北师大版七年级上数学知识点总结（pdf）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_07知识点总结

七 年 级 上 数 学 知 识 点 总 结 12第一章 丰富的图形世界 知识点一 常见的立体图形 棱柱：1.在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱；相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等；棱柱 的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。 2.一般根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们的底面图形的形状分别为三角 形、四边形、五边形、六边形……。 3.长方体、正方体都是四棱柱。 4.棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形。（本册只讨论直棱柱，简称棱柱） 圆柱：1.圆柱的底面是圆，侧面是一个曲的面。 2.圆柱是由长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周（即360°）而得到的。 3.圆柱的表面展开图是两个圆和一个长方形，它的侧面展开图是一个长方形。 棱锥：1.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （底面是多边形，侧面是三角形） 2.一般根据底面图形的边数将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……它们的底面图形的形状分别为三角 形、四边形、五边形、六边形……。 3圆锥：1.圆锥的底面是圆，侧面是一个曲的面。 2.圆锥是由直角三角形绕着它的直角边所在的直线旋转一周而得到的。 3.圆锥的表面展开图是一个圆和一个扇形，它的侧面展开图是一个扇形。 球：1.由一个曲的面围成的。 2.球是由半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而得到的。 常见的立体图形的分类 1.按柱体，锥体，球体分类 2.按有无曲面分类（有曲面，无曲面） 3.按有无顶点分类（有顶点，无顶点） 4几何图形的元素及其关系 图形是由点、线、面构成的。几何体简称体；包围着体的是面；面和面相交形成线；线和线相交形成点。 点动成线，线动成面，面动成体。 知识点二 正方体的平面展开图 立体图形是由面围成的，沿着立体图形的一些棱剪开，可以把立体图形展开成一个平面图形，同一个立体图形按 不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的。 以正方体的展开为例。正方体共有12条棱，要完全展开需要剪开7条棱。 正方体的展开图共有11种，分别如下： 第一类，1-4-1型，共6种。中间四个面，上下各一面 第二类，2-3-1型（或1-3-2型），共3种。中间三个面，一二隔河见 第三类，2-2-2型，只有1种。中间两个面，楼梯天天见 第四类，3-3型，只有一种。中间没有面，三三连一线 注：1.一线不过四，凹田应弃之。（即正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；也不会有“田” 字形、“凹”字形的形状） 2.相间的两个面是对面；“Z”字型两端是对面。 5知识点三 截一个几何体所得截面的形状 用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状。 正方体的截面：正方体只有六个面，截面最多有六条边，即截面的边数最多的是六边形。 正方体的截面形状有：三角形，四边形，长方形，正方形，五边形，六边形。 圆柱的截面形状有：圆，长方形，椭圆…… 圆锥的截面形状有：圆，三角形，椭圆…… 球的截面形状：圆。 知识点四 从三个方向看几何体的形状 从正面看（主视图），从左面看（左视图），从上面看（俯视图） 6从三个方向看的常见几何体的形状 知识点五 典型题（易错题） 例1 把一个圆柱的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是20πcm，宽是8cm，求圆柱的表面积和体积. 解：圆柱的侧面积=20π×8=160π cm2 4 ②当圆柱底面圆的周长为8cm时，半径为 cm ①当圆柱底面圆的周长为20πcm时，半径为10cm. 4 16 此时底面圆的面积= π×102 =100π（cm2） 此时底面圆的面积= ( )2 cm2 32 ∴圆柱表面积=160π+100π×2=360π（cm2） ∴圆柱表面积=(160 )cm2 ∴圆柱体积=100π×8=800π（cm3） 16 ∴圆柱体积=20 320cm3 例2 将一个长6cm，宽4cm的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周得到圆柱，求圆柱的表面积和体积. 解：①当以长方形的长所在直线旋转一周时，圆柱底面圆的半径为4cm 此时，底面圆的面积 42 16 cm2， 圆柱的侧面积 2 4 6 48 cm2 圆柱的体积=底面积×高 棱柱的体积=底面积×高 ∴圆柱的表面积 2 16 48 80 cm2 1 圆锥的体积= 底面积×高 圆柱的体积 16 6 96 cm3 3 1 棱锥的体积= 底面积×高 ②当以长方形的宽所在直线旋转一周时，圆柱底面圆的半径为6cm 3 此时，底面圆的面积 62 36 cm2， 圆柱的侧面积 2 6 4 48 cm2 ∴圆柱的表面积 2 36 48 120 cm2 圆柱的体积 36 4 144 7 cm3第二章 有理数及其运算 知识点一 正数、负数 1.定义 1 （1）正数：像1.3, 2,258, 这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。 2 1 （2）负数：像 5, 3 , 0.1这样在正数前加上“ ”的数叫负数，负数小于0。 4 2.正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的。 （2）具有相反意义的量的表述：描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与 减少，收入与支出等。 