的长为 ．
14．如图1，在底面积为 ，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒
定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，
烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高
度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是
三、解答题
15．已知： ABC．求作：⊙O ，使圆心在边AB上，且与边AC、BC所在直线相切．
△
试卷第4页，共3页16．（1）解不等式组： ；
（2）化简求值： ，其中 ．
17．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地
一次摸取两张纸牌，甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；
如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请用列表或画树状
图的方法说明理由．
18．为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列
活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成
绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表；根据信息，回答下列问题：
学生成绩统计表
七年 八年
级 级
平均
a 7.55
数
中位
8 d
数
众数 b 7
试卷第5页，共3页优秀
c 0.5
率
(1)统计表中 _________， _________， _________；
(2)若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优
秀的总人数．
19．如图，光从空气斜射入水中，入射光线 射到水池的水面B点后折射光线 射到池
底点D处，入射角 ，折射角 ；入射光线 射到水池的水面C点
后折射光线 射到池底点E处，入射角 ，折射角 ． ，
、 为法线．入射光线 、 和折射光线 、 及法线 、 都在同一
平面内，点A到直线 的距离为6米．
(1)求 的长；（结果保留根号）
(2)如果 米，求水池的深．（参考数据： 取1.41， 取1.73， 取0.37，
取0.93， 取0.4， 取0.65， 取0.76， 取0.85）
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线GH经过点O，分
别与BA、DC的延长线交于点G、H，与AD、CB交于点E、F．
(1)求证： BOG≌△DOH．
(2)连接AH△、CG，若GH＝GD，当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？请
说明理由．
21．在“乡村振兴”行动中，某企业用A，B两种农作物为主要原料开发了一款有机产品，
A原料的单价是B的 倍，用相同资金9000元收购A原料比B原料少 ．生产1件
试卷第6页，共3页产品需A原料 和B原料 ，每件还需其他成本9元．市场调查发现：产品每件售价
是60元时，每天可销售500件；每降价1元，每天多销售20件．
(1)求每件产品的成本；
(2)求每天的利润W（元）与产品的售价单价是x（整数元）的函数解析式（不用写自变量
的取值范围）；
(3)若每件产品的售价为n元（不低于成本，不高于60的常数、整数），确认每天的最大利
润．
22．在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形 中，
点 E，F分别在边 上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，
在不求出长方形 边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出
的面积为定值．
【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若 的面积是否为定值?
【特例分析】（1）给 和 分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断 的
面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格．
10 5
10 20
41
【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想： 的面积 定值． （填“是”或“不
是”）
【验证猜想】
试卷第7页，共3页（3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想．
②方法2： 如图，过点E作， 交 于点G， 将长方形 分成了长方形
和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部
分验证过程补充完整(填数值)．
解：∵等底等高，
．
，
．
．
【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长
12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场
地 中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且 的长为整数．若围出的游
戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的 长．
试卷第8页，共3页23．如图1，我校“世界广场”内有一圆形喷泉水池，水池正中央有一凸起的圆柱，圆柱
上底面刻有世界地图，俯看喷泉水池呈圆环形．水池内圆柱周围均匀安装有12个喷头（用
、 、 … 来表示），喷头口与水面持平，每个喷头喷出的水柱为形状相同的抛物
线．每天清晨开放喷泉，给校园增添了许多活力．如图2，实测水池（外圆）的半径
米，圆柱底面半径 米；圆柱露出水面的高度 米，每个喷头口到圆柱
的距离均为2米，如 米．以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直
线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)当由喷头 喷出的水柱经过高度为2米且离点 的水平距离为1米的位置时，水柱刚好
落在圆柱的边缘点 处，求此时抛物线的表达式．
(2)由与喷头 相对的 喷出的水柱形成的抛物线可以看成是问题（1）中的抛物线关于
轴对称后向右平移8个单位得到，直接写出由 喷出的水柱形成的抛物线的表达式
________．
(3)为形成白川归海的场面，物业师傅调整每个喷头的出水压力和水量，使每一个喷泉水柱
达到相同高度后能汇聚一点，测得此时由喷头 喷出的水柱最高为 米时与 的水平距离
为4米，直接写出汇聚点的坐标________．
试卷第9页，共3页(4)如图3，在（1）的条件下，为烘托气氛，物业师傅在对应喷头口的水池外的地面上均匀
安装12个彩色射灯，射灯与喷头相对应（如：在喷头 ， 所在直线上的点 、 处分
别安装与喷头等距离的射灯）．为呈现更好的光影效果，要求射灯所在直线与水平面成
夹角，即 ，且水柱上的点到相应射灯所在直线的最小距离为5厘米（不计
射灯高度，水柱上的点视为抛物线上的点），求与喷头 对应的射灯 离水池边缘的距离
．
24．已知：如图，在四边形 中， ，连
接 ， ，点E从点B出发沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点F从
点C出发沿 方向匀速运动、速度为 ．过点E作 交 于点G，连接 ，
当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）（ ）
(1)当 时，求t的值；
(2)设四边形 的面积为S（ ），求S与t的函数关系式；
(3)当 是等腰三角形时，求t的值；
(4)取 的中点Q，是否存在某一时刻，使得点E、F、Q在同一条直线上？若存在，请求
出t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第10页，共3页《2025 年 山东省青岛实验初级中学中考三模数学试题》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B B A C D C
