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中考数学一轮复习 函数
一．解答题（共20小题）
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x
a+c b+d
= ，y= ，那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当
a b
−1+4 1+(−2)
点T（x，y）满足x= =−3，y= =−1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融
−1 1
合点．
（1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪
个点的融合点；
（2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T
（x，y）是点Q，P的伴Q融合点．
①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T （x ，y ），
1 1 1
T （x ，y ））落在抛物线y＝x2上，则记|x ﹣x |为点T ，T 的水平宽度．若1＜|x ﹣x |＜2，求点
2 2 2 1 2 1 2 1 2
Q运动的范围（可用点Q的横坐标的范围表示）．
{ y(x≤m)
2．我们称函数y′= 为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次
−y(x＞m)
{ x+4(x≤3)
函数y＝x+4的3分函数为y′= ．
−x−4(x＞3)
4
（1）若点P（4，m）在关于x的反比例函数y= 的2分函数上，请直接写出m的值 ；
x
（2）已知当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小．请写出n的取
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值范围 ；
（3）若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数．当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，请求出k
的取值范围；
（4）若点M（﹣2，1），N（4，1），连结MN．当关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数，
与线段MN有三个交点，请求出p的取值范围．
3．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍
点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），(√2，3√2)都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；
21
②y= ；
x
③y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵
三倍点”，求抛物线的解析式；
3
（3）若抛物线y=ax2+bx+
（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令
2
w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求
出t的值；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，
4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
1
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点 P使tan∠BCP=
6
tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题
意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y ＝a x2+b x+c （a ≠0），平移后的抛物线与原抛
1 1 1 1 1
物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，
D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
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5．定义：若函数图象上存在点M（m，n ），M'（m+1，n ），且满足n ﹣n ＝t，则称t为该函数的
1 2 2 1
“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n ＝2m+3；当x＝m+1时，n ＝2m+5，n ﹣n ＝2
1 2 2 1
则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
4
（1）点M（m，n ），M'（m+1，n ）在y= 的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
1 2 x
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W ，将
1
函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W ．当W ，W 两部分组成的图象
2 1 2
上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
6．定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x ，y ），则称M（x ，y ）为抛物线L的
0 0 0 0
“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C．
（1）求抛物线L的不动点坐标．
（2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A．
①求抛物线L的解析式．
②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求△ABP的面积的最
大值．
7．我们约定：若关于x的二次函数y=a x2+b x+c 与y=a x2+b x+c 同时满足a ≠0，a ≠0，|
1 1 1 2 2 2 1 2
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a +a |+√b −b +（c +c ）2＝0，则称函数y 与y “回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
1 2 1 2 1 2 1 2
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
c a−c
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且 ≤x≤ 时，
a a
﹣4≤y ≤4，求a，c的值；
2
（3）关于x的函数y =ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回
1
旋”函数y 的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，
2
是否存在b使得AMDN为矩形？
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和
纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D
（3，2），在点M （1，1），M （2，2），M （3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是
1 2 3
；
1 9
（2）如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．
2 2
连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以
AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 P点坐标；若不存在，
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请说明理由．
9．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长
存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m＝10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形
的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
4
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y= (x＞0)，从矩形的周长为10可得到y
x
与x的函数关系式为： ，将满足要求的（x，y）可以看成这两个函数图象在第一象
限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是
10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ．
【拓展应用】
4
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y= (x＞0)的图象G经过点A
x
1
（4，1），直线l：y= x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的
4
部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图
象请直接写出b的取值范围 ．
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10．【建立模型】
（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直
线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明
过程：
【类比迁移】
（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题；
如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段
k
AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数y= 的图象经过点B，请你求出反比例函数
x
的解析式；
【拓展延伸】
（3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：
如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第
一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小
组的同学一起求出点P的坐标．
{ ax+b(x≥0)
11．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y = 的函数称为一次函
−ax+b(x＜0)
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数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C
（﹣3，2），D（﹣3，0）．
（1）已知函数y＝2x+1．
①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝ ．
②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 ．
（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是
．
12．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算
距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O ，O 的连线叫做基线，距离为t，基线
1 r
与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双
目相机中，内置的不变参数），两投影中心O ，O 分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据
1 r
光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P ，P 表示d ，d 分别
1 r 1 2
是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d ﹣d |．
1 2
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、
右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O P E∽△PO H，
1 1 1
△OPF∽△POH，
r r r
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f EP FP
可得， = l = r ，
z O H O H
l r
f EP +FP
所以， = l r （依图）…
z O H+O H
l r
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为
4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为
．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物
体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，
当M刚好进入感应区时，d ＝0.05mm，当M刚好经过点O 的正上方时，视差d＝0.02mm，在整
1 r
1
个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d 的 时，开始变大．
1 3
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，
则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝
1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
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13．定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x ，y ），Q（x ，
1 1 2
y ）．若x +y ＝x +y ，则称点Q为点P的“等和点”．
2 1 1 2 2
（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；
（2）如图2， A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）．若点P（0，m）在 A上有且只有一个
“等和点”，求⊙m的值； ⊙
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，当
1 2
W ，W 两部分组成的图象上恰有点P（0，m）的两个“等和点”，请直接写出 m的取值范围．
1 2
14．【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
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1 3