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量，而且是同类量。 （3）属性：0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界。规定：0是最小的自然数。 知识点二 有理数及其分类 整数和分数统称为有理数。 1.按有理数的定义分类： 正整数(如:1, 2, 3)   整数零(0)  负整数(如:1, 2, 3)   有理数 1 1  正分数(如: , , 5.3, 3.8)   分数    2 1 3 1    负分数(如: 2 ,  3 , 2.3, 4.8) 2.按有理数的性质分类： 3.知识延伸：正数和零称为非负数；负数和零称为非正数；正整数和零称为非负整数；负整数和零称为非正整数。 知识点三 数轴及其三要素 1.定义 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 注：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。 （2）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。 8（3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 2.数轴的画法 （1）画一条水平的直线； （2）在直线上选取一点为原点； （3）规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来； （4）根据需要，选取适当的长度为单位长度。 知识点四 相反数 1.定义 1 1 像2与-2，4与-4， 与 这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反 5 5 数。0的相反数是0。 2.相反数的性质 若a,b互为相反数，则a b 0；反之，若a b 0，则a,b互为相反数。 注：（1）相反数是成对出现的，不能单独存在； （2）求一个数的相反数只需要在这个数前面加上一个负号即可。 如：a的相反数是 a； a的相反数是 ( a) a。 3.相反数的几何意义 在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等。 知识点五 绝对值 1.定义 （1）在数轴上，表示数a的点与原点的距离，叫做这个数a的绝对值。数a的绝对值记作 a ，读作a的绝对值。 （2）在数轴上，表示数a的点与表示数b的点之间的距离为 a b ，即距离是这两个数差的绝对值。 如：数轴上，x与1的距离就是 x 1 ； 数轴上，x与 1的距离就是 x ( 1) x 1。 2.绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即，若a 0，则 a a； a,a 0 还可以写成这个形式： a 0,a 0 若a 0，则 a a；若a 0，则 a 0。 a,a 0 3.绝对值的非负性 9任何数的绝对值都是非负数（大于或等于0），即 a 0。 特别地，若 a b c 0，则a 0,b 0,c 0。（即若几个非负数的和等于0，则这几个数都等于0） 例：已知 2x 4 y 3 0，则x _____,y ______. 解：∵ 2x 4 0, y 3 0，且 2x 4 y 3 0 ∴ 2x 4 0, y 3 0 ∴2x 4 0,y 3 0 ∴x 2,y 3 4.重要结论 （1）若a,b互为相反数，则a,b的绝对值相等，即若a b 0，则 a b 。 （2）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若 a b ，则a b或a b 0。 （3）若 a a，则a 0；若 a a，则a 0。 若 a b a b，则a b 0；若 a b (a b)，则a b 0。 （4）若一个数的绝对值等于正数，则这个数有两个且互为相反数。如：若 x 3，则x 3。 注：在解决绝对值化简或计算的问题时，先判断绝对值里面数的符号，如果是正数，就等于它本身，直接去掉绝 对值；如果是负数，就等于它的相反数，去掉绝对值，在前面加一个负号。如果绝对值里面数的符号不能确定， 那么就要分类讨论。（总之，要先判断，再去绝对值符号） 5.绝对值中的最值问题（绝对值的几何意义） 有关绝对值中的最值问题，常采用零点分段法。 （1）求 x a 的最小值 方法：令 x a 0，解得x a。当x a时， x a 有最小值且最小值为0。 （2）求 x a x b 的最小值 方法：令 x a 0, x b 0，解得x a,x b 当x取a与 b之间的值时， x a x b 有最小值且最小值就为a与 b之间的距离。 如：求 x 3 x 1的最小值 解：令 x 3 0, x 1 0，解得x 3,x 1 10当 1 x 3时， x 3 x 1有最小值且最小值就为 1与3之间的距离即(x 3 x 1) 4。 min （3）求 x a x b x c 的最小值 方法：令 x a 0, x b 0，x c 0，解得x a,x b,x c 当x取a，b,c中位于中间的数时， x a x b x c 有最小值且最小值为另两个数之间的距离。 如：求 x 3 x 1 x 5 的最小值 解：令 x 3 0, x 1 0, x 5 0，解得x 3,x 1,x 5 ∵ 1 3 5，∴当x 3时， x 3 x 1 x 5 有最小值且最小值为 3 3 3 1 3 5 6。 总结：（1）有奇数个绝对值的和求最小值时，当x取中间那个数的时候，原式有最小值。 （2）有偶数个绝对值的和求最小值时，当x取中间两个数之间的取值时，原式有最小值。 例 求 x 1 x 2 x 3 ... x 2019 的最小值。 2019 1 解：当x 1010时， 2 原式有最小值且最小值等于1010 1 1010 2 1010 3 ... 1010 2019 1009 1008 1007 ... 2 1 0 1 2 ... 1008 1009 2 (1 2 3 ... 1008 1009) 1009 (1009 1) 2 2 1009 1010 例 求 x 1 x 2 x 3 ... x 2019 x 2020 的最小值。 解：当1010 x 1011时，原式有最小值 即x 1010时，最小值等于1010 1 1010 2 1010 3 ... 