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专题 16 圆锥曲线的标准方程与几何性质
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭
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圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
①当2a>|FF|时，M点的轨迹为椭圆；
1 2
②当2a＝|FF|时，M点的轨迹为线段FF；
1 2 1 2
③当2a<|FF|时，M点的轨迹不存在．
1 2
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
图形
性 范围 －a≤x≤a －b≤x≤b
－b≤y≤b －a≤y≤a
质
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点A(－a,0)，A(a,0)， A(0，－a)，A(0，a)，
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2
离心率
e＝ ，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
3、椭圆中的几个常用结论
（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为 ，过焦点最长弦为长轴．
（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
（3）与椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为 ＋ ＝1(λ＞－b2)．
（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x，y)与两焦点F，F 构成的△PFF 叫做焦点三角形．
0 0 1 2 1 2
若r＝|PF|，r＝|PF|，∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)中：
1 1 2 2 1 2 1 2
①当r＝r，即点P为短轴端点时，θ最大；
1 2
②S＝ |PF||PF|sin θ＝c|y|，当|y|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
1 2 0 0
③△PFF 的周长为2(a＋c)．
1 2
知识点2 双曲线
1、双曲线的定义
（1）平面内与两个定点F，F(|FF|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双
1 2 1 2
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
（2）集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
①当2a<|FF|时，M点的轨迹是双曲线；
1 2
②当2a＝|FF|时，M点的轨迹是两条射线；
1 2
③当2a>|FF|时，M点不存在．
1 2
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－ ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
性质
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
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渐近线
y＝± x y＝± x离心率
e＝ ，e∈(1，＋∞)
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a；
1 2 1 2
实、虚轴 线段BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；
1 2 1 2
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
系
3、双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
1 2 1min 2min
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 ，异支的弦中最短的为实轴，
其长为2a.
（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为
0，则直线PA与PB的斜率之积为 .
（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1 ，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则
，其中θ为∠F1PF2.
（6）等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b;e＝ ；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中
项．
（7）共轭双曲线
①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲
线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．
2、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点
F F F F
离心率 e＝1
准线方程
x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径
(其中P(x，y))
|PF|＝x
0
＋ |PF|＝－x
0
＋ |PF|＝y
0
＋ |PF|＝－y
0
＋
0 0
3、抛物线中的几何常用结论
（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2 p ，通径是过焦点最短的弦．
（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点 .
重难点01 求椭圆离心率及其范围的方法
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的
一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x ，y)为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)上一点，则|x|≤a，a－c≤|PF|≤a
0 0 0 1
＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关
系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关
系式，适用于题设条件直接有不等关系．
【典例1】（24-25高三上·四川巴中·模拟预测）已知 是椭圆 的左，右焦点，
A，B是椭圆C上的两点．若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·江西新余·月考）已知离心率为 的椭圆 中， 分别为的左、上顶点， 为其右焦点， 轴且 在 上（ 在第一象限），直线 交过 且垂直于
轴的垂线于 ，若 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点 是椭圆 上的点，以 为圆心的
圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
重难点02 求双曲线的离心率或其范围的方法
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由 ＝ ＝1＋ 直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等
式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，
能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝ ＝ ＝ ＝ ；当k<0时，k＝－ ＝－ ．
【典例1】（24-25高三上·江苏·月考）已知双曲线 ，点M在C上，过点M作C两条
渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【典例2】（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线 的右焦点F，
过点F作直线l交双曲线C于 两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G， ，且三点
共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．一、椭圆定义应用的类型及方法
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正
弦定理或余弦定理，其中|PF|＋|PF|＝2a两边平方是常用技巧；
1 2
3、求最值：抓住|PF|与|PF|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF|·|PF|的最值；
1 2 1 2
利用定义|PF|＋|PF|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
1 2
【典例1】（23-24高三下·广东江门·二模）已知圆 内切于圆 ，圆 内切于圆
，则动圆 的圆心的轨迹方程为 .
【典例2】（23-24高三上·四川内江·月考）已知椭圆 是左，右焦点， 是椭圆上第一
象限的点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知 ，P是椭圆 上的任意一点，则
的最大值为 .
