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2025年江西省南昌市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列实数中，最大的数是
A． B．0 C．1 D．2
2．（3分）如图是由长方体与三棱柱组成的几何体，它的左视图为
A． B． C． D．
3．（3分）2025年2月22日南昌市统计局发布，2024年南昌市常住人口增加10.22万，排在全国前列，
将10.22万用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
5．（3分）在九年级组织的班级篮球比赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中的得分情
况如图所示，下列说法错误的是
第1页（共23页）A．甲的得分方差更小，所以更稳定
B．甲的平均得分更高
C．乙得分的众数比甲高
D．如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大
6．（3分）如图，△ 为直角三角形， ，点 在边 上，点 关于 的对称点为点 ，
关于 的对称点为点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若二次根式 在实数范围内有意义，写出一个符合要求的 的值： ．
8．（3分）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
9．（3分）第十四届国际数学教育大会在上海举办，大会标识（如图）蕴含着很多数学文化元素，以中
国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行融合，体现了我国传统文化的
博大精深．八卦符号可以用于记数，每卦均可由一个二进制的数来表示，其中阳爻和阴爻分别对应数字 1
和0．若二进制数为 ，则它对应的十进制数为： ．二进制数 对应的十
进制数为 ．
第2页（共23页）10．（3分）镜片的屈光力 （单位：屈光度）与焦距 （单位：米）满足反比例函数关系，如图，点
在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距 为1米，则它的屈光力 屈光度．
11．（3分）在△ 中， ， ， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交
于点 ，连接 ，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（3分）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 是 的中点．将△
绕点 旋转 得到△ （点 与点 对应，点 与点 对应），当点 落在△
的边所在的直线上时，点 到直线 的距离为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ；
第3页（共23页）（2）如图，点 在线段 上， ， ， ．求证：△ △ ．
14．（6分）先化简： ，再从 , , 1,2四个数中选一个合适的数作为 的值，代
入求值．
15．（6分）南昌享有“天下英雄城”的美誉，具有丰富的红色景点，吸引着大量的游客前来参观学习．
现将写有 八一广场、 小平小道陈列馆、 新四军旧址、 八一起义纪念馆四张外观相同的卡片背面
朝上．甲、乙两名游客通过随机抽取卡片的方式选择景点，甲游客随机抽取一张然后放回，乙游客再随
机抽取一张．
（1）甲游客抽到新四军旧址进行参观是 事件；（填入相应的序号）
①随机；②不可能；③必然
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的概率．
16．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成 网格，小正方形的顶点为格点，图中的点 ， ，
在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作 的平分线 ；
（2）如图2，在 上找一点 ，使得 ．
17．（6分）为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若用 1000元购买
甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果进价的2倍．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少；
（2）若甲种水果的售价为14元 千克，乙种水果的售价为26元 千克，该商家购进甲、乙两种水果共
500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，过点 作 ，
第4页（共23页）垂足为 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
19．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ．
（1）分别求出一次函数 与反比例函数 的解析式；
（2）点 在线段 上，连接 ，若 ，求点 的坐标．
20．（8分）如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形 是其主视图．如图3所示，
四边形 可绕点 旋转得到四边形 ，设旋转角为 ，当 ， ， 三点共线时
最大．经测量 ， ， ．
（1）求 的长度．
（2）①当 为何值时，点 到边 的距离最大，并求出最大距离；
②直接写出当 为何值时，点 到边 的距离等于 ．
（参考数据： ， ，
第5页（共23页）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某中学为提升学生的数学素养，组织八、九年级学生进行“数学文化与历史”主题知识竞赛．
从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩 （单位：分）作为样本进行整理，分成5组 ；
； ； ； ，并绘制了如下尚不完整的统计图表．
八年级50名学生竞赛成绩统计表
组别 频数
4
12
5
已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，竞赛成绩在 组的具体数据是：
70，71，72，72，74，74，76，77，77，77，78，79．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ， ；
（2）①补全频数分布直方图；
②小慧认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪
个年级的学生成绩更好．她的说法是否正确，请说明理由．
（3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，
估计八、九年级此次竞赛共有多少名同学达到优秀．
第6页（共23页）22．（9分）如图1，在等边三角形 中，动点 从点 出发沿 匀速运动，同时动点 从
点 出发沿 匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点 到达点 时， ， 两点同时停止
运动．设点 运动的时间为 ，△ 面积为 ．图2中的曲线是动点 在边 上时 与 的函数图
象．
（1） 的长为 ； ．
（2）当点 由点 运动到点 时，经探究发现 是关于 的二次函数．请求出此时 与 的函数解析式．
（3）在运动过程中，若存在三个时刻 ， ， 对应的△ 面积均相等，且 ，
求 的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）【特例感知】
