文档内容
2025年福建省厦门市中考数学二检试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正
确）
1．（4分）如图，点 表示的数是 ，下列点中，表示 的相反数的是
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（4分）如图所示的零件的俯视图是
A． B． C． D．
3．（4分）如图所示，在四边形 中， ，射线 与 交于点 ，连接 ．下列角中，
与 相等的是
A． B． C． D．
4．（4分）下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰三角形
5．（4分）某校有七、八、九三个年级，为了解全校学生的课外阅读情况，老师进行了抽样调查，下列
选取调查对象的方式中，较为合理的是
第1页（共21页）A．从七年级随机选取90名学生
B．从三个年级随机选取两个班的学生
C．从三个年级各随机选取30名男生
D．从三个年级各随机选取30名学生
6．（4分）为监测某水库雨季期间的水位高度，如表记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上
涨为正，单位： ，这三天水位上涨的高度可表示为
第一天 第二天 第三天
A． B．
C． D．
7．（4分）若一个函数的自变量 每变化一个单位，函数值 随之变化两个单位，其解析式可以是
A． B． C． D．
8．（4分）现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域
推广种植．工作人员在该地不同区域选取了 4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田
中这四种甜玉米的产量（单位： 公顷），统计结果如图所示．根据统计结果，最适合在该地不同区域
推广种植的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
第2页（共21页）9．（4分） ．
10．（4分）因式分解： ．
11．（4分）正六边形的外角和是 ．
12．（4分）如图，在正方形 中， ，点 在边 上， ．若 ， 分别是 ，
的中点，则 的长为 ．
13．（4分）点 在双曲线 上，若点 也在此双曲线上，则点 的坐标可以是 （写出一
个即可）．
14．（4分）某镇为发展农业经济，对 的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上
行驶，平均速度从原来的 提升到 计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为
（用含 的代数式表示）
15．（4分）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷
感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二面一．”即：弓形面
积 （弦长 矢长 矢长 矢长） ．如图，一块弓形田的弦 长为 ，矢 长为 ，用弧田
术计算其面积，与实际的误差为 取古圆周率
16．（4分）已知函数 ，当 取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图
象集”记为 ．若存在 的某个范围，对该范围内的任意 ，当 时，相应的函数图象 与 （不
含 的部分）都不相交，则 的该范围是 ．
第3页（共21页）三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）计算： ．
18．（8分）如图，点 在线段 上， ， ， ，求证： ．
19．（8分）已知整式 ．
（1）化简该整式；
（2）若该整式的值为正数，判断关于 的方程 的根的情况，并说明理由．
20．（8分）如图所示，△ 三边的长分别为 ， ， ， 是△ 的中线，过
点 作 且 ，连接 ．求证：四边形 是菱形．
21．（10分）今年学校灯谜节期间，除了全员活动外，初一年级照例要开展“一锤定音”传统挑战赛：
各班推选6名同学组成代表队，分为字谜组和物谜组各3名，为增强趣味性，由评委分别在两组中随机抽
一名同学进行3分钟猜谜，猜对的字谜和物谜数都超过往届挑战赛的最高成绩（字谜和物谜组的最高成
绩分别为13，17，单位：个），才算换战成功 班组织了赛前练习并推选了6名成绩相对稳定的同学组
成代表队，其中小梧在字谜组，他在赛前的20次练习情况如表所示．
3分钟猜对的
字谜数 （个
次数 1 1 2 9 7
（1）若小梧被抽中，请根据表中数据，预估他此次比赛猜对的字谜数，并说明理由；
（2）1班的同学同样根据赛前练习的情况预估了本班代表队此次比赛的成绩；字谜组另两位同学分别为
12，13；物谜组三位同学分别为15，18，19．
小桐说1班此次挑战成功的机会很大，你同意吗？请根据以上预估说明理由．
22．（10分）某地举办中学生科技创新夏令营，小梧的团队要用轻型材料搭建几何艺术小展区，他们参
第4页（共21页）考了各种屋顶桁架结构设计了含有“自相似形”的展区顶棚．顶棚由 2个等腰三角形（顶角为钝角）桁
架组成，他们要在每个桁架（如图的△ 的左右两侧斜梁 ， 和横梁 之间对称安装若干连接
杆，其中在左侧的操作步骤如下：
①在横梁上确定点 、使△ 与△ 相似，且 与点 对应，得到连接杆 ；
