文档内容
2024~2025 学年下学期九年级月测数学试卷
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
.
1 计算 （ ）
A. B. C. D.
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由
黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 9的算术平方根是（ ）
A. 3 B. C. 81 D. 9
4. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
第1页/共22页C. D.
6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小
明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 为等腰三角形， ， 为 边上的中线，点P在 上，连接 ，
若 ，则 的长为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
8. 如图，已知点 ， ，若将线段 平移至 ，其中点 ， ，则 的
值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图， 的对角线 相交于点 ， 是 的中点， ，则 的周
第2页/共22页长为（ ）
A. 13 B. 14 C. 19 D. 28
10. 函数 ， 的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. 两函数图象的交点坐标为
B. 直线 分别与两函数图象交于 ， 两点，则线段 的长为3
C. 当 时，
的
D. 当 时， 值随着x值的增大而增大， 的值随着x值的增大而减小
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 如图所示是一个关于 的一元一次不等式的解集，则该解集是__________．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 若 与 的和是单项式，则 __________．
14. 如图， 是 的直径， ， 是 上的点， ，则弧 的长为
__________．
第3页/共22页15. 已知抛物线 （ 、 、 是常数且 ）过 和 两点，且 ，
下列四个结论：① ；②抛物线对称轴在 轴左侧；③ ；④若抛物线过点 ，则
．其中正确的结论有__________．（填写序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 先化简，再求值： ，其中 ．
的
17. 中国初创企业 （深度求索）公司，其自主研发 人工智能（ ）大语言模型 ，
凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响． 公司为提升 服务能力，计
划部署两种服务器：型号 和型号 ．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示：
服务器类 每台所需技术 每台服务器成本
型 人员 （万元）
型号
3
型号 5
公司共有技术人员 人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为 万元．问 和
服务器 的部署数量各是多少台？
18. 如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：
“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作
原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点 为水盆，点 为被观测者，现测得入
第4页/共22页射角 ， ， 与 为法线， ．若 长为 ，求 长度（精
确到 ）．参考数据： ， ， ， ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 为促进学生身心协调发展，学校引入体感运动游戏（如虚拟网球、健身环挑战）作为课外活动．在八
年级虚拟网球联赛中，甲、乙两名选手表现优异，近六场比赛的统计如下：
选 平均每场得 平均每场协作 平均每场状态失
手 分 分 误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
术语说明：
得分：成功完成有效击球的次数（反映竞技水平）
协作分：与队友配合得分的次数（反映团队意识）
状态失误：因疲劳或分心导致的失误次数（反映身心状态）
根据以上信息，回答下列问题
第5页/共22页（1）这六场比赛中，得分史稳定的选手是_________（填“甲”或“乙”）；甲选手得分的中位数为 ，
乙选手得分的中位数为________．
（2）从得分角度分析：甲、乙两名选手谁的表现更好？说明理由．
（3）规定健康表现分为：得分 协作分 状态失误 ，分数越高表现越好．利用该方法比较
甲、乙的表现．
（4）除比赛数据外，你认为还需监测哪些指标来全面评估学生参与虚拟运动的健康效益？请说明理由．
20. 如图， 是 的弦， 为过点 的切线上一点，且 ， 分别在 上，
且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的度数．
21. 综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1， 是等边三角形，点 是 边上一动点（点 不与点 重合），连接 ，将线段 绕
点 按逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，并提出了如下问题：
【初步探究】
第6页/共22页（1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展研究】