9. 10.乙 11. 12. 13. 14.20
选择题、填空题解法提示
7．D
如图，连接 ，
四边形 内接于 ，
，
，
是 的直径，
，
，
∵
，
故选：D．
8．C
由折叠可知， ， ， ， ， ，
，
答案第1页，共2页，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
是等腰直角三角形；故B正确，不符合题意；
， ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故C不正确，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
11．
答案第2页，共2页过点C作 轴于点D，连接 ，根据菱形的面积是12，即可得到 ，证明
是等边三角形，可得到 垂直平分 ，即可求出 ，即可解答．
【详解】解：过点C作 轴于点D，连接 ，如图，
∵菱形 的面积是12， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 在第二象限，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
12．
如图，连接 ，
是 的中垂线，
， ，
， ， ，
，
答案第3页，共2页，
，
故答案为： ．
13．
四边形 是正方形，
，
，
， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
又 ，
，即 ，
答案第4页，共2页则在 中， ，
，
故答案为： ．
14．20
设烧杯的底面积为 cm²，高为 cm，注水速度为 cm3/s
由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽
内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平．
由此可得：
∵
∴
∴
故答案为：20．
解答题参考答案
15．解：如图，作∠ACB的角平分线CO，过点O作OD⊥BC于D，以O为圆心，OD为半
径作⊙O，⊙O即为所求．
16．解：（1）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
答案第5页，共2页则不等式组的解集为： ．
（2）
，
当 时，原式 ．
17．解：不公平，理由如下，画出树状图如下：
随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有
8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种，
∴甲胜的概率为 ，甲胜的概率为 ，
，
∴游戏不公平．
18．（1）解： ；
七年级8分的人数所占的比例最大，人数最多，故 ；
八年级的数据第10个和第11个数据分别为7和8，
∴ ；
故答案为：7.55，8，7.5；
（2） （名）；
答案第6页，共2页答：估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数为1200名．
19．（1）解：作 ，交 的延长线于点F，则 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 米，
∴ （米）， （米），
∴ （米），
即 的长为 米；
（2）解：设水池的深为x米，则 米，
由题意可知： ， ， 米，
∴ （米）， （米），
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即水池的深约为4米．
20．（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 ，
所以
在 和 中，
，
答案第7页，共2页所以 ；
（2）解：点C为DH的中点时，四边形AHCG是矩形．理由如下：
由（1）得 ，
所以GO＝HO，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 ，
所以四边形AHCG是平行四边形，
因为GH＝GD，点C为DH的中点，
所以 ，
所以 ，
所以四边形AHCG是矩形．
21．（1）解：设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元．
由题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是分式方程的解，且符合题意．
∴ ．
∴每件产品的成本为 （元）．
（2）解：由（1），每天利润
；
（3）解：由（2），
答案第8页，共2页．
抛物线开口向下，对称轴为 ．
∴当 时， 或58时有最大利润，此时 ．
即每天的最大利润为15120元．
当 时，W随x的增大而增大，
∴当 时，每天的最大利润为 元．
22．解：（1）当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：41；
（2）通过特例分析，猜想： 的面积是定值；
故答案为：是；
（3）① ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②解：∵等底等高，
，
．
∵ ，
．
；
故答案为：50；9；
答案第9页，共2页（4）由（3）①得： ，
整理得： ，
∵ 的长为整数．
∴当 时， ；当 时， （舍去）；当 时， ；当
时， ；
∴ 长为2或4或8．
23．（1）解：设此时抛物线的表达式为 ，
根据题意，抛物线过点 和点 ，
则 ，
解得： ，
∴此时抛物线的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线 图象的对称轴为 ，
∵直线 关于 轴对称的直线为 ，,
抛物线 关于 轴对称的抛物线图象的对称轴为 ，
答案第10页，共2页即抛物线 关于 轴对称的抛物线解析式为： ，
再将抛物线： 向右平移8个单位得到
，
∴ 喷出的水柱形成的抛物线的表达式： ；
（3）解：如图，
根据题意 喷出的水柱形成的抛物线图象的对称轴为 ，与x轴的一个交点
，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴与x轴的一个交点坐标为 ，
设 喷出的水柱形成的抛物线表达式为： ，
将点 代入 ，得 ，
解得： ，
∴ 喷出的水柱形成的抛物线表达式为： ，
答案第11页，共2页同理， 喷出的水柱形成的抛物线的图象过点 ，
则 喷出的水柱形成的抛物线的表达式为： ，
令 ，
解得： ，则 ，
∴汇聚点的坐标为 ；
（4）解：设直线 的方程为 ，与直线 平行的直线的方程为 ，
∴联立 ，得 ，
∴ ，
由题意知：直线 与抛物线相切时，水柱上的点到相应射灯所在直线的距离最小，
故 ，即 ，
∴ ，
如图，设直线 与抛物线切于点K，过点K作 的平行线，过点 作
轴交 于点F，
则 ，
又 厘米，
答案第12页，共2页∴在 中， 厘米，
∴直线 可以看成是将直线 向左平移 个单位得到，
即直线 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 米．
24．解：（1）∵ ，
∴
∵点E从点B出发沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点F从点C出发沿 方向
匀速运动、速度为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
解得：
（2）∵ ， ，
∴
， ， ，
，
答案第13页，共2页，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
作 交 于H，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
即 ；
（3）∵ ， ，
答案第14页，共2页由（2）知∵ ， ，
∴
由勾股定理可得：
即 ，
当 时，
则 ，
即
则
即 （舍去）， ；
当 时，
则 ，
即
则
即 ， （舍去）；
当 时，
则
解得：
即 或 或
答案第15页，共2页（4）过 点作 ，与 交于点 ，如图，则 ，
是 的中点，
∴ ，
， ，
，
当 、 、 三点共线时，
，
，
，即 ，
整理得， ，
解得 舍或 ，
故存在某一时刻 时，使得点 、 、 在同一条直线上．
答案第16页，共2页