如图1，二次函数y=− x2+ x+2的图象C 交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC
2 2 1
1 3
的中点，二次函数y＝ax2+bx+c与y=− x2+ x+2是“异b族二次函数”，其图象C 经过点
2 2 2
D．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C 于E，F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF
1
的解析式；
（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N，连接
1 2
MC，NC，当△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
15．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值
点”的坐标；如果不存在，说明理由；
3
（2）设函数y= （x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点 A，B，过点B作BC⊥x轴，
x
垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，当W ，
1 2 1
W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
2
16．定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直
线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函
数l′的图象记作F ，函数l的图象未翻折的部分记作F ，图象F 和F 合起来记作图象F．
1 2 1 2
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜
1）．
1
（1）如图，函数l的解析式为y=− x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝
2
．
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3
（2）函数l的解析式为y=− ，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
x
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合
函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的
取值范围（直接写出结果）．
17．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为
一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．
（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的
1
另一交点为点B．若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的
2
正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上
1
方作矩形MNDE．若函数y= x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形
2
MNDE的边上，求n的值．
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18．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分
别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段
AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
1
与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=
3
，若存在，求出点M的横坐标．
19．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … 5 ﹣2 3 ﹣1 1 0 1 1 3 2 5 …
− − −
2 2 2 2 2 2
y … 5 0 3 m 3 0 3 2 3 0 5 …
− −
2 2 2 2 2 2
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象
的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB ＝3
时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点
A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行 y轴的直线l分别交线段
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OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否
为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
20．如图1，过抛物线y＝ax2上一点A（1，2）作AB∥x轴交抛物线于点B，延长AB到点D，使BD
＝1，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，求tanA的值．
【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量
法研究该题，并发现：
①只改变点A在抛物线上的位置，tanA的值不变化；
②只改变a的大小或只改变BD的长，tanA的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究该题，
并提出如下问题：
过抛物线y＝ax2（a＞0）上一点A（m，am2）（m＞0）作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线
AB上取一点D，使BD＝b，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，如图1和图2，请选
择图1或图2，求tanA的值．（用含a、b的代数式表示）
【拓展延伸】如图3，在抛物线y＝ax2（a＞0）上任取一点A，过点A作射线AB∥x轴交抛物线
于点B，在射线AB上点B的左右两侧各有一个动点D、E，分别过D、E作AB垂线交抛物线于
C、F，EF交AC于点G，连接BC、BG、BF、DF、AF，则△BCD、△BEG、△BDF、△BEF中
有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
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参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x
a+c b+d
= ，y= ，那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当
a b
−1+4 1+(−2)
点T（x，y）满足x= =−3，y= =−1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融
−1 1
合点．
（1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪
个点的融合点；
（2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T
（x，y）是点Q，P的伴Q融合点．
①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T （x ，y ），
1 1 1
T （x ，y ））落在抛物线y＝x2上，则记|x ﹣x |为点T ，T 的水平宽度．若1＜|x ﹣x |＜2，求点
2 2 2 1 2 1 2 1 2
Q运动的范围（可用点Q的横坐标的范围表示）．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；新定义；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）点E（﹣1，3）是点D（﹣1，5），F（2，10）的伴D融合点；
（2）①存在最高点T（1，1）；②﹣2＜m＜0．
【分析】（1）根据融合点的定义计算即可；
（2）①设Q（m，﹣m），P（x ，x2），由点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和
1 1
x 的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
1
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m
②方程 (x−1) 2+1=x2有两个不相等的实数根x ，x ，根据一元二次方程根与系数关系化简计
2 1 2
算（x ﹣x ）2，运用不等式性质求解即可．
1 2
−1+2 5+10
【解答】解：（1）∵ =−1， =3，
−1 5
∴点E（﹣1，3）是点D（﹣1，5），F（2，10）的伴D融合点；
（2）①存在，理由是：
由题意设Q（m，2m），P（x ，x2），
1 1
∵点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，
m+x 2m+x 2
∴x= 1，y= 1 ，
m 2m
∴x ＝mx﹣m，
1
2m+(mx−m) 2 m
∴y= = (x−1) 2+1，
2m 2
∵m＜0，
∴存在最高点T（1，1）；
m
②∵方程 (x−1) 2+1=x2有两个不相等的实数根x ，x ，
2 1 2
化简得：（m﹣2）x2﹣2mx+m+2＝0，
∴Δ＝4m2﹣4（m+2）（m﹣2）＝16＞0，恒成立，
∴m＜0，
2m m+2
∴x +x = ，x •x = ，
1 2 m−2 1 2 m−2
2m m+2 16
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x •x =( ) 2−4 × = ，
1 2 1 2 1 2 m−2 m−2 (m−2) 2
∵1＜|x ﹣x |＜2．
1 2
∴1＜（x ﹣x ）2＜4，
1 2
16
∴1＜ ＜4，
(m−2) 2
∴4＜（m﹣2）2＜16，
∵m﹣2＜0，
∴﹣4＜m﹣2＜﹣2，
∴﹣2＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函
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数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解题中的定义并熟练掌握相关性质及定
理是解题的关键．
{ y(x≤m)
2．我们称函数y′= 为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次
−y(x＞m)
{ x+4(x≤3)
函数y＝x+4的3分函数为y′= ．
−x−4(x＞3)
4
（1）若点P（4，m）在关于x的反比例函数y= 的2分函数上，请直接写出m的值 ﹣ 1 ；
x
（2）已知当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小．请写出n的取
值范围 n ≥ 4 ；
（3）若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数．当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，请求出k
的取值范围；
（4）若点M（﹣2，1），N（4，1），连结MN．当关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数，
与线段MN有三个交点，请求出p的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【答案】（1）﹣1；
（2）n≥4；
（3）1+√7≤k≤1+2√2；
（4）1−√5≤p＜1−√3．
4
【分析】（1）先求出关于x的反比例函数y= 的2分函数，再根据自变量的取值范围代入合适
x
的解析式中即可求解；
{ 2x+3(x≤4)
（2）由题意可得一次函数y＝2x+3的4分函数为y′= ，当x＞4时，y'随x的增
−2x−3(x＞4)
大而减小，结合当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小，即可确
定n的取值范围；
{ x2−2x−3(x≤1)
（3）先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数为y'= ，故令x2﹣2x
−x2+2x+3(x＞1)
﹣3＝﹣4，解得x＝1+2√2（舍去负值），此为k的上限；再令x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝1+√7
（舍去负值），此为k的下限，故可得k的范围；
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{ x2−2x−3(x≤p)
（4）先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数为y' = ，再令x2﹣2x﹣3＝
−x2+2x+3(x＞p)
1，解得x＝1+√5或x＝1−√5；令﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1+√3或x＝1−√3，得到y'与线段MN
有三个交点的临界值，从而确定p的范围．
4
【解答】解：（1）关于x的反比例函数y= 的2分函数为
x
4
{ (x≤2)
x
y′= ，又∵点P（4，m）在y'上，4＞2，
4
− (x＞2)
x
4
∴把x＝4代入y'=− 中，得m＝﹣1．
x
故答案为：﹣1．
{ 2x+3(x≤4)
（2）由题意可得一次函数y＝2x+3的4分函数为y′= ，
−2x−3(x＞4)
则只有当x＞4时，y'＝﹣2x﹣3，y'随x的增大而减小，
又∵当x＞n时，一次函数y＝2x+3的4分函数的图象上y随x的增大而减小，
故n≥4．
故答案为：n≥4．
（3）∵y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于x的1分函数，
{ x2−2x−3(x≤1)
∴y'= ，
−x2+2x+3(x＞1)
令﹣x2+2x+3＝﹣4，解得x＝1+2√2或x=1−2√2（舍去），
令﹣x2+2x+3＝﹣3，解得x＝1+√7或x＝1−√7（舍去），
当0≤x≤k时，﹣4≤y′＜4，为了满足此条件，
∴1+√7≤k≤1+2√2．
（4）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的p分函数为
{ x2−2x−3(x≤p)
y'= ，
−x2+2x+3(x＞p)
令x2﹣2x﹣3＝1，解得x＝1+√5或x＝1−√5；
令﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1+√3或x＝1−√3．
当x＝1−√5时，y'与线段MN有三个交点，
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当x＝1−√3时，y'与线段MN有两个交点，
当x＜1−√5或x＞1−√3时，y'与线段MN只有两个交点，
故p的取值范围为1−√5≤p＜1−√3．
【点评】本题为二次函数、一次函数、反比例函数的新定义问题，考查了三类函数的图象性质，
综合性较强，熟练运用各类函数的性质是解题关键．
3．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍
点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），(√2，3√2)都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ①③ ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；
21
②y= ；
x
③y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵
三倍点”，求抛物线的解析式；
3
（3）若抛物线y=ax2+bx+
（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令
2
w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求
出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①③；
（2）y＝x2﹣3x+8；
（3）t的值为1或3．
【分析】（1）运用“纵三倍点”的概念作答即可；
1 1
（2）由题意得方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得n= m2− m
4 2
17
+ ①，再由抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，n＝﹣2m+2②，联立方
4
程组求解即可；
3
（3）由抛物线y=ax2+bx+
（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，可
2
3 1
得方程3x＝ax2+bx+ 有且只有一个实数根，得出a= （b﹣3）2，进而可得w＝b2﹣2b+6a＝2（b
2 6
﹣2）2+1，再运用二次函数的性质即可求得答案．
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1
{x=
{y=−2x+1 5
【解答】解：（1）①由 得 ，
y=3x 3
y=
5
1 3
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（ ， ）；
5 5
{ y= 21 { x =−√7 { x =√7
②由 x 得： 1 ， 2 ，
y =−3√7 y =3√7
y=3x 1 2
21
∴反比例函数y= 的图象上有两个“纵三倍点”：（−√7，﹣3√7），（√7，3√7）；
x
{y=x2+x+1 {x =x =1
③由 得： 1 2 ，
y=3x y = y =3
1 2
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①③；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
1 1 17
∴n= m2− m+ ①，
4 2 4
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
{
n=−2m+2
联立①②，得：
n=
1
m2−
1
m+
17，
4 2 4
{m =m =−3
1 2
解得： ，
n =n =8
1 2
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
3
（3）∵抛物线y=ax2+bx+
（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
2
3
∴方程3x＝ax2+bx+ 有且只有一个实数根，
2
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3
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4× a＝0，
2
1
∴a= （b﹣3）2，
6
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
3
解得：t ＝1，t = （舍去），
1 2 2
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
3
解得：t = （舍去），t ＝3，
1 2 2
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次
函数的最值，新定义“纵三倍点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数
的相关知识是解答本题的关键．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，
4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
1
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点 P使tan∠BCP=
6
tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题
意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y ＝a x2+b x+c （a ≠0），平移后的抛物线与原抛
1 1 1 1 1
物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，
D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；解
直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+1；
1 11 1 5
（2）存在，满足条件的点P的坐标为P （ ， ），P （− ，− ）；
1 2 4 2 2 4
（3）点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4−√6）或（3，4+√6）．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
1
（2）过点 A 作 AQ⊥BC 于 Q，设直线 CP 交 y 轴于点 M，由题意得 tan∠BCP= tan∠ACB
6
1 AQ 1 4−1 1 BM 1 1 1
= × = × = ，由 =tan∠BCP= ，可得BM= BC= ×4＝2，即|y ﹣1|＝2，得
6 CQ 6 4−3 2 BC 2 2 2 M
1
出M （0，3），M （0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM 的解析式为y=− x+3，直线
1 2 1 2
1
CM 的解析式为y= x﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
2 2
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，
t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、
DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解
即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
{−9+3b+c=4
∴ ，
c=1
{b=4
解得： ，
c=1
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
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（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x ＝0（舍去），x ＝4，
1 2
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
1
∵tan∠BCP= tan∠ACB，
6
1 AQ 1 4−1 1
∴tan∠BCP= × = × = ，
6 CQ 6 4−3 2
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
BM 1
∴ = tan∠BCP = ，
BC 2
1 1
∴BM= BC= ×4＝2，
2 2
∴|y ﹣1|＝2，
M
∴y ＝3或﹣1，
M
∴M （0，3），M （0，﹣1），
1 2
1 1
∴直线CM 的解析式为y=− x+3，直线CM 的解析式为y= x﹣1，
1 2 2 2
1
{ y=− 1 x+3 {x 1 = 2 {x =4
由 2 ，解得 ， 2 （舍去），
11 y =1
y=−x2+4x+1 y = 2
1 4
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1
{ y= 1 x−1 {x 3 =− 2 {x =4
由 2 ，解得 ， 4 （舍去），
5 y =1
y=−x2+4x+1 y =− 4
3 4
1 11 1 5
∴P （ ， ），P （− ，− ），
1 2 4 2 2 4
1 11 1 5
综上所述，满足条件的点P的坐标为P （ ， ），P （− ，− ）；
1 2 4 2 2 4
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
{y=−x2+4x+1
联立得 ，
y=−x2+5
{x=1
解得： ，
y=4
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
{
1+0=2+m
则 4+1=t+n ，
(2−0) 2+(t−1) 2=(2−1) 2+(t−4) 2
{m=−1
解得： n=3 ，
t=2
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
{
m+1=2+0
则 n+4=t+1 ，
(2−1) 2+(t−4) 2=(0−1) 2+(1−4) 2
{m=1 {m=1
解得： n=4或 n=−2，
t=7 t=1
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
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当BF、DE为对角线时，
{
m+0=1+2
则 n+1=t+4 ，
(2−0) 2+(t−1) 2=(1−0) 2+(4−1) 2
{
m=3
{
m=3
解得： n=4−√6或 n=4+√6，
t=1−√6 t=1+√6
∴F（3，4−√6）或F（3，4+√6）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4−√6）或（3，4+√6）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛
物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解．
5．定义：若函数图象上存在点M（m，n ），M'（m+1，n ），且满足n ﹣n ＝t，则称t为该函数的
1 2 2 1
“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n ＝2m+3；当x＝m+1时，n ＝2m+5，n ﹣n ＝2
1 2 2 1
则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
4
（1）点M（m，n ），M'（m+1，n ）在y= 的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
1 2 x
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W ，将
1
函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W ．当W ，W 两部分组成的图象
2 1 2
上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
√5+1 √5−1
【答案】（1）m的值为− 或 ；
2 2
（2）证明见解答；
3 3
（3）− ≤a≤ ．
4 4
4 4 4 4
【分析】（1）由题意得：n = ，n = ，由n ﹣n ＝﹣4，得 − =−4，即可求得答案；
1 m 2 m+1 2 1 m+1 m
（2）设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n ），M'（m+1，n ），且满足n ﹣n ＝t，
1 2 2 1
m＞0，可得t＝n ﹣n ＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，再利用不等式的性质即可得出﹣
2 1
4m﹣2＜﹣2，即t＜﹣2；
（3）当W 两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，则﹣4m﹣2≤1，可得m
1
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3
≥− ，对于函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线 y＝b 翻折后的图象记为 W ：y＝2x2﹣4a2
2
4
3
（x≤a），利用对称性可得a≤ ，即可得出答案．
4
4
【解答】（1）解：∵点M（m，n ），M'（m+1，n ）在y= 的图象上，
1 2 x
4 4
∴n = ，n = ，
1 m 2 m+1
∵“域差值”t＝﹣4，
∴n ﹣n ＝﹣4，
2 1
4 4
即 − =−4，
m+1 m
整理，得：m2+m﹣1＝0，
√5+1 √5−1
解得：m =− ，m = ，
1 2 2 2
√5+1 √5−1 4 4
经检验，m =− ，m = 均是方程 − =−4的解，
1 2 2 2 m+1 m
√5+1 √5−1
∴m的值为− 或 ；
2 2
（2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n ），M'（m+1，n ），且满足n ﹣
1 2 2
n ＝t，m＞0，
1
当x＝m时，n ＝﹣2m2，
1
当x＝m+1时，n ＝﹣2（m+1）2，
2
∴t＝n ﹣n ＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，
2 1
∵m＞0，
∴﹣4m＜0，
∴﹣4m﹣2＜﹣2，
即t＜﹣2，
故该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，
∴b＝﹣2a2，
由（2）得：t＝﹣4m﹣2，
当W 两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，
1
则﹣4m﹣2≤1，
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3 3
解得：m≥− ，即a≥− ，
4 4
3
∴当a≥− 时，函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1，如图，
4
∵对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W ：y＝2x2+2b（x≤a），
2
当部分图象上的所有的点都满足“域差值”t≤1时，
则t＝2（m+1）2+2b﹣2m2﹣2b＝4m+2≤1，
1
解得：m≤− ，
4
3 3
∴m+1≤ ，即a≤ ，
4 4
3 3
∴− ≤a≤ ．
4 4
【点评】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和
性质，数形结合思想等，解题关键是正确理解并运用新定义解决问题．
6．定义：若抛物线L：y＝ax2+bx+c的图象恒过定点M（x ，y ），则称M（x ，y ）为抛物线L的
0 0 0 0
“不动点”．已知：若抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）与y轴交于点B，顶点为C．
（1）求抛物线L的不动点坐标．
（2）若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A．