1010 2019 1010 2020 1009 1008 1007 ... 2 1 0 1 2 ... 1008 1009 1010 2 (1 2 3 ... 1008 1009) 1010 1009 1010 1010 1010 (1009 1) 1010 1010 11知识点六 有理数的大小比较 1.有理数大小比较的常用结论 （1）在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。 （3）两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 2.有理数大小比较的常用方法 （1）数轴比较法：将两个有理数分别表示在数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大，若两数表示同一 点，则这两数相等。 （2）差值比较法：若ab0，则a b； 若ab0，则a b； 若ab0，则ab。 （3）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 除了上述方法之外，还有商值比较法，平方法，倒数法等。 知识点七 有理数的加法 1.有理数加法法则 口诀记法： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 先定符号，再计算 （2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 同号相加不变号 异号相加大减小 （3）互为相反数的两数相加得0； 符号跟着绝大跑 （4）一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数的加法运算律 （1）加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。即abba。 （2）加法的结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(ab)ca(bc)。 注意：（1）互为相反数的两个数可以先相加； （2）符号相同的数可以先相加； （3）分母相同的数可以先相加； （4）和为整数的几个数可以先相加； （5）两个带分数相加，可以把整数部分和分数部分分别相加，再求和。 123.常用结论 （1）若a0,b0，则ab0；（2）若a0,b0，则ab0； （3）若a0,b0, a  b ，则ab0；（4）若a0,b0, a  b ，则ab0。 知识点八 有理数的减法 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即xy x(y)。 2.常用结论 （1）大数减小数，差为正数； （2）小数减大数，差为负数； 知识点九 有理数的乘法 1.乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与0相乘，都得0。 2.乘法法则的推广 （1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数 个时，积为正。（奇负偶数） （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 （3）几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。 3.乘法运算律 （1）乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即abba。 （2）乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)ca(bc)。 （3）乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即a(bc)abac，反过来，abaca(bc) 注：（1）若因数中有带分数，先把带分数化成假分数再相乘； （2）若因数中有小数，一般先把小数化成分数再相乘； （3）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项。 13知识点十 倒数 1.倒数的定义 乘积为1的两个数互为倒数。 注：（1）正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数。 （2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可。 （3）求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数。 （4）求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后求倒数。 2.倒数的特性 若a,b互为倒数，则ab1；反之，若ab1，则a,b互为倒数。 知识点十 有理数的除法 1.有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 注：（1）除法与乘法是互逆运算； （2）有带分数先化成假分数再进行计算； （3）有小数也可先化成分数再进行计算。 知识点十一 有理数的乘方 1.求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方（或a的n次幂）。 2.乘方的意义：an表示n个a相乘，即an aaa a（n个a） 注：（1）一个数可以看成这个数本身的一次方。如：2就是21，a就是a1，指数1通常省略不写。 （2）习惯上把a2（a的二次方）叫做a的平方，a3（a的三次方）叫做a的立方。 3 （3）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。如：(2)3,( )2。 4 3.有理数乘方的计算法则 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。如：(3)2 9,(3)3 27。 14（2）正数的任何次幂都是正数。 （3）任何有理数的偶次幂都是非负数。即a2 0 （4）负数的乘方与乘方的相反数不同。如(3)4 与34，(3)4 为3的 4 次方，表示 4 个3相乘；34是 3 的4次方的相反数。 知识点十二 科学记数法 把一个数表示成a10n（其中1a10），这种记数的方法叫做科学记数法。 