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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（9）
1.设 若 ，则 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
2.某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿
色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.若 与 在区间 上都是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.设函数 （e为自然对数的底数），若 且 ，则下列结论一定不
成立的是( )
A. B.
C. D.
5.设函数 ，若不等式 在 上有解，则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.
6. （多选）已知函数 ，则下列结论中正确的是( )
A.函数 在 处取得最大值为
B.函数 有两个不同的零点
C.
D.若 在区间 上恒成立，则
7. （多选）若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点 处与曲线C相切；
②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，则下列命题中
正确的是( )
A.直线 在点 处“切过”曲线
B.直线 在点 处“切过”曲线
C.直线 在点 处“切过”曲线
D.直线 在点 处“切过”曲线
8.函数 （ 且 ）的图象经过的定点坐标为________________.
9.已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若当 时， ，则不等式
的解集是_________________.
10.已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间和函数 的最值；
（2）已知不等式 对任意的 恒成立，求实数a的取值范围.答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知，当 时，若 ，则 ，所以 ，则
；
当 时，若 ，则 ，显然无解.
综上可得 ，故选C.
2.答案：D
解析：设山区第一年绿色植被的面积为a，则 ，易知其定义域
为 ，值域为 ，且随x的增大，y增长的速度越来越快.故选D.
3.答案：D
解析：函数 的图象开口朝下，且以直线 为对称轴，
若在区间 上是减函数，则 ，
的图象由 的图象向左平移一个单位长度得到，
若在区间 上是减函数，则 ，
综上可得a的取值范围是 .故选D.
4.答案：B
解析：
利用绝对值的定义，把 化为分段函数.
当 时， 是增函数；当 时， 是减函数.
由 可知 ，或 .
当 时 ， ， ， 故 ，
.从而 ，此时A成立.
当 时 ， ， ， 故 ，
.
从而 ，此时C、D成立.
而B无论何种情况都不成立，故选B.
5.答案：C
解 析 ： 在 上 有 解 ，
在 上 有 解 . 令 ， 则
， 故 当 时 ， ， 当
时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故
，则实数a的最小值为 ，故选C.
6.答案：ACD
解析：由题意，得 .对于A，令 ，得 ；令 ，得
，所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 在
处取得最大值为 ，故A正确；对于B，令 ，得 ，故函数 有
一个零点，故B错误；对于C，因为 ，所以根据函数的单调性， ，
故C正确；对于D，函数 在区间 上恒成立，即 在区间
上恒成立.设 ，所以 .令 ，得 ；令，得 ，所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递
减，所以 ，所以 ，故D正确.故选ACD.
7.答案：AC
解析： 的导数为 ，得切线方程为 ，即x轴.当 时， ；当
时， ，所以直线 在点 处“切过”曲线 ，故A正确；由
的导数为 ，得切线方程为 ，且 的导数为 ，则当
时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增，所以 ，则
，故 B 错误； 的导数为 ，可得在点 处切线方程为
.由 和直线 可得切线穿过曲线，则直线 在点
处“切过”曲线 ，故C正确； 的导数为 ，可得在点 处切线方程
为 ，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递減，在区间 上单调递增，所以当 时，
，所以 ，故D错误.故选AC.
8.答案：
解析：因为 （ 且 ），所以在 中，取 ，解得 ，
故函数的图象过定点 .
利用对数特殊值解决过定点问题.
9.答案：解析：由题意设 ，则 .
当 时， 在 上单调递增.
是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数.
又 ，则 ，
不等式 等价于 ，
，解得 或 ，
不等式 的解集是 .
10.答案：（1） ， .
当 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，则 或 ；令 ，则
，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
.
，其定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
为 在 上的极小值，即最小值，
，无最大值.（2） 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
令 ， ，则 .
当 时， ， ，
， 在 上单调递减，
在 上的最小值为 ，符合题意.
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上的极小值为 ，
由（1）知 ，又 ， ，不符合题意.
综上，实数a的取值范围为 .