①求抛物线L的解析式．
②如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求△ABP的面积的最
大值．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）的不动点坐标为（2，3）；
1
（2）①y=− x2+2x+1．
2
25
②S△ABP 的最大值为
8
．
【分析】（1）根据抛物线L的“不动点”定义即可解决问题．
（2）①根据抛物线L的对称轴是直线x＝2，建立方程求解即可求得a的值；
②抛物线的对称轴直线x＝2交x轴于点A，过点P作PE∥y轴，交直线AB于E，运用待定系数
1 1 1
法可得直线AB的解析式为y=− x+1，设P（t，− t2+2t+1），则E（t，− t+1），再运用二次
2 2 2
函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+x+1＝ax（x﹣2）+x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
当x＝2时，y＝2a×（2﹣2）+2+1＝3，
∴抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）恒过定点（0，1）和（2，3），
故抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1（a＜0）的不动点坐标为（0，1）和（2，3）；
（2）①∵抛物线L：y＝ax2﹣2ax+x+1，
−2a+1
∴抛物线L的对称轴是直线x=− =2，
2a
1
解得：a=− ，
2
1
∴y=− x2+2x+1．
2
②如图，抛物线的对称轴直线x＝2交x轴于点A，过点P作PE∥y轴，交直线AB于E，
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则A（2，0），
当x＝0时，y＝1，
∴B（0，1），
{2k+n=0
设直线AB的解析式为y＝kx+n，则 ，
n=1
{ 1
k=−
解得： 2，
n=1
1
∴直线AB的解析式为y=− x+1，
2
1 1
设P（t，− t2+2t+1），则E（t，− t+1），
2 2
1
令y=− x2+2x+1＝0，
2
解得：x＝2±√6，
∴D（2+√6，0），
∴P是第一象限抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜2+√6，
1 1 1 5
∵PE=− t2+2t+1﹣（− t+1）=− t2+ t，
2 2 2 2
∴S△ABP ＝S△BPE ﹣S△APE
1 1 5 1 1 5
= t•（− t2+ t）− （t﹣2）•（− t2+ t）
2 2 2 2 2 2
1 5
=− t2+ t
2 2
1 5 25
=− （t− ）2+ ，
2 2 8
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5 25
∴当t =
2
时，S△ABP 最大，最大值为
8
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上
的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键．
7．我们约定：若关于x的二次函数y=a x2+b x+c 与y=a x2+b x+c 同时满足a ≠0，a ≠0，|
1 1 1 2 2 2 1 2
a +a |+√b −b +（c +c ）2＝0，则称函数y 与y “回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
1 2 1 2 1 2 1 2
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
c a−c
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且 ≤x≤ 时，
a a
﹣4≤y ≤4，求a，c的值；
2
（3）关于x的函数y =ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回
1
旋”函数y 的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，
2
是否存在b使得AMDN为矩形？
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；解直
角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；（3）存在，当b＝﹣6时，
四边形AMDN为矩形．
【分析】（1）根据非负数的性质得：a ＝﹣a ，b ＝b ，c ＝﹣c ，运用“回旋”函数的定义即
1 2 1 2 1 2
可求得答案；
（2）根据“回旋”函数的定义可得新函数的表达式为y ＝﹣ax2+2ax﹣c，将（﹣1，c﹣a）代入，
2
可得c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，解得：a＝﹣c，进而可得y ＝﹣a（x﹣1）2+2a，结合已知条件可得：
2
当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y ≤4，再分两种情况：a＞0，a＜0，分别求得a，c的值；
2
b
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为：x ，x ，x ，x ，可得AC＝x ﹣x =− ，BC＝x ﹣x
1 2 3 4 1 3 a 2 3
b+√b2−4ac 2b
=− ，再由AC＝3BC，推出√b2−4ac=− ，再利用解直角三角形或相似三角形
a 3
性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵|a +a |+√b −b +（c +c ）2＝0，
1 2 1 2 1 2
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∴a +a ＝0，b ﹣b ＝0，c +c ＝0，
1 2 1 2 1 2
∴a ＝﹣a ，b ＝b ，c ＝﹣c ，
1 2 1 2 1 2
根据“回旋”函数的定义得：二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根据“回旋”函数的定义：二次函数y ＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y ＝﹣
1 2
ax2+2ax﹣c，
∵y ＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
1
∴顶点坐标为（﹣1，c﹣a），
∵关于x的二次函数y ＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数y 图象上，
1 2
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函数y ＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y ＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
1 2
c a−c
由题意得，当 ≤x≤ 时，﹣4≤y ≤4，
a a 2
即当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y ≤4，
2
若a＞0，
则当x＝1时，y ＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
2
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
则当x＝1时，y ＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
2
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
综上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如图，
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设点A、B、C、D的横坐标分别为：x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4
b 4ac−b2
∵y ＝ax2+bx+c＝a（x+ ）2+ ，
1 2a 4a
b 4ac−b2 −b+√b2−4ac −b−√b2−4ac
∴点M的坐标为（− ， ），且x = ，x = ，
2a 4a 1 2a 2 2a
b b2−4ac
根据“回旋”函数的定义：y ＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x− ）2+ ，
2 2a 4a
b b2−4ac b+√b2−4ac b−√b2−4ac
∴点N的坐标为（ ， ），且x = ，x = ，
2a 4a 3 2a 4 2a
b b+√b2−4ac
∴AC＝x ﹣x =− ，BC＝x ﹣x =− ，
1 3 a 2 3 a
∵AC＝3BC，
b b+√b2−4ac
∴− =− ×3，
a a
2b
∴√b2−4ac=−
，
3
当四边形AMDN是矩形时，则∠ADN＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
NH AH
在Rt△ADN中，tan∠NDH= =tan∠ANH= ，
DH NH
∴NH2＝AH•DH，
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b2−4ac
而NH= ，
4a
−b+√b2−4ac b −2b+√b2−4ac
AH= − = ，
2a 2a 2a
√b2−4ac
同理可得：DH= ，
2a
b2−4ac −2b+√b2−4ac √b2−4ac
（ ）2= × ，
4a 2a 2a
2b
将
√b2−4ac=−
代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
3
即当b＝﹣6时，四边形AMDN为矩形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，新定义问题，
矩形的性质，解直角三角形等知识，理解并应用新定义是解题关键．
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和
纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D
（3，2），在点M （1，1），M （2，2），M （3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是
1 2 3
M ， M ；
1 2
1 9
（2）如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．
2 2
连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以
AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 P点坐标；若不存在，
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请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）M ，M ；
1 2
（2）△ABC的面积为12；
（3）P点坐标为（2−√13，√13−2）或（2+√13，−√13−2）．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得：A（3，3），B（﹣3，﹣3），利用二次函数的顶点式可得抛
物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，由S△ABC ＝S△AMC +S△MBC ，即可求得答案；
1 9
（3）设P（t，− t2+t+ ），由以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得
2 2
AP＝BP，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣
1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M （1，1），M （2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M （3，3）不是矩形ABCD的
1 2 3
“梦之点”，
故答案为：M ，M ；
1 2
1 9
（2）∵点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，
2 2
∴点A，B是直线y＝x上的点，
{
y=x
∴ 1 9，
y=− x2+x+
2 2
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{x =3 {x =−3
1 2
解得： ， ，
y =3 y =−3
1 2
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
1 9 1
∵y=− x2+x+ =− （x﹣1）2+5，
2 2 2
∴抛物线的顶点为C（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，
设抛物线的对称轴交AB于M，则M（1，1），
∴CM＝5﹣1＝4，
∴S△ABC ＝S△AMC +S△MBC
1 1
= •CM•（x ﹣x ）+ •CM•（x ﹣x ）
2 A C 2 C B
1
= •CM•（x ﹣x ）
2 A B
1
= ×4×[3﹣（﹣3）]
2
＝12；
（3）存在，理由如下：
1 9
设P（t，− t2+t+ ），
2 2
∵以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴AP＝BP，
1 9 1 9
∴（t﹣3）2+（− t2+t+ −3）2＝（t+3）2+（− t2+t+ +3）2，
2 2 2 2
解得：t＝2±√13，
1 9 1 9
当t＝2−√13时，− t2+t+ =− ×（2−√13）2+2−√13+ =√13−2，
2 2 2 2
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1 9 1 9
当t＝2+√13时，− t2+t+ =− ×（2+√13）2+2+√13+ =−√13−2，
2 2 2 2
∴P点坐标为（2−√13，√13−2）或（2+√13，−√13−2）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理
解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
9．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长
存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：
【问题探究】
（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m＝10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形
的长与宽；如果不存在，请你说明理由．
4
（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y= (x＞0)，从矩形的周长为10可得到y
x
与x的函数关系式为： y ＝ 5 ﹣ x ，将满足要求的（x，y）可以看成这两个函数图象在第一象限
内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 （ 1 ， 4 ）或（ 4 ， 1 ） ，即当矩形面积为4周长
是10时，这样的矩形是存在的．