在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， 与 相交于点 ．
（1）①如图1，若点 ， 分别是 ， 的中点，则 ；
②如图2，若点 是 的中点， ，则 ．
第7页（共23页）【类比探究】
在菱形 中， ，点 ， 分别在 ， 上，对角线 ， 相交于点 ， 与
相交于点 ，连接 交 于点 ．
（2）①如图3，若 ， 分别是 ， 的中点，求 的值；
②如图4，若 ，求证： ．
【拓展延伸】
（3）如图5，在四边形 中， ，且 ，点 为 的中点．若 ，
请直接写出 的值．
第8页（共23页）2025年江西省南昌市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C C B B D
7.2（答案不唯一） 8.2 9.5 10.1 11. 12. 或 或
选择题、填空题解法提示
6．解：由对称可知，
．
，
．
由对称可知，
， ，
．
故选： ．
12．解：①当 落在边 上时，
过点 作 于点 ，
在等腰直角三角形 中，
是 的中点， ，
△ 为旋转所得， ， ，
， ， ，
，
四边形 为矩形，
第9页（共23页），
点 到直线 的距离为 ；
②当 落在边 所在直线上时，如图，
，
由旋转可得： ，
由①得： ，
点 到直线 的距离为 ；
③当 落在边 所在直线上时，如图，
延长 ， 交于点 ，
由旋转可得： ，
四边形 为矩形， ，
第10页（共23页）点 到直线 的距离为 ，
故答案为： 或 或 ．
解答题参考答案
13．（1）解：原式
；
（2）证明： ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ．
14．解：原式
，
由题意得： 、1，
当 时，原式 ．
15．解：（1）甲游客抽到新四军旧址进行参观是随机事件；
故答案为：①；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两名游客都抽到八一起义纪念馆的结果数为1，
第11页（共23页）所以甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的概率 ．
16．解：（1） ， ，
，
△ 为等腰三角形．
如图1，取 的中点 ，作射线 ，
则射线 即为所求．
（2）如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，
．
，
平分 ， ，
， ．
，
，
则点 即为所求．
17．解：（1）设甲种水果的进价是 元，则乙种水果的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
第12页（共23页）（元 ．
答：甲种水果的进价是10元，乙种水果的进价是20元；
（2）设甲种水果购进 千克，则乙种水果购进 千克，
根据题意得： ，解得： ，
的最大值为300．
答：甲种水果最多购进300千克．
18．（1）证明：连接 ，
平分 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
为 的切线；
（2）解：连接 交 于 ，
，
，
， ，
为直径，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
第13页（共23页）解得 ，
故 的半径为 ．
19．解：（1）由题意， 一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
，
．
．
反比例函数为 ．
又将点 代入 ，
．
．
反比例函数解析式为 ．
又 ，
， ．
．
， ．
一次函数解析式为 ．
第14页（共23页）（2）由题意， △ 和△ 共顶点 ，且底边在 上，面积比 ，
．
如图，分别过 、 、 作 轴于 ，作 轴于 ，作 轴于 ，作 于 ，
交 于点 ．
．
．
令 ，
．
或 ．
或 ．
， ．
在 上，
可设 ．
， ．
．
．
．
第15页（共23页）， ．
20．解：（1）过点 作 ，垂足为 ．
四边形 为矩形，
四边形 为矩形，
， ，
．
（2）①如图，当 ， ， 三点共线时，点 到边 的距离最大．
在 △ 中， ， ，
，最大距离为 ．
② ，
当 ，即点 与点 重合时，点 到边 的距离等于 ；
过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
第16页（共23页）， ，
，
；
综上所述，当 为 或 时，点 到边 的距离等于 ．
21．解：（1） 八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，
将八年级50名学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26位的成绩的平均数为75分，
由竞赛成绩在 组的具体数据可知，排在第25和26位的成绩分别为74分，76分，
， ．
故答案为：15；14．
（ 2 ） ① 由 频 数 分 布 直 方 图 可 得 ， 九 年 级 50 名 学 生 竞 赛 成 绩 在 的 人 数 为
（人 ．
补全频数分布直方图如图所示．
②她的说法不正确．
理由：将九年级 50 名学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第 25 和 26 位的成绩均落在
组，
九年级50名学生竞赛成绩的中位数落在 组，
八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，
第17页（共23页）九年级50名学生竞赛成绩的中位数大于八年级，
九年级的学生成绩更好．
（3） （人 ．
估计八、九年级此次竞赛共有约758名同学达到优秀．
22．解：（1）由图2可知点 从 到 总共用了4秒，
点 的运动速度为每秒1个单位，
，
△ 是等边三角形，
；
由图2可知当 时， ，
此时 在 中点， 在 中点，
△ 是等边三角形，且 ，
如图，过 作 于点 ，
则 ，
，
；
故答案为：4， ；
（2）过点 作 ，垂足为 ．
第18页（共23页）当点 在边 上时， ．
在 △ 中， ，
；
（3）由（1）可知，当 时，抛物线的顶点坐标为 ，
当 时，设抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式得， ，解得 ，
，
存在三个时刻 ， ， 对应的△ 面积均相等，
，
根据二次函数的对称性可知 ，
，
，
，解得 ， ，
第19页（共23页）．
23．（1）解①：如图1，
设 和 交于点 ，
设 ，
四边形 是正方形，
， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
， ，
，
，
故答案为：3；
② 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
△ △ ，
第20页（共23页），
点 是 的中点，
，
，
，
故答案为： ；
（2）① 四边形 是菱形，
， ， 平分 ，
，
，
，
，
， 分别是 ， 的中点
，
， ，
，
，
；
②证明：如图2，
第21页（共23页）延长 至 ，使 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
△ 是等边三角形，
， ，
， ， ，
，
，
，
△ △ ，
，
，
；
（3）解：如图3，
作 ，交 于 ，交 于 ，作 ，交 的延长线于 ，
，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
第22页（共23页），
，
，
△ △ ，
，
设 ， ，则 ， ，
， ，
或 （舍去），
．
第23页（共23页）