注：（1）n的值等于原数整数位数减1。（n也等于小数点向左移动的位数）如：3450000 3.45 106 （2）负数也可以用科学记数法表示，“  ”照写，其他与正数的写法一样。 （3）1亿108；1万104 知识点十三 近似数 接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫近似值。 注：（1）近似数末尾的“0”不能随便去掉； （2）一个近似数对于它所表示的准确数的误差程度叫做精确度。精确度不同，近似值与实际值的接近程度也不 同。 对于未带计数单位的或未用科学记数法表示的近似数的精确度，最后一位数字所在的数位就是它的精确度； 对于带计数单位的或用科学记数法表示的近似数的精确度，应当写出原数之后再判断精确到哪一位。 （3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。如：0.576精确到千分位或精确到0.001。 有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数 字。如：1.020有四个有效数字：1，0，2，0；2.530 108有四个有效数字：2，5，3，0. 知识点十四 常用结论 1.常见乘方的计算 21 2 22 4 31 3 41 4 23 8 32 9 42 16 24 16 33 27 43 64 25 32 34 81 26 64 44 256 35 243 27 128 36 729 28 256 29 512 210 1024 151 1 1 1 1 1 1 1 1   ...    ... 1 （详见启航55页） 2 4 8 2n 2 22 23 2n 2n 1222...22019 220201（详见启航54页例2和变式练习6题） 32020 1 42020 1 52020 1 1332 ...32019  ，1442 ...42019  ，1552 ...52019  2 3 4 an11 一般地：1aa2 ...an  （a1） a1 1 1 1 1 2.裂项法：  (  ) n(nk) k n nk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 如：   ；  (  )；   （见启航37页） 23 2 3 35 2 3 5 n(n1) n n1 n(n1) 3.等差数列求和：123...n 2 4.数轴上的动点问题 （1）数轴上两点间的距离：右边数减去左边数。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。 （2）表示运动后的数：向右运动就用起点的数加上运动的路程即为运动后的数；向左运动就用起点的数减去运 动的路程即为运动后的数。如：一个点表示的数为 a，向右运动 b 个单位后表示的数为：a+b；向左运动 b 个单 位后表示的数为：a－b。（可记为：左减右加） （3）当数轴上的点的位置不能确定时，注意要分类讨论。 ab （4）中点公式：若数轴上点A，B表示的数为a，b，且M为线段AB中点，则M表示的数为： 。 2 16第三章 整式及其加减 知识点一 字母表示数 1.字母可以表示任何数。 2.用字母表示数应注意的事项 （1）数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号通常写作“ ”，或者省略不写；如：a3应写成3a；(ab)3 应写成3 (ab)或3(ab)。 （2）字母与字母相乘，乘号通常写作“ ”，或者省略不写，一般按字母顺序写；如：nm应写成mn。 （3）相同的字母相乘，应写成乘方形式；如：aaa2。 （4）带分数与字母相乘，应把带分数写成假分数，再相乘。 a （5）有除法运算时，应写成分数形式；如：a2应写成 。 2 （6）字母与1相乘，字母与1相乘，要省略1；如1a应写成a；1a应写成a。 （7）如果所列的代数式是“和”或“差”的形式，并且后面有单位，那么必须把所列代数式用括号括起来，再 写单位。 知识点二 代数式 1.定义 用运算符号把数或字母连接而成的式子叫代数式。如：ab,3,2xy,5(n3m)。 注：（1）单独的一个数或一个字母也是代数式； （2）代数式中只含有运算符号（,,,），可以含有括号。不能含有“，，，， , ”等； 2.列代数式的一般步骤 （1）认真审题，仔细分析问题中术语的含义。如：和，差，积，商，大，小，多，少，增加，减少等。 （2）要注意问题的语言描述表示的运算顺序，一般来说，先读的先写。 如：甲a、乙b两数的平方和：“平方和”是指先平方，后求和，即a2 b2； 甲a、乙b两数和的平方：“和的平方”是指先求和，后平方，即(ab)2 。 （3）在同一个问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示。 3.求代数式的值 一般的方法是：用数代替代数式中的每个字母，然后通过计算求得结果。 （1）直接代入：给出所有字母的值，代入计算； （2）整体代入（整体思想）：给出的是几个字母之间的关系，一般用整体代入计算。 174.多位数的表示方法 两位数ab表示为10ab；三位数abc表示为100a10bc； 四位数abcd表示为1000a100b10cd 知识点三 整式 1.单项式 （1）单项式的定义 1 像x,2r, m2,6，都是数与字母的乘积，这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 3 单项式中“只含乘除，不含加减，且除法中分母不能含有字母”。 x2 注：①单项式中不能含有加减运算，如 不是单项式； 3 ②单项式中可以是数和数的积，可以是数和字母的积，可以是字母和字母的积； 2 x ③单项式中可以有除法运算，但是只能是除以数的运算，即字母不能在分母。如： 不是单项式，但 是 x 2 1 单项式；特别地，是常数，所以 是单项式。  （2）单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 注：①若单项式是一个常数，那么它的系数就是它本身；如2的系数就是2； ②负数作系数时，应包括前面的符号； ③一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或1；如：x2y的系数是1，x2y的系数是1。 （3）单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注：①若单项式是一个常数，那么它的次数是0； ②单项式的次数与系数没有关系；如：23a2b的次数是3，系数是8。 2.多项式 （1）多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 注：①在多项式中，每个单项式叫做多项式的项； ②多项式的每一项都包括它前面的符号；如：3x2 6x7，这个多项式的项是：3x2,6x,7 ③多项式中单项式的个数叫做多项式的项数；如：3x2 6x7的项数是3，叫做三项式。 ④在多项式中，不含字母的项叫做常数项；如：3x2 6x7的常数项是7。 18（2）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。如：3x2 6x7的次数是2。 （3）多项式的命名 多项式通常以它的次数和项数为命名，称几次几项式。最高次项的次数是几，是几次式，项数是几，是几项式； 如：多项式6xy4 2x2y2 3xy4是五次四项式。 3.整式 （1）整式的定义 单项式与多项式统称为整式。 注：①所有的整式的分母中不含字母； ②一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是否为整式的关键是看分母中是否含有字母。 知识点四 整式的加减 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 1 如：a2b与3a2b是同类项， x3y2与 y2x3 是同类项，2与3是同类项。 2 注：①判断同类项的标准是“两相同”，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者缺一不可； ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。 2.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 （3）合并同类项的一般步骤 ①准确找出同类项（注意每一项均包含其前面的符号） ②利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 ③写出合并后的结果，注意不要漏项 注：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0； ②合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉。 3.去括号与添括号 （1）去括号法则   括号前面是“”，直接去掉括号；括号前面是“ ”，把括号和它前面的“ ”去掉，括号内各项都改变符号。 如：(abc)abc；(abc)abc （2）添括号法则 19 所添括号前面是“”，直接添括号；所添括号前面是“ ”，括到括号里的各项都要改变符号。 如：abc(abc)；abc(abc) 注：①整式的加减的实质是去括号，合并同类项； ②要变号就是每一项都要变号。若括号前有数字因数，应利用乘法分配律，先将该数与括号内的各项分别相 乘再去括号，添括号与去括号类似； ③添括号是否正确可以用去括号检验，二者互逆。 4.化简求值 化简求值是指我们不直接把字母的值代入代数式中计算，而是先化简（即去括号，合并同类项），然后再代入求 值。 知识点五 典型例题 多项式不含某项或多项式的值与某个未知数的取值无关 解题思路：先化简，合并同类项；再使符合条件的项的系数等于0. 例1：多项式3mx2x24x2(4x24x5)的值与字母x的取值无关，求m的值。 解：3mx2x24x2(4x24x5) 原式3mx2x24x24x24x5 (3m14)x23 (3m3)x23 ∵多项式的值与字母x的取值无关 ∴3m30，即m1 例2：多项式8x2 3x 5与多项式3x3 2mx2 5x 3相加后不含二次项，求m的值。 解：由题得： 8x2 3x 5 (3x3 2mx2 5x 3) 原式=8x2 3x 5 3x3 2mx2 5x 3 =8x2 2mx2 8x 8 3x3 =(8 2m)x2 8x 8 3x3 ∵相加后不含二次项 ∴8 2m 0，即m 4 20第四章 基本平面图形 知识点一 直线、射线、线段 1.直线 （1）直线的表示方法 ①用两个大写字母表示，如图表示成直线AB或直线BA ②用一个小写字母表示，如上图可以表示成直线m （2）点与直线的两种位置关系 ①如图，点P在直线m上（也称直线m经过点P） P m ②如图，点Q在直线m外（也称直线m不经过点Q） Q m （3）直线可以向两方无限延伸，没有端点，不能度量，不能比较大小 2.射线 （1）射线的表示方法 ①用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，如图可以表示为射线OA。注意表示端 点的字母必须写在前面。 ②用一个小写字母表示，如上图可以表示成射线c c （2）射线是直线的一部分，射线向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小 3.线段 （1）直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 （2）线段的表示方法 ①用两个大写字母表示，如图表示成线段AB或线段BA ②用一个小写字母表示，如上图可以表示成线段a （3）线段的延长线 21线段的延长线是指线段向一方延长的部分，延长AB是指A到B的方向延长；延长BA是B到A的方向延长（也 可以说成反向延长AB） A B A B （3）①线段是直线（或射线）的一部分 ②线段不能向两方无限延伸，可以度量，可以比较大小 ③延长线常画成虚线 ④射线可作反向延长线，但不存在射线的延长线 4.直线、射线、线段的区别与联系 5.直线的性质 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。 （2）两条直线相交只有一个交点。 n(n1) 6.若一条直线上有n个点，则共有2n条射线，(2n2)条可标注的射线，有 条线段。 2 如下图：射线有 6条：射线 AB（或射线AC），一条以 A 为端点向左的射线，射线 BC，射线BA，射线CA（或 射线CB），一条以C为端点向右的射线。 线段有3条：线段AB（或线段BA），线段BC（或线段CB），线段AC（或线段CA） 知识点二 比较线段的长短 1.两点间的距离 连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。