（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 m ≥ 8 ．
【拓展应用】
4
（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y= (x＞0)的图象G经过点A
x
1
（4，1），直线l：y= x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的
4
部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图
5 7 11
象请直接写出b的取值范围 − ≤ b ＜﹣ 1 或 ＜b≤ ．
4 4 4
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【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；压轴题；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；
（2）y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）；
（3）m≥8；
5 7 11
（4）− ≤b＜﹣1或 ＜b≤ ．
4 4 4
{x+ y=5
【分析】（1）根据矩形的周长和面积可得 ，解方程组即可求得答案；
xy=4
（2）根据矩形的周长公式可得y＝5﹣x，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出
答案；
4 1
（3）由题意得：函数y= （x＞0）和y= m﹣x（0＜x＜m）有交点，即方程2x2﹣mx+8＝0有实
x 2
数根，利用根的判别式即可求得答案；
（4）画出图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下：
当矩形周长m＝10时，x+y＝5，
∵矩形面积S＝4，
∴xy＝4，
{x+ y=5
联立得 ，
xy=4
{x =1 {x =4
1 2
解得： （舍去）， ，
y =4 y =1
1 2
∴矩形的长为4，宽为1；
（2）由矩形的周长为10，得：2（x+y）＝10，
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∴y＝5﹣x，
4
在同一坐标系中画出函数y= （x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象，如图1，
x
4
观察图象可知：函数y= （x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象有2个交点（1，4）或（4，
x
1），故这样的矩形存在．
故答案为：y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）；
4 1
（3）当矩形的面积为4，周长为m时，函数y= （x＞0）和y= m﹣x（0＜x＜m）有交点，
x 2
4 1
∴ = m﹣x即2x2﹣mx+8＝0有实数根，
x 2
∴Δ＝m2﹣64≥0，
∴m≥8或m≤﹣8（舍去），
故答案为：m≥8；
（4）如图2，
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1
当直线y= x+b经过（0，﹣1）时，区域内部有3个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0），
4
此时，b＝﹣1，
1
当直线y= x+b经过（1，﹣1）时，区域内部有4个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0），
4
（4，0），
1
此时，﹣1= +b，
4
5
∴b=− ，
4
5
∴当区域W内恰好有4个整点时，− ≤b＜﹣1；
4
1
当直线y= x+b经过（1，2）时，区域内部有3个整数点（1，1）、（2，1）、（3，1），
4
1
此时，2= +b，
4
7
∴b= ，
4
1
当直线y= x+b经过（1，3）时，区域内部有 4个整数点（1，1）、（2，1）、（3，1），
4
1
（1，2），此时，3= +b，
4
11
∴b= ，
4
7 11
∴当区域W内恰好有4个整点时， ＜b≤ ；
4 4
5 7 11
故答案为：− ≤b＜﹣1或 ＜b≤ ．
4 4 4
【点评】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，
矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键．
10．【建立模型】
（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直
线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明
过程：
【类比迁移】
（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题；
如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段
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k
AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数y= 的图象经过点B，请你求出反比例函数
x
的解析式；
【拓展延伸】
（3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：
如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第
一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小
组的同学一起求出点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；
推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可；
（2）过点B作BG⊥x轴于点G，则∠CGB＝∠AOC＝90°，由旋转得：AC＝CB，∠ACB＝90°，
利用AAS可证得△ACO≌△CBG，得出OA＝CG，OC＝BG，OG＝OC+CG＝1+3＝4，进而求得
k
B（4，1），代入y= ，即可求得答案；
x
（3）过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，则
∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°，证得△ACO≌△CEF（AAS），得出E（4，1），运用待定系数
1
法可得直线AE的解析式为y=− x+3，联立方程组即可求得答案．
2
【解答】（1）证明：如图1，
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∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图2，过点B作BG⊥x轴于点G，
则∠CGB＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，
∵将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，
∴AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCG＝90°，
∴∠CAO＝∠BCG，
∴△ACO≌△CBG（AAS），
∴OA＝CG，OC＝BG，
∵直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点C，
∴A（0，3），C（1，0），
∴OA＝3，OC＝1，
∴CG＝3，BG＝1，
∴OG＝OC+CG＝1+3＝4，
∴B（4，1），
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k k
将B（4，1）代入y= ，得1= ，
x 4
∴k＝4，
4
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（3）如图3，过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点
F，
则∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝∠ACO+∠ECF＝90°，
∴∠CAO＝∠ECF，
∴△ACO≌△CEF（AAS），
∴OA＝CF＝3，OC＝EF＝1，
∴OF＝OC+CF＝1+3＝4，
∴E（4，1），
{4k+b=1
设直线AE的解析式为y＝kx+b，将E（4，1），A（0，3）代入得： ，
b=3
{ 1
k=−
解得： 2，
b=3
1
∴直线AE的解析式为y=− x+3，
2
{ 1
y=− x+3
联立方程组得 2 ，
y=−x2+2x+3
5
{x =
{x =0 2 2
1
解得： （舍去）， ，
y =3 7
1 y =
2 4
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5 7
∴点P的坐标为（ ， ）．
2 4
【点评】本题是反比例函数和二次函数综合题，考查了待定系数法，旋转变换的性质，全等三角
形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，本题涉及知识点较多，综
合性较强，是常考的中考数学压轴题．
{ ax+b(x≥0)
11．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y = 的函数称为一次函
−ax+b(x＜0)
数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C
（﹣3，2），D（﹣3，0）．
（1）已知函数y＝2x+1．
①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝ 3 ．
1 1
②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 （ ， 2 ）或（ − ， 2 ）
2 2
．
（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是
1 ＜ k ＜ 3 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；数形结合；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即可求解；②一次函数的衍生函数图
象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，
故答案为3；
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②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上，
1
当y＝2时，2x+1＝2，解得：x= ，
2
1
当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x=− ，
2
1 1
故答案为（ ，2）或（− ，2）；
2 2
（2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，
当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1，
k＞0，取k＝1
当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
同理k＝3，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜3．
【点评】本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分
类求解，避免遗漏．
12．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算
距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O ，O 的连线叫做基线，距离为t，基线
1 r
与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双
目相机中，内置的不变参数），两投影中心O ，O 分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据
1 r
光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P ，P 表示d ，d 分别
1 r 1 2
是左、右成像点到各投影面左端的距离．
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材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d ﹣d |．
1 2
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、
右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O P E∽△PO H，
1 1 1
△OPF∽△POH，
r r r
f EP FP
可得， = l = r ，
z O H O H
l r
f EP +FP
所以， = l r （依图）…
z O H+O H
l r
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 比例的性质 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f
为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为
800
z= ．
d
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物
体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，
当M刚好进入感应区时，d ＝0.05mm，当M刚好经过点O 的正上方时，视差d＝0.02mm，在整
1 r
1
个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d 的 时，开始变大．
1 3
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，
1 4
则该抛物线的表达式为 y=− x 2 + x +40 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝
50 5
1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）作图见解答；
800
（2）比例的性质；z= ．
d
1 4
（3）①y=− x2+ x+40．
50 5
②距离基线的高度为16√5．
【分析】（1）连接O B和OC，交于一点后延长，交点上方的部分为感应区；
1 r
f d
（2）观察材料3的推导公式可以得到依据为比例的性质，根据材料三可得： = ，将f＝
z O O
1 r
800
4，O O＝200代入，可得z= ；
1 r d
（3）①由题意得抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），抛物线的顶点坐标为（20，48），设抛
物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将 （﹣20，16），（0，40）代入即可求得答案；
4
{ y= x
5
②联立方程组得： ，解方程组即可求得距离基线的高度为16√5．
1 4
y=− x2+ x+40
50 5
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【解答】解：（1）感应区边界和感应区如图所示，
f EP FP
（2）在材料三中，由 = l = r ，