②在斜梁上确定点 ，使△ 与△ 相似，且 与点 对应，得到连接杆 ；
③在拱梁上确定点 ，使△ 与△ 相似，且 与点 对应，得到连接杆 ；
依此类推．
（1）如图是桁架的平面设计图，请在该图中作出点 ；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
（2）若他们设计的桁架斜梁长度为 ，且与横梁夹角为 ．根据测算，为确保安全性和稳定性，每个
桁架的左右两侧至少要各安装2个连接杆，每个桁架配 的连接杆材料是否够用？请说明理由；
（3）从数学的角度，上述操作可不断进行．设 为 ， 为 ，直接写出表示左侧连接杆的线段
的长度变化规律的代数式．
23．（10分）一个矩形可不重叠且不留空隙地分割为 个正方形，称该矩形为“ 阶容正矩形”．
（1）图1是一个3阶容正矩形．请再画出一个形状不同的3阶容正矩形，若该矩形的周长为10，求它的
边长；
（2）若要求4阶容正矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，判断4阶容正矩形按此方
式是否可分割为4个大小不等的正方形，并证明；
（3）若一个矩形可按图2所示的方式分割为9个大小不等的正方形，请探究该9阶容正矩形的一个性质
定理．
（说明：“大小不等”指两两不全等）
第5页（共21页）24．（12分）如图所示，已知 半径为 是 直径，过点 作 于 ，交弦 于点
，连接 ，若 ，
（1）证明 ；
（2）设 是射线 上的动点，将△ 绕着点 顺时针旋转 得到△ ．
①当 时，探究直线 与 的位置关系；
②在△ 旋转过程中，是否存在点 落在线段 上且 的情形？若存在，求出相应的
的度数；若不存在，请说明理由．
25．（12分）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点 处竖直装有水管 ，地面上、
下的长度分别为 ， ，点 处连接水泵，点 处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷
泉）．该抛物线上与点 离地高度相同的点记为 ，喷泉的最大高度（即最高点 的离地高度）记为 ，
通常当 时喷泉达到最佳观赏比例．
小梧用无人机拍摄喷泉景观区无风时，观测到 与射线 的夹角为 ，且此时该喷泉正好达到
最佳观赏比例．
（1）通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近
似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛
物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．
小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为 ．你同意吗？请说明理由；
第6页（共21页）（2）根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度
是无风时的 至 ， 的长度也会改变，如表是测算所得的数据．
3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50
的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00
当有风且风力不超过3级时，
①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由；
②记喷泉落地点为 ，无人机从射线 正上方 且与点 水平距离 处出发．水平向左飞行 ，
是否会穿进喷泉？请说明理由．
（参考数据： ，
第7页（共21页）2025年福建省厦门市中考数学二检试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C D C B C
3 10. 11. 12. 13. （答案不唯一） 14.
9.
1.2 16.
15.
选择题、填空题解法提示
7．解：设当 时， ，当 时， ，则 ．
对于解析式
， ，
则 ，
的自变量 每变化一个单位，函数值 随之变化一个单位，
不符合题意；
对于解析式
， ，
则 ，
的自变量 每变化一个单位，函数值 随之变化两个单位，
符合题意；
对于解析式
第8页（共21页）， ，
则 ，
的自变量 每变化一个单位，函数值 随之变化量不是一个定值，
不符合题意；
对于解析式
， ，
则 ，
的自变量 每变化一个单位，函数值 随之变化量不是一个定值，
不符合题意．
故选： ．
15.解：设圆心为 ，连接 ， ，设 ．
，
， ，
，
在 △ 中， ，解得 ，
， ， ，
弓形实际面积 ，
第9页（共21页）另外弧田术计算弓形面积 ，
用弧田术计算其面积，与实际的误差为 ．
故答案为：1.2．
16．解： ，
抛物线开口向上，顶点为 ，
令 ，
当 时，函数为 有最小值1，函数 有最大值1，
存在 的某个范围，对该范围内的任意 ，当 时，相应的函数图象 与 （不含 的部分）都不
相交，
．故答案为： ．
解答题参考答案
17．解：原式
．
18．证明：
， ，
19．解：（1）
；
（2）方程有两个不相等的实数根，理由：
该整式的值为正数，
，即 ，
第10页（共21页）关于 的方程 中，
△ ，
，
，
该方程有两个不相等的实数根．
20．证明： ， ， ， ，
，