（2）若 ，求 的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22. 如图1，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转
到 ，连接 ．
（1） 绕点 旋转过程中，求证： ；
（2） 绕点 旋转过程中，延长 交线段 于点 ，当四边形 为平行四边形时，求线段
的长度；
的
（3）在 绕点 旋转过程中，是否存在以 、 、 为顶点，且 为腰 等腰三角形，若存在，
直接写出 的长度，若不存在，说明理由．
23. 如图1，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为 ，其边 与 分别在 轴与 轴的
正半轴上．点 在 边上（ ），连接 ，将 沿 折叠得到 ，延长
交直线 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，交直线 于点 ．
第7页/共22页（1）当点 在边 上时，连接 ，将 沿 折叠，恰好与 重合，连接 并延长，
交 于点 ，交 于点 ．
①判断四边形 的形状，并证明；
②设 ，探究 、 与 三者之间的数量关系；
（2）如图2，当点 位置发生变化时，探究 的长度变化规律（用含有 的代数式表示 的长
度）．
第8页/共22页2024~2025 学年下学期九年级月测数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B A A B D C B D C
11. 12.8 13. 14. 15. ①③④
选择题、填空题解法提示
10.C
A、将点 分别代入两个解析式得 ， ，正确，不符合题意；
B、将 分别代入两个函数解析式， ， ， ，正确，不符合题意；
C、当 时， ，原说法错误，符合题意；
D、当 时， 的值随着 值的增大而增大， 的值随着 值的增大而减小，正确，不符合题意；
故选：C．
15.①③④
抛物线 、 、 是常数且 过 和 两点，
且 ，
抛物线的对称轴为直线 ，且 ，
即 ，
第9页/共22页对称轴在 轴的右侧， ， ， ，
故①正确，②错误；
对称轴直线为 ，抛物线开口向下，
∴ 处的函数值大于 处的函数值，
即 ，故③正确；
把点 和点 代入抛物线中，
可得 ，整理可得 ，
解得 ，
故 ，
整理变形可得， ，故④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
故答案为：①③④ ．
解答题参考答案
16.解：原式 ．
当 时，
原式 ．
17.解：设 服务器的安装数量是 台， 服务器的安装数量是 台，
第10页/共22页由题意得： ，
解得： ．
答： 服务器的安装数量是8台， 服务器的安装数量是6台．
18.解：如图所示，过点A作 于点E，
∵入射角 ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
第11页/共22页∴ ．
19.解：（1）甲，29分；
（2）甲更好，理由：平均得分更高（ ），且甲的成绩更稳定．所以甲的成绩更好．
（3）乙更好：
甲健康分 ，
乙健康分 ，
，
∴乙选手的表现更好；
（4）答案不唯一.
睡眠质量：避免夜间比赛影响生物钟
同伴评价：评估团队沟通能力提升效果
每日屏幕时间——避免久坐影响视力；赛后心率恢复速度——反映心肺功能适应度．
20.（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第12页/共22页∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
21.解：（1）如图1所示，线段 、 即为所求．
猜想： ；
理由如下：如图1，连接 ，由旋转得 ，
第13页/共22页∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图2，作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，且 ， ，
∴ ．
整理得： ，解得： 或 ，
∴ 或 ，
即 的长为2或6．
第14页/共22页22.解：（1）∵ 绕点 顺时针旋转 到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，如图：
，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
由（1）知， ，
∴ ， ，
即 ，
∴点 、 、 、 共圆，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第15页/共22页∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）作 于 ，作 于 ，
设 ，
如图：
，
当 时，
∵ ，
∴ ，
由（2）知，
， ，点 、 、 、 共圆，
∴ ， ，
第16页/共22页∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，
∴ ，
；
当 时，如图：
，
∵ ，
∴ ，
第17页/共22页∴ ，
在 中， ，由勾股定理得，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 .
23.解：(1)①四边形 是矩形，
理由如下：
∵ 沿 折叠得到 ，
，
，
同理可得， ，
，
，
，
∴四边形 是矩形；
②如图1，作 于 ，交 于 ，
第18页/共22页由折叠可知， ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得， ，
第19页/共22页，
，
，
，
，
，
．
(2)根据题意可知 ，
如图2，
当点 落在 上， ，
由 得， ，
，
如图3，
第20页/共22页当 时，
作 于 ，交 于 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
第21页/共22页，
，
，
，
，
，
当 时，同理， ，
综上所述： 先由大变小，然后再由小变大．
第22页/共22页