z O H O H
l r
f EP +FP
得： = l r （依据：比例的性质）；
z O H+O H
l r
f d
=
根据材料三可得： ，
z O O
1 r
4 d
∴ = ，
z 200
800
∴z= ，
d
800
故答案为：比例的性质；z= ．
d
（3）①如图，M刚好进入感应区时，d ＝0.05，d ＝0，此时d＝d ﹣d ＝0.05，
1 2 1 2
800
此时，z= =16000（mm）＝16（m），
0.05
∵投影面CD长为10mm，f＝4mm，
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4
∴OP所在直线解析式为y=− x，令y＝16，得x＝﹣20，即，P（﹣20，16）．
5
当M经过点O 的正上方时，视差d＝0.02，
r
800
此时z= =40000(mm)=40(m)，
0.02
即抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），
1
当d减小到上述d 的 时，z＝3×16＝48（m），之后d开始变大，z开始变小，
1 3
即抛物线顶点的纵坐标为48．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将（﹣20，16），（0，40）代入得，
400a−20b+c=16
{
c=40
，
4ac−b2
=48
4a
4 12
解得：b = ，b =− ，
1 5 2 5
∵a＜0，对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
4
∴b= ，
5
1
∴a=− ，
50
1 4
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+40，
50 5
1 4
故答案为：y=− x2+ x+40．
50 5
4
{ y= x
4 5
②由于直线OD的解析式为y= x，联立方程组得： ，
5 1 4
y=− x2+ x+40
50 5
解得：x ＝20√5，x ＝﹣20√5（舍去），
1 2
4
∴y= ×20√5=16√5，
5
故距离基线的高度为16√5．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数的综合
运用，运用待定系数法求出二次函数表达式是解决本题的关键．
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13．定义：在平面直角坐标系xOy中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中P（x ，y ），Q（x ，
1 1 2
y ）．若x +y ＝x +y ，则称点Q为点P的“等和点”．
2 1 1 2 2
（1）如图1，已知点P（2，1），求点P在直线y＝x+1上“等和点”的坐标；
（2）如图2， A的半径为1，圆心A坐标为（2，0）．若点P（0，m）在 A上有且只有一个
“等和点”，求⊙m的值； ⊙
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，当
1 2
W ，W 两部分组成的图象上恰有点P（0，m）的两个“等和点”，请直接写出 m的取值范围．
1 2
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（1，2）；
（2）m的值为2+√2或2−√2；
9
（3）−√2＜m＜√2或m＞ ．
4
【分析】（1）运用新定义“等和点”即可求得答案；
（2）根据“等和点”定义得：x+y＝0+m，即y＝﹣x+m，由点P（0，m）在 A上有且只有一个
“等和点”，可得直线y＝﹣x+m与 A相切，再证得△OFG是等腰直角三角⊙形，得出∠AGB＝
45°，进而推出△ABG是等腰直角三角⊙形，△ACD是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的翻折后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，设点P
（0，m）在W ，W 两部分组成的图象上“等和点”的坐标为（x，y），由题意得x2﹣（4m+1）
1 2
9
x+4m2+m﹣2＝0，利用一元二次方程根的判别式可得m= ，结合题意可得当−√2＜m＜√2或m
4
9
＞ 时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
4 1 2
【解答】解：（1）设点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（a，a+1），
根据“等和点”定义得：a+a+1＝2+1，
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解得：a＝1，
∴点P（2，1）在直线y＝x+1上“等和点”的坐标为（1，2）；
（2）设点P（0，m）在 A上“等和点”的坐标为（x，y），
根据“等和点”定义得：⊙x+y＝0+m，即y＝﹣x+m，
∴点P（0，m）的“等和点”在直线y＝﹣x+m上，
∵点P（0，m）在 A上有且只有一个“等和点”，
∴直线y＝﹣x+m与⊙ A相切，
如图，A（2，0），⊙且 A的半径为1，
⊙
则AB＝AC＝1，∠ABG＝∠ACD＝90°，
当直线y＝﹣x+m与BF重合时，G（m，0），F（0，m），
∴OF＝OG＝m，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∴∠AGB＝45°，
∵BF与 A相切，
∴半径A⊙B⊥BF，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG=√2，
∴m＝2+√2；
当直线y＝﹣x+m与CE重合时，D（m，0），E（0，m），
同理可得：△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=√2，
∴m＝2−√2；
综上所述，m的值为2+√2或2−√2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的翻折后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
设点P（0，m）在W ，W 两部分组成的图象上“等和点”的坐标为（x，y），
1 2
由题知：x+y＝m，
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∴点P的“等和点”在直线y＝﹣x+m上，
{ y=−x+m
联立方程组得 ，
y=−(x−2m) 2+2
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2+m﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2+m﹣2）＝0，
9
解得：m=− ，
4
{y=−x2+2
联立方程组 ，
y=−x+m
整理得：x2﹣x+m﹣2＝0，
Δ＝1﹣4（m﹣2）＝0，
9
解得：m= ，
4
9
当m＞ 时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x+m有两个交点，此时y＝﹣x+m与y＝﹣x2+2有两个
4
交点，
9
∴当m＞ 时，W ，W 两部分组成的图象上恰有两个“等和点”，
4 1 2
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2（x≤m）与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x+m上时，
则﹣m2+2＝﹣m+m，
解得：m=−√2或m=√2，
当m=−√2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有1个“等和点”，如图，
1 2
当m=√2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有3个“等和点”，如图，
1 2
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∴当m＜√2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等和点”，
1 2
∴当−√2＜m＜√2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等和点”，
1 2
9
综上所述，当−√2＜m＜√2或m＞ 时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．
4 1 2
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，圆
的切线的判定和性质，一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是理解并应用新定义“等和
点”．
14．【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
1 3
如图1，二次函数y=− x2+ x+2的图象C 交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC
2 2 1
1 3
的中点，二次函数y＝ax2+bx+c与y=− x2+ x+2是“异b族二次函数”，其图象C 经过点
2 2 2
D．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C 于E，F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF
1
的解析式；
（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N，连接
1 2
MC，NC，当△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
1 1
【答案】（1）y=− x2+ x+2；
2 2
1 7
（2）y=− x+ ；
2 2
（3）点P的坐标为（1，0）或（2，0）或（3，0）．
【分析】（1）先求得B（4，0），C（0，2），再求得BC的中点D（2，1），将D（2，1）代
1
入y=− x2+bx+2，即可求得答案；
2
（2）方法一：根据题意可得抛物线C 可以由抛物线C 向右移动1个单位，再向上移动1个单位
1 2
得到，再根据平行四边形性质可得F（1，3），E（3，2），运用待定系数法即可求得直线EF的
1 3 1
解析式；方法二：设点 F（m，− m2+ m+2），根据平行四边形性质可得点 E（m+2，− m2
2 2 2
3 1 3
+ m+1），代入y=− x2+ x+2，即可求得E、F的坐标，运用待定系数法即可求得直线EF的
2 2 2
解析式；
1 3 1 1
（3）设P（x，0），则M（x，− x2+ x+2），N（x，− x2+ x+2），利用两点间距离公式得
2 2 2 2
1 3 1 1 1 3
出MN2＝[（− x2+ x+2）﹣（− x2+ x+2）]2＝x2，CM2＝（x﹣0）2+（− x2+ x+2﹣2）2
2 2 2 2 2 2
1 3 13 1 1 1 1 5
= x4− x3+ x2，CN2＝（x﹣0）2+（− x2+ x+2﹣2）2= x4− x3+ x2，分三种情况：当
4 2 4 2 2 4 2 4
CM＝CN时，当CM＝MN时，当MN＝CN时，分别建立方程求解即可得出答案．
1 3
【解答】解：（1）在y=− x2+ x+2中，令x＝0，得：y＝2，
2 2
∴C（0，2），
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1 3
令y＝0，得− x2+ x+2＝0，
2 2
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴BC的中点D的坐标是（2，1），
1 3
∵二次函数 y＝ax2+bx+c与y=− x2+ x+2是“异b族二次函数”，
2 2
1
∴a=− ，c＝2，
2
1
将D（2，1）代入y=− x2+bx+2，得：1＝﹣2+2b+2，
2
1
解得：b= ，
2
1 1
∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）方法一：
1 3 1 3 25
∵抛物线C ：y=− x2+ x+2=− （x− ）2+ ，
1 2 2 2 2 8
1 1 1 1 17
抛物线C ：y=− x2+ x+2=− （x− ）2+ ，
2 2 2 2 2 8
3 25 1 17
∴抛物线C 的顶点为（ ， ），抛物线C 的顶点为（ ， ），
1 2 8 2 2 8
1 3 1 1
∵抛物线C ：y=− x2+ x+2与抛物线C ：y=− x2+ x+2的a值相同，
1 2 2 2 2 2
∴抛物线C 可以由抛物线C 向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，
1 2
∵四边形CDEF为平行四边形，C（0，2），D（2，1），
∴F（1，3），E（3，2），
设直线EF的解析式为y＝kx+n，
{k+n=3
将F（1，3），E（3，2）代入y＝kx+n得： ，
3k+n=2
1
{k=−
2
解得： ，
7
n=
2
1 7
∴直线EF的解析式为：y=− x+ ；
2 2
方法二：
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1 3
设点F（m，− m2+ m+2），
2 2
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∵C（0，2），D（2，1），
1 3
∴点E的坐标为E（m+2，− m2+ m+1），
2 2
1 3 1 3
将点E（m+2，− m2+ m+1）代入y=− x2+ x+2，
2 2 2 2
1 3 1 3
得：− (m+2) 2+ (m+2)+2=− m2+ m+1，
2 2 2 2
解得：m＝1，
∴F（1，3），E（3，2），
1 7
同理可得：直线EF的解析式为：y=− x+ ；
2 2
1 3 1 1
（3）设P（x，0），则M（x，− x2+ x+2），N（x，− x2+ x+2），
2 2 2 2
∵C（0，2），
1 3 1 1
∴MN2＝[（− x2+ x+2）﹣（− x2+ x+2）]2＝x2，
2 2 2 2
1 3 1 3 13
CM2＝（x﹣0）2+（− x2+ x+2﹣2）2= x4− x3+ x2，
2 2 4 2 4
1 1 1 1 5
CN2＝（x﹣0）2+（− x2+ x+2﹣2）2= x4− x3+ x2，
2 2 4 2 4
1 3 13 1 1 5
当CM＝CN时， x4− x3+ x2= x4− x3+ x2，
4 2 4 4 2 4
解得：x＝0（舍去）或x＝2，
∴P（2，0）；
1 3 13
当CM＝MN时， x4− x3+ x2＝x2，
4 2 4
解得：x＝0（舍去）或x＝3，
∴P（3，0）；
1 1 5
当MN＝CN时，x2= x4− x3+ x2，
4 2 4
解得：x＝0（舍去）或x＝1，
∴P（1，0）；
综上所述，当△MNC为等腰三角形时，点P的坐标为（1，0）或（2，0）或（3，0）．
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【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰三
角形性质，两点间距离公式等，理解并应用新定义“异b族二次函数”是解题关键．
15．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值
点”的坐标；如果不存在，说明理由；
3
（2）设函数y= （x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点 A，B，过点B作BC⊥x轴，
x
垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，当W ，
1 2 1
W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
2