是△ 的中线， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 是菱形．
21．解：（1）根据表中数据，小梧赛前20次练习平均每次猜对的字谜数近似为：
（个 ，
所以预估小梧此次比赛猜对的字谜数为15个；
（2）不同意小桐的说法，理由如下：
假设字谜组3名同学为 ， ， ，物谜组3名同学为 ， ， ，
分别从两组中随机抽一名同学，一共用九种等可能得结果，如图所示：
根据练习情况，对字谜组3名同学 ， ， 的比赛成绩预估为15，12，13，对物谜组3名同学 ，
第11页（共21页）， 的比赛成绩预估为15，18，19，
根据以上预估，1班挑战成功有 ， 两种可能的结果，
所以预估1班此次挑战成功的机会为 ，故不同意小桐的说法．
22．解：（1）点 如图．
（2）不够用，理由如下：
如图，作 于点 ，
， ，
，
，
△ △ ，
，
即 ，
，
第12页（共21页），
△ △ ，
，
即 ，
，
根据题意需要连接杆的长度为 ，
，
每个析架配 的连接杆材料不够用；
（3）解： ， ，
如图，作 于点 ，
，
，
△ △ ，
，
即 ，
，
第13页（共21页），
△ △ ，
，
即 ，
，
，
．
23．解：（1）如图，矩形 为所求，
设 ，
四边形 与四边形 均为正方形，
， ．
．
四边形 为正方形，
．
．
，
即 ．
解得 ．
该3阶容正矩形边长为2，3，2，3．
（2）4阶容正矩形按此方式不可分割为4个大小不等的正方形，
第14页（共21页）理由如下：根据（1）中的线段和差关系推理，若设4个正方形边长分别为 ， ， ， ，
因为矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，则矩形的一组对边的长为 与 ，
另一组对边的长为 与 ．
因为矩形对边相等，
所以 ①且 ②．
① ②得 ．可得 ．
所以4阶容正矩形按此方式不可分割为4个大小不等的正方形．
（3）如图，按图中标号顺序（正方形 标号为① ，将9个正方形的边长依次表示为 ， ， ，
．
设 ， ，
因为 ，
所以 ．同理可得： ， ， ， ， ， ．
因为矩形对边相等，
所以 ，
即 ．可得 ．
所以该矩形的一组邻边长分别为： ， ．
可得该9阶容正矩形的一个性质定理为：该9阶容正矩形的一组邻边长的比值为 ．
24．（1）证明： ， ，
第15页（共21页），
，
，
在 △ 中， ，
．
．
；
（2）①解：如图，连接 交直线 于 ，
△ 绕着点 顺时针旋转 得到△ ，
，
由（1）知： ， ，
，
，
即 ，
在 △ 中， ，
设 ，
在 △ 中， ，
当 时， ， ，此时点 与点 重合，
由 ，可得 与 相切，
当 时， ， ，此时点 与点 不重合，
第16页（共21页）故直线 与 不相切，则直线 与 相交，
综上， 时， 与 相切； 时， 与 相交；
②解：存在．
如图，连接 ， ， ， ， ， ，
△ 绕着点 顺时针旋转 得到△ ，
， ，△ △ ，
，
点 在射线 上，
，
．
点 在 上，
当 ， 时，
， ，
， ，
．
又 ，
，即存在点 落在 上且 的情形，
此时， ， ，
在△ 和△ 中， ， ， ，
△ △ △ ，
， ，
，
△ 是等边三角形，
第17页（共21页）， ，
即点 和点 都在 上，
．
25．解：（1）不同意，理由如下：
由题可知 ， ，
过点 作 于 ，交地面水平线于点 ，如图，
则 ， ，
，
，
喷泉为抛物线形状，
点 ， 关于直线 成轴对称，
，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
则 ，
，
，
在 △ 中， ，
，
即 ，
第18页（共21页）此时该喷泉正好达到最佳观赏比例，
，
即 ．
，
解得 ，
，
考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形，
该喷泉的水泵的压水扬程应大于 ，
故不同意小桐的推断．
（2）①不可能，理由如下：
根据表三可知，当有风且风力不超过3级时， 长度随着喷泉的最大高度 的增大大致呈现出均匀增大
的规律，
设 ．
把 ， 代入，
可得 ，
解得 ，
，
由（1）可知，无风时 ，
由题可知，当有风且风力不超过3级时， ，
即 ，
若喷泉达到最佳观赏比例，则 ，
即 ，
又 ，可得 ，
解得 ，不符合 的条件，
有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例；
第19页（共21页）②不会，理由如下：
如图，以地面水平线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则点 的坐标为 ，
过点 作 于 ，交 轴于点 ，
则 ，顶点 的坐标为 ， ，
设该抛物线的解析式为： ，
， ，
，
，
把 代入 ，
得 ，
得 ，
即 ，
若设该抛物线的解析式为 ，
则 ，可得 ，
又 抛物线经过 ，可得 ．
第20页（共21页）即抛物线形喷泉的解析式为 ，
由①可知， ，而 ， ，
对于 ，
，在每个象限内， 随 的增大而增大， ，
当 时， ，可得 ，
即无论 取何值，无人机飞行终点的位置（射线 正上方 且与点 水平距离 处）都在抛物线外，
对于该抛物线 ，
，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，都有 ，
即无人机从射线 正上方 且与点 水平距离 处出发，水平向左飞行 ，不会穿进喷泉．
第21页（共21页）