它是线段的长度，是数量。 2.线段最短 两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。 如图，在所有连接A，B两点的线中，线段AB的长度是最短的。 223.线段大小的比较方法 （1）叠合法（形的比较）：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段叠合在一起，由另一个端点的 位置可以得出两条线段的大小关系。 （2）度量法（数的比较）：用刻度尺测出线段的长度（单位相同），根据长度的数值判断线段的大小。 （3）线段的大小关系有3种：ABCD，ABCD，ABCD（线段省略不写，因为只有线段才能度量，才 能比较大小） 4.尺规作图：作线段的和、差 例1：如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。 解：作图步骤如下： （1）作射线A'C'； （2）用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB； （3）线段A'B'为所求作的线段. 例2：如图，已知线段a，b，求作线段AB＝2a＋b. 解：作图步骤如下： （1）作射线AM； （2）用圆规在射线AM上顺次截取AC=a，CD=a，DB=b； （3）线段AB为所求作的线段. 例3：如图，已知线段a，b，求作线段AB＝b  a. 解：作图步骤如下： （1）作射线AM； （2）用圆规在射线AM上顺次截取AC=b，CB=a； （3）线段AB为所求作的线段. 5.线段的中点 （1）如图，点M将线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 数学语言：∵M是线段AB的中点 1 ∴AM= MB = AB（或AB=2AM=2MB） 2 注：（1）一条线段的中点只有一个； （2）线段中点必须同时满足两个条件：一是点必须在这条线段上，二是它把这条线段分成相等的两条线段。 23（2）中点模型 1 如图，若D，E分别是AB，BC的中点，则有DE  AC. 2 （3）n等分点 把一条线段等分成n条相等的线段的点，叫做这条线段的n等分点。 6.线段的和、差、倍、分（见启航102页） 在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面： （1）题目没有给出图形的，根据已知条件画出图形是正确解题的关键，若没有指明具体位置，注意可能需分类 讨论（如在直线上有一点）； （2）观察图形，找出线段之间的关系； （3）简单的问题可以列算式算出，复杂的问题（如有比值）可设未知数，用方程思想解决。 知识点三 角 1.角的定义 （1）从静的角度认识角 角是由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。 如图，射线OA，OB是这个角的两条边，点O是这个角的顶点。 （2）从动的角度认识角 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。旋转开始的边叫角的始边， 旋转终止的边叫角的终边。如上图可以看作是由射线OA绕着O点按顺时针方向旋转一 定的角度到射线OB的位置而形成的。 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角； 24终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 1平角＝180°，1周角＝360° 注：角的两边是射线，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长度无关。 2.角的表示方法 角一般有四种表示方法： （1）用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间，其他两个字母可以 调换位置，如图可记作：∠AOB或∠BOA （2）当角的顶点处只有一个角时，可以用单独的顶点处的大写字母表示，如上图 可记作：∠O （3）可用单独的一个数字来表示角，在角的内部靠近顶点处画弧线， 如图可记作：∠1 （4）可用单独的一个希腊字母（，，）来表示，在角的内部靠近顶点处画弧线， 如图可记作：∠ 注：数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角。 3.角的度量 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 1 1 1 1 60，160，1 3600，1( )，1( ),1( ) 60 60 3600 注：（1）度、分、秒是60进制； （2）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进行。 例：（1）用度、分、秒表示47.53；（2）将54412化成度。 解：（1）∵47.53 47 0.53 （2）∵5441254 412 将0.53化成分，得：0.536031.8 将12 化成分，得12600.2 将0.8化成秒，得：0.86048 将4.2化成度，得4.260 0.07 ∴47.53 473148 ∴5441254.07 4.方向角 方向角一般是以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所形成的角（一般指 锐角）。 25（1）一般地，习惯将南或北写在前面，东或西写在后面； （2）东北方向指北偏东45，西南方向指南偏西45，东南方向指南偏 东45，西北方向指北偏西45。 5.时针与分针夹角的求解方法 （1）时针每分钟转0.5度；分针每分钟转6度 （2）时针与分针的夹角小于180度 时针和分针夹角问题实际上就是行程问题，只不过有两个速度，一个是时针的速度，一个是分针的速度。用时针 和分针走的时间分别乘它们的速度，即得它们各自转过的角度。 （3）计算公式为：当时间为m点n分时，其时针与分针的夹角度数为： 30m5.5n 当 30m5.5n 的结果大于180度时，其时针与分针的夹角度数为：360 30m5.5n 例：小明每天下午5：20放学，此时钟面上时针与分针的夹角度数为_______. 解：时针与分针的夹角度数为： 3055.520 40度 知识点四 角的比较 1.