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）b的值为﹣2√3或4√3；（3）m
9
＜− 或﹣1＜m＜2．
8
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
3
（2）先根据“等值点”的定义求出函数 y= （x＞0）的图象上有两个“等值点”A（√3，√3
x
1 1 1 1 1
），同理求出B（ b， b），根据△ABC的面积为3可得 × |b|×|√3− b|＝3，求解即可；
2 2 2 2 2
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的
性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
3 3
（2）在函数y= （x＞0）中，令x= ，
x x
解得：x=√3，
∴A（√3，√3），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
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1
解得：x= b，
2
1 1
∴B（ b， b），
2 2
∵BC⊥x轴，
1
∴C（ b，0），
2
1
∴BC= |b|，
2
∵△ABC的面积为3，
1 1 1
∴ × |b|×|√3− b|＝3，
2 2 2
当b＜0时，b2﹣2√3b−24＝0，
解得b＝﹣2√3，
当0≤b＜2√3时，b2﹣2√3b+24＝0，
∵Δ＝（﹣2√3）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣2√3b+24＝0没有实数根，
当b≥2√3时，b2﹣2√3b−24＝0，
解得：b＝4√3，
综上所述，b的值为﹣2√3或4√3；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x ＝﹣1，x ＝2，
1 2
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W ，W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
1 2
W ：y＝x2﹣2（x≥m），
1
W ：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
2
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W 的图象上不存在“等值点”，
2
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
9
∴m＜− ，
8
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
1 2
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④当m＝2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
1 2
⑤当m＞2时，W ，W 两部分组成的图象上没有“等值点”，
1 2
9
综上所述，当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜− 或﹣1＜m＜2．
1 2 8
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次
方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思
想解决问题．
16．定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直
线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函
数l′的图象记作F ，函数l的图象未翻折的部分记作F ，图象F 和F 合起来记作图象F．
1 2 1 2
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜
1）．
1
（1）如图，函数l的解析式为y=− x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ y
2
1
= x ﹣ 4 （ x ＜﹣ 1 ） ．
2
3
（2）函数l的解析式为y=− ，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
x
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合
函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的
取值范围（直接写出结果）．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识；创新意识．
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1
【答案】（1）y= x﹣4（x＜﹣1）．
2
3 3
（2）该点的横坐标为 或− ；
2 2
5 17
（3）①2−√3＜m≤1， ＜m≤2+√3或5＜m≤ ；
2 2
②5−√11≤m≤4．
【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：
当F 经过点（m，2）时，当F 经过点（m，2）时，当F 经过点A（0，2）时，当F 经过点B
2 1 1 1
（6，2）时，综合得出结论即可；
②由 n 的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线 x＝2，可得出 m≤2，再由 m﹣
2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
1
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y=− x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得
2
函数l′的解析式为y＝kx+b，
1
在y=− x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称
2
点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
{−2k+b=−5
得： ，
−4k+b=−6
{ 1
k=
解得： 2 ，
b=−4
1
∴函数l′的解析式为y= x﹣4（x＜﹣1）．
2
3
{ (x＜0)
x
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y = ，
3
− (x＞0)
x
3 3
当y＝﹣2时，− =−2， =−2，
x x
3 3
解得：x= ，x=− ，
2 2
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3 3
∴该点的横坐标为 或− ；
2 2
{ x2−4x+3(x≥m)
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y= ，
−(x−2) 2+2m+1(x＜m)
当F 经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
2
解得：m＝x＝2±√3；
当F 经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
1
解得：m＝1或5；
当F 经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
1
5
解得：m= ；
2
当F 经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
1
17
解得：m= ；
2
随着m的增大，图象F 的左端点先落在AB上（两个交点），F 的端点落在AB上（一个交点），
2 1
图象F 经过点A（两个交点），图象F 的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F 的端点落
1 2 1
在AB上（无交点），图象F 经过点B（一个交点），
1
5 17
∴m的取值范围为：2−√3＜m≤1， ＜m≤2+√3或5＜m≤ ．
2 2
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m﹣2≤2，
∴m≤4，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m ＝5−√11，m ＝5+√11，
1 2
∴5−√11≤m≤4．
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【点评】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点
个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并
熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为
一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 为函数y＝x﹣1的轴点函数．
（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的
1
另一交点为点B．若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的
2
正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上
1
方作矩形MNDE．若函数y= x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形
2
MNDE的边上，求n的值．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①；
（2）b＝5或﹣3；
1
（3）n的值为1或−√2−1或 ．
4
【分析】（1）根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
（2）由题意得A（﹣c，0），ac2﹣bc+c＝0，即b＝ac+1，得出y＝ax2+（ac+1）x+c，设B
c 1 1 1 1
（x′，0），则x′（﹣c）= ，得出B（− ，0），再由OB= OA，可得| |= c，即ac＝
a a 4 a 4
±4，即可求得b的值；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），D（t，2t），E（﹣2t，2t），分三种
情况：当 m＞0 时，轴点函数 y＝mx2+nx+t 的顶点 P 与点 M 重合，即 P（﹣2t，0），可得
{n2−4mt=0
n ，整理得n2﹣n＝0，可得n＝1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE
− =−2t
2m
{4mt2−2nt+t=0
边上，即P（x，2t），可得 4mt−n2 ，消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，可得n=−√2−1；
=2t
4m
{4mt2−2nt+t=0
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），可得 n ，
− =t
2m
1
进而求得n= ．
4
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣
1），
函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），
∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，
故答案为：①；
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（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
c
则x′（﹣c）= ，
a
1
∴x′=− ，
a
1
∴B（− ，0），
a
1
∴OB＝| |，OA＝c，
a
1
∵OB= OA，
4
1 1
∴| |= c，
a 4
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
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{n2−4mt=0
∴ n ，
− =−2t
2m
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
{4mt2−2nt+t=0
∴ 4mt−n2 ，
=2t
4m
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n =√2−1，n =−√2−1，
1 2
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n=−√2−1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
{4mt2−2nt+t=0
∴ n ，
− =t
2m
1
∴n= ，
4
1
综上所述，n的值为1或−√2−1或 ．
4
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【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形
的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
18．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分
别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段
AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
1
与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=
3
，若存在，求出点M的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
1
（2）①C（﹣4，1）；②y= x+3；
2
1 14 4
（3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ= ，点M的横坐标为− 或− ．
3 13 11
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，利用同角的余角相等可得∠A＝
∠EBD，再利用AAS即可证明△ACB≌△BDE；
（2）①先求得 A（0，3），B（﹣1，0），过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，则∠BGC＝90°＝
∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO（AAS），得出BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，OG＝OB+BG＝
4，即可求得点C的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）先求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），分两种情况：当点M在x轴上方时，当
点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特
殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
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【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