二、求椭圆标准方程的2种常用方法
1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；
2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明
确，则需要分焦点在 x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．
【典例1】（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，焦距为 ，
则该椭圆的方程为（ ）A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高三上·江苏南京·零模）已知过椭圆 的左焦点 的直线与椭
圆交于不同的两点 ， ，与 轴交于点 ，点 ， 是线段 的三等分点，则该椭圆的标准方程是
（ ）
A． B． C． D．
三、椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点
坐标和斜率的关系，具体如下：直线 (不平行于 轴)过椭圆 ( )上两点 、 ，其中
中点为 ，则有 ．
证明：设 、 ，则有 ，
上式减下式得 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
特殊的：直线 (存在斜率)过椭圆 ( )上两点 、 ，线段 中点为 ，则有
．
【典例1】（23-24高三上·贵州黔东南·月考）已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以 为中点
的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．-4 D．4【典例2】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相
交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
四、双曲线定义的应用
1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立|
1 2
PF|与|PF|的关系．
1 2
【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【典例1】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为 右
支上一点， 为坐标原点， 为线段 的中点， 为线段 上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·广东湛江·月考）已知点 为双曲线 的左支上一点， 分别为
的左，右焦点，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线 的左右焦点分别为
，离心率为 为 上一点，且 ，若 的面积为 ，则 .
五、待定系数法求双曲线方程的五种类型
1、与双曲线 － ＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为 － ＝λ(λ≠0)；
2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝ x或y＝－ x，则可设双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0)；
3、与双曲线 － ＝1共焦点的双曲线方程可设为 － ＝1(－b2＜k＜a2)；
4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 － ＝1(mn＞0)或者 ＋ ＝1(mn＜0)；
5、与椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为 － ＝1(b2＜λ＜a2)．
【典例1】（23-24高三下·山东济南·三模）已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有
相同的渐近线，则双曲线 的标准方程为（ ）A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线 的两条渐近线均和圆
相切，且圆 的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
六、双曲线的中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可
以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【典例1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线l与双曲线 交于A、B两点，且弦 的中
点为 ，则直线l的方程为 ．
【典例2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段
的中点的是（ ）
A． B． C． D．
七、抛物线定义的应用
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．
即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋ ．
【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线 上与焦点距离等于3的点的横坐标是
．
【典例2】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且点
到直线 的距离为 ，则 .
【典例3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点 在抛物线 上， ，则该动点 到
点的距离与到 轴的距离之和的最小值为 .八、抛物线的标准方程的求法
1、定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方
程．标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨
论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求
解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方
程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
【典例1】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知抛物线 的焦点 关于其准线的对称点为 ，则抛
物线 的标准方程为 .
【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结
构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为
100m，且 ，则顶端 到桥面的距离为（ ）
A．50m B． C．55m D．
九、抛物线几何性质的应用技巧
1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口
方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦
长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这
是正确解题的关键．
【典例1】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线 的一条弦，且AB中点M在
上，则点A横坐标（ ）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值
【典例2】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）（多选）已知抛物线 ，过 的焦点
作直线 ，若 与 交于 两点， ，则下列结论正确的有（ ）A．
B．
C． 或
D．线段 中点的横坐标为
易错点1 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于 ．这种规定是为了避免出现两种特殊情
况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝
对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错．
【典例1】设定点 ， ，动点 满足条件 ，则动点 的轨迹是
（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在
【典例2】（23-24高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系 中，已知点
是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹为椭圆
B．若 ，则点 的轨迹为双曲线
C．若 ，则点 的轨迹为一条直线
D．若 ，则点 的轨迹为圆
易错点2 求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析
点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标
系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应
对参数进行讨论，“定量”则是指确定a、b 的值，常用待定系数法求解．
2 2
【典例1】若双曲线的渐近线方程是 ，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或【典例2】（24-25高三上·山东新泰·开学考试）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点 ，且与椭圆 有相同的焦点．
(2)经过两点 ， ．
易错点3 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
点拨：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：
①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；
②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。
在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错．
【典例1】（24-25高三上·广东·月考）记抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】（23-24高三下·陕西西安·一模）设 为抛物线C： 上的动点， 关于 的对称点
为 ，记 到直线 、 的距离分别 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