角的大小的比较方法 （1）叠合法：将两个角叠放在一起，使两个角的顶点和一条边重合，并使它们的另一边都落在重合的那条边的 同旁，根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小。 （2）度量法：两个角大小的比较，实际上是两个角的度数的大小比较，度量法就是先用量角器分别量出两个角 的度数，再比较其度数的大小。 （3）角的大小关系有3种：AB,AB,AB. 2.角的平分线 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 几何语言： 如图，OC是∠AOB的角平分线， 1 ∴∠AOC ＝∠BOC = ∠AOB 2 或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC （2）角的计算（见启航111页） 263.余角和补角 （1）余角：如果两个角的和是一个直角（90度），那么这两个角互为余角（简称互余），其中一个角叫做另一个 角的余角。 （2）补角：如果两个角的和是一个平角（180 度），那么这两个角互为补角（简称互补），其中一个角叫做另一 个角的补角。 注：①钝角没得余角； ②互为余角、互为补角是指两个角之间的关系； ③互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关。即只要两个角的度数和为90度或180度，则 这两个角就互余或互补。 知识点五 多边形和圆的初步认识 1.多边形 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 （1）组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 （2）每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 （3）在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 注：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧. （4）根据多边形边数的多少，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等。 （5）各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 （6）n边形有n个顶点，n条边，n个内角。 从n多边形一个顶点出发将多边形分成的三角形的个数为：n2 从n多边形一个顶点出发的对角线的条数为：n3 n(n3) n边形共有对角线条数为： 2 2.圆的相关概念 （1）平面上，一条线段绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做 圆，固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。 （2）弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 读作“圆弧AB”或“弧AB”。 （3）扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形。 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 n （5）扇形的面积：若设圆的半径为R，n圆心角所对的扇形的面积S  R2。 360 27第五章 一元一次方程 知识点一 认识一元一次方程 1.等式的定义 用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫等式。 2.等式的基本性质 （1）性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或代数式），结果仍相等。 即，如果 x y ，则xc yc （2）性质2：等式两边同时乘同一个数（或除同一个不为0的数），结果仍相等。 x y 即，如果 x y ，则 xc yc ；如果x y，c0，则  c c x y y  x （3）等式性质的延伸：对称性：若 ，则 x y，yz 传递性：若 ，则xz（也叫等量代换） 2.方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 3.方程的解与解方程 （1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （2）解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。 注：①检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就 是方程的解；如果方程两边的值不相等，那么这个数就不是方程的解。 ②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。 ③等式的基本性质是解方程的依据。 4.一元一次方程 （1）定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程。（） （2）标准形式：方程axb0（其中x是未知数，a,b是常数，并且a0）叫做一元一次方程的标准形式。 注：①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含字母。 ②判断是否为一元一次方程，要先化简再判断。 知识点二 解一元一次方程 1.移项 把等式一边的某项改变符号后移到另一边，叫做移项。它的依据是等式的性质1。 注：（1）移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号； 28（2）在移项时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。 2.解一元一次方程的步骤 （1）去分母：在方程两边同时乘各分母的最小公倍数。（依据等式的性质2） 注：分子是多项式的，去分母后要加括号； 不要漏乘不含分母的项。 （2）去括号：可以由内到外去括号，也可以由外到内去括号。（依据是去括号法则，乘法分配律） 注：括号前的数要乘括号内的每一项； 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号。 （3）移项：一般把含有未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。（依据等式的性质1） （4）合并同类项：把方程化为axb(a0)的形式。（依据是合并同类项法则） b （5）系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x  。（依据是等式的性质2） a 3.有关同解方程的解题方法 如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程。此类题主要有两种常见题型，解法如下： （1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值 代入含有待定字母的方程中，从而求出待定字母的值。 12x x1 2x1 6xa a 例：若方程  1 与关于x的方程x  3x的解相同，求a的值。 6 3 4 3 6 12x x1 2x1 1 解：解方程  1 ，得x  6 3 4 2 1 6xa a 将x  代入x  3x中，可解得a6 2 3 6 （2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分母表示出这两 个方程的解，建立等式，形成关于这个待定字母的方程，从而求出待定字母的值。 例：关于x的方程4x2m3x1的解是x2x3m的解的2倍，求m的值。 解：解方程一得：x2m1； 解方程二得：x3m ∵方程4x2m3x1的解是x2x3m的解的2倍 1 ∴2m123m，解得m 4 4.含参数的一元一次方程（见启航128页） 知识点三 一元一次方程的应用 1.一元一次方程解应用题的一般步骤 29（1）审题：弄清题意和题目中的数量关系。 （2）设未知数：用字母表示题目中的一个未知量。（直接设未知数或间接设未知数） （3）找等量关系 （4）列方程：根据等量关系列出方程。 （5）解方程：解所列的方程，求出未知数的值。 （6）答 2.一元一次方程应用题的常见类型 （1）和、差、倍、分问题 增长量=原有量×增长率；现有量=原有量+增长量； （2）等积变形问题：变形前后的体积相等 （3）浓度问题 溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 浓度=（溶质质量÷溶液质量）×100%；溶质质量=溶液质量×浓度 （4）航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 （5）利润问题 设打x折 售价=利润+进价 x =标价× 10 =进价×（1+利润率） （当不打折时，售价就是标价） 进价=售价-利润 （6）行程问题 路程=速度×时间 相遇问题（相向而行）：甲走的路程+乙走的路程=总的路程 追及问题（同向而行）：甲走的路程－乙走的路程=开始时的距离 30第六章 数据的收集与整理 知识点一 数据的收集 1.数据收集的一般步骤 2.数据收集的常用方法 （1）民意调查：如问卷调查，投票选举； （2）实地调查：现场进行观察、收集、统计数据； （3）试验； （4）媒体查询：报纸、电视、电话、网络等 知识点二 普查和抽样调查 1.普查：为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查。 适用范围：调查范围小，调查不具有破坏性，数据要求准确全面。 2.抽样调查：是指从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。 适用范围：调查范围涉及面广，范围大，或受限制，或具有破坏性。 抽样调查的注意事项：（1）调查对象不宜太少（具有广泛性）；（2）调查对象应随意抽取（具有代表性）；（3）调 查数据应真实可靠（具有真实性）。 3.普查和抽样调查的比较 4.总体和样本 （1）总体：所要考察对象的全体称为总体 （2）个体：组成总体的每一个考察对象称为个体 31（3）样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本 （4）样本容量：一个样本中包含的个体的数目叫做样本容量 注：①抽取的样本要具有代表性和广泛性； ②样本是总体的一部分，总体可以有多个样本，一个样本所体现的特征只是近似地反映总体的特征； ③样本容量没有单位；样本容量越大，样本的特征越接近总体特征。 例：为检测一批日光灯的寿命，从中抽样检测50个是日光灯的寿命. 知识点三 数据的表示 1.三种统计图 （1）条形统计图 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。 （2）折线统计图 折线统计图能清楚地反映事物的变化情况。 （3）扇形统计图 扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 制作扇形统计图的一般步骤： ①计算出各部分数量占总体数量的百分比； ②计算出表示各部分数量的扇形圆心角度数（圆心角度数=360°×百分比）； ③取适当的半径画一个圆，再按上面算出的圆心角度数在圆中依次画出各个扇形并标出百分比； ④给绘制好的扇形统计图写上名称。 扇形统计图的特点： (1)圆代表总体“1”，即百分比之和是1； (2)扇形代表总体中的不同部分； (3)扇形的大小反映各部分占总体的百分比的大小. 2.频数直方图 （1）频数：落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 注：各组的频数之和等于这组数据的总数 （2）组数：把全体样本分成的组的个数叫组数。 （3）频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行分组，画在横轴上，纵轴表示各组数据的 32频数。 （4）频数直方图的绘制步骤 ①计算出数据中的最大值与最小值的差； ②确定组距与组数，一般将个数在100以内的数据分成5—12组； ③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减少一点； ④列出频数分布表，用划记法对数据进行频数统计； ⑤画出频数直方图。 （5）条形图和直方图的区别 ①条形图中，横轴上的数据是孤立的，是一个具体的数据；而直方图中，横轴上的数据是连续的，是一个范围。 ②条形图中，各长方形之间有空隙；而直方图中，各长方形是挨在一起的，无空隙。 知识点四 统计图的选择 33