{∠ACB=∠BDE
∠A=∠EBD ，
AB=BE
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC＝90°＝∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBG＝90°，
∴∠BCG＝∠ABO，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，
∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，
∴C（﹣4，1）；
{−4k+b=1
②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，
b=3
{ 1
k=
解得： 2，
b=3
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1
∴直线AC的解析式为y= x+3；
2
1
（3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ= ．
3
∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作
FG⊥x轴于点G，
则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，∠OBQ+∠FBG＝90°，
∴∠OQB＝∠FBG，
∴△OBQ∽△GFB，
FG BG BF
∴ = = ，
OB OQ BQ
BF 1
∵tan∠BQF＝tan∠MBQ= = ，
BQ 3
FG BG 1
∴ = = ，
4 1 3
4 1
∴FG= ，BG= ，
3 3
13 4
∴F（ ，− ），
3 3
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{13 4
m+n=−
设直线FQ的解析式为y＝mx+n，则 3 3，
n=−1
{ 1
m=−
解得： 13，
n=−1
1
∴直线FQ的解析式为y=− x﹣1，
13
∵BM∥QF，
1 4
∴设直线BM的解析式为y=− x+d，把B（4，0）代入，得− +d＝0，
13 13
4
解得：d= ，
13
1 4
∴直线BM的解析式为y=− x+ ，
13 13
{ 1 4
y=− x+
联立得 13 13，
y=x2−3x−4
14
{x =−
1 13 {x =4
2
解得： ， （舍去），
66 y =0
y = 2
1 169
14 66
∴M（− ， ）；
13 169
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°，
1
∵tan∠MBQ= ，
3
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EQ 1
∴ =tan∠MBQ= ，
BQ 3
1 √17
∴EQ= BQ= ，
3 3
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
EF QF EQ EF QF 1
∴ = = ，即 = = ，
OQ OB BQ 1 4 3
1 4
∴EF= ，QF= ，
3 3
4 7
∴OF＝OQ+QF＝1+ = ，
3 3
1 7
∴E（ ，− ）；
3 3
{
4m′+n′=0
设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则 1 7，
m′+n′=−
3 3
7
{m′=
11
解得： ，
28
n′=−
11
7 28
∴直线BM的解析式为y= x− ，
11 11
{ 7 28
y= x−
联立，得 11 11 ，
y=x2−3x−4
4
{ x =−
{x =4 2 11
1
解得： （舍去）， ，
y =0 336
1 y =−
2 121
4 336
∴M（− ，− ）；
11 121
1 14 4
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ= ，点M的横坐标为− 或− ．
3 13 11
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形
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的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握
三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和
数形结合思想是解题的关键．
19．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … 5 ﹣2 3 ﹣1 1 0 1 1 3 2 5 …
− − −
2 2 2 2 2 2
y … 5 0 3 m 3 0 3 2 3 0 5 …
− −
2 2 2 2 2 2
其中，m＝ 2 .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的
一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB ＝3
时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点
A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行 y轴的直线l分别交线段
OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否
为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）2；图象见解答，该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而
增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
3 3 1 3 3 3 1 3
（2）所有满足条件的点F的坐标为（− ， ）或（− ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（﹣
2 2 2 2 2 2 2 2
√7 3 √7 3
1− ，− ）或（1+ ，− ）；
2 2 2 2
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（3）PM+PN=√17为定值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入y＝﹣2|x|2+4|x|即可求得m＝2，运用描点法画出y＝﹣2|x|2+4|x|（x＜
0）部分的图象，观察图象描述性质即可；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，根据S△FAB ＝3，可求得点F的纵坐标，
代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得：直线OP的表达式为y＝4x①，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
1
由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线l的表达式为y＝tx+ （t﹣4）2③，联立方程组可
8
1 1
求得：x =− （t﹣4），x =− （t﹣12），再运用解直角三角形即可求得答案．
M 8 N 8
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大
当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB ＝3，
1
∴ ×4|y |＝3，
2 F
3
∴y ＝± ，
F 2
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3 3
当y = 时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x= ，
F 2 2
3 1
解得：x=− 或− ，
2 2
3
若x≥0，则﹣2x2+4x= ，
2
3 1
解得：x= 或 ，
2 2
3 3 1 3 3 3 1 3
∴F（− ， ）或（− ， ）或（ ， ）或（ ， ）；
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
当y =− 时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=− ，
F 2 2
√7 √7
解得：x＝﹣1− 或x＝﹣1+ （舍去），
2 2
3
若x≥0，则﹣2x2+4x=− ，
2
√7 √7
解得：x＝1− （舍去）或x＝1+ ，
2 2
√7 3 √7 3 √7 3 √7 3
∴F（﹣1+ ，− ）或（﹣1− ，− ）或（1− ，− ）或（1+ ，− ）；
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 1 3 3 3 1 3
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（− ， ）或（− ， ）或（ ， ）或（ ， ）
2 2 2 2 2 2 2 2
√7 3 √7 3
或（﹣1− ，− ）或（1+ ，− ）；
2 2 2 2
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
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∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
1
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n= （t﹣4）2，
8
1
故直线l的表达式为y＝tx+ （t﹣4）2③，
8
1
联立①③并解得x =− （t﹣4），
M 8
1
同理可得，x =− （t﹣12），
N 8
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝ ，
α
OQ 1 1
= = = =
则sin∠APQ＝sin∠OPQ sin ，
OP √12+42 √17
α
1−x x −1
∴PM+PN= M + N =√17（x ﹣x ）=√17为定值．
N M
sinα sinα
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标
的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，
利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
20．如图1，过抛物线y＝ax2上一点A（1，2）作AB∥x轴交抛物线于点B，延长AB到点D，使BD
＝1，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，求tanA的值．
【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量
法研究该题，并发现：
①只改变点A在抛物线上的位置，tanA的值不变化；
②只改变a的大小或只改变BD的长，tanA的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究该题，
并提出如下问题：
过抛物线y＝ax2（a＞0）上一点A（m，am2）（m＞0）作射线AB∥x轴交抛物线于点B，在射线
AB上取一点D，使BD＝b，过点D作CD⊥AD交抛物线于点C，连接AC，如图1和图2，请选
择图1或图2，求tanA的值．（用含a、b的代数式表示）
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【拓展延伸】如图3，在抛物线y＝ax2（a＞0）上任取一点A，过点A作射线AB∥x轴交抛物线
于点B，在射线AB上点B的左右两侧各有一个动点D、E，分别过D、E作AB垂线交抛物线于
C、F，EF交AC于点G，连接BC、BG、BF、DF、AF，则△BCD、△BEG、△BDF、△BEF中
有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；应用意识．
【答案】tanA的值为2．
【举一反三】tanA的值为ab．
【拓展延伸】S△BDF ＝S△BEG ，证明见解答．
【分析】利用待定系数法可得y＝2x2，得出AD＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝8﹣2＝6，再运用三角函
数定义即可求得答案；
【举一反三】分两种情况：当点D在线段AB的延长线上时，当点D在线段AB上时，运用三角
函数定义即可求得答案；
【拓展延伸】设A（m，am2）（m＞0），BD＝b，则B（﹣m，am2），D（﹣m﹣b，am2），E
（n，am2），可得C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），F（n，an2），再利用待定系数法可得直线AC
的解析式为y＝﹣abx+am2+abm，进而可得G（n，﹣abn+am2+abm），再运用三角形面积公式即
可．
【解答】解：∵点A（1，2）过抛物线y＝ax2，
∴a＝2，
∴y＝2x2，
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∵AB∥x轴，
∴B（﹣1，2），
∵BD＝1，CD⊥AD，
∴D（﹣2，2），C（﹣2，8），
∴AD＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝8﹣2＝6，
CD 6
∴tanA= = =2．
AD 3
【举一反三】∵A（m，am2）（m＞0），射线AB∥x轴，
∴B（﹣m，am2），
当点D在线段AB的延长线上时，如图1，
则D（﹣m﹣b，am2），
∵CD⊥AD，
∴C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），
∴AD＝m﹣（﹣m﹣b）＝2m+b，CD＝am2+2abm+ab2﹣am2＝2abm+ab2，
CD 2abm+ab2
∴tanA= = =ab；
AD 2m+b
当点D在线段AB上时，如图2，
则D（﹣m+b，am2），
∵CD⊥AD，
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∴C（﹣m+b，am2﹣2abm+ab2），
∴AD＝m﹣（﹣m+b）＝2m﹣b，CD＝am2﹣（am2﹣2abm+ab2）＝2abm﹣ab2，
CD 2abm−ab2
∴tanA= = =ab；
AD 2m−b
综上所述，tanA的值为ab．
【拓展延伸】S△BDF ＝S△BEG ．理由如下：
设A（m，am2）（m＞0），BD＝b，则B（﹣m，am2），D（﹣m﹣b，am2），E（n，am2），
∴C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2），F（n，an2），
设直线AC的解析式为y＝kx+t，把A（m，am2），C（﹣m﹣b，am2+2abm+ab2）代入，得：
{ mk+t=am2
，
(−m−b)k+t=am2+2abm+ab2
{ k=−ab
解得： ，
t=am2+abm
∴直线AC的解析式为y＝﹣abx+am2+abm，
∴G（n，﹣abn+am2+abm），
∴EG＝abm﹣abn，EF＝am2﹣an2，CD＝2abm+ab2，BD＝b，BE＝n+m，
1 1 1 1 1
∴S△BDF =
2
BD•EF =
2
b（am2﹣an2）=
2
ab（m2﹣n2），S△BEG =
2
BE•EG =
2
（m+n）（abm﹣
1
abn）= ab（m2﹣n2），
2
故S△BDF ＝S△BEG ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，三角函数定义，
三角形面积，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
76
