文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（重庆卷）
数学
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．在下列四个数中： ， ， ， 中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2． 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目
图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．20≤n<25
4．若正比例函数 与反比例函数 的图象交于 两点，则反比例函数的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
5．对于命题“若 ，则 ”，下面四组关于 的值中，能说明这个命题是假命题的是（
）
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C．4 D．
7．如图，边长为2的正方形 面积记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的
一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 ，…按照此规律继续下去，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形 中， ， ，以点 为圆心、 为半径画弧交 于点
，连接 ，若 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ， ，垂足为点 ， 分别交 、
及 的延长线于点 、 、 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．定义：已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ，
且 ，所以一元二次方程 为“限根方程”．关于x的一元二次方程
，有下列两个结论：①当 时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方
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学科网（北京）股份有限公司程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
上．）
11．计算： ___________．
12．如图，随机闭合开关 中的两个，则能让小灯泡 同时发光的概率为___________．
13．如图，在 中， ， 于点 ， 为 上一点，连结 并延长，交边
于点 ，且 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，则 的长为
___________．
14．若关于x的一元一次不等式组 有且仅有 个偶数解，且关于 的分式方程
的解是正数，则所有满足条件的整数 的值之和是___________．
15．如图，在 中， ， ，点 为 边上一点且 ，点 为 边上的动
点，过点 作⊙O的两条切线，切点分别为 ，若 的半径为 ，则四边形 面积的最小值是
___________．
16．若一个五位数 的百位数字和千位数字都不为0，且满足 ， ，则称该五
位数为“差倍数”．规定： ， ．例如：42152，满足 ， ，且
，所以42152是“差倍数”， ， ．若 是一
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学科网（北京）股份有限公司个“差倍数”， ，则 的最大值为___________；若“差倍数” （
， ， ， ， ， 均为整数），且 能被11整除，则满足条件的
的值的和为___________．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17．（1）先化简，再求值： ，其中 ， ．
（2）先化简， ，然后从 范围内选取一个合适的整数作为 的值代入求
值．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响
应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每
天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在 范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
课外阅读时间 等级 人数
D 3
C
B 8
A 4
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的 ________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在 范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学
课外阅读时间不少于 的人数有______人；
(3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报
告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
19．【探究与证明】
(1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形 中， ，求证： ”．
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学科网（北京）股份有限公司请完成解答过程：
证明：设 与 交于点 ，
∵四边形 是正方形，
__________，
，
，
__________ ，
，
∵∠CDF=∠BCE，
（__________）填判定依据，用字母表示
.
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ，请
问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)【拓展探究】如图3，在 中， ，点 为 的三等分点，过点 作
交 于 ，请直接写出 的长．
20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为 ，原有水量分别为 ，
，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为
，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．
(1)若每分钟向甲注水 ，则哪个水池先注满水？为什么？
(2)若每分钟向甲注水 ，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？
(3)若每分钟向甲注水 ，则甲比乙提前 注满，直接写出a的值．
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学科网（北京）股份有限公司21．【阅读材料】：
解方程： 时，先两边同乘以x，得 ，解之得 ， ，经检验无
增根，所以原方程的解为 ， ．
【模仿练习】
（1）解方程 ；
【拓展应用】
（2）如图1，等腰直角 的直角顶点 的坐标为 ，B，C两点在反比例函数 的图象上，点
的坐标是 ，且 ，求 的值；
（3）如图2在双曲线 有 ， 两点，如果 ， ，那么 是
否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且
离地面高均为1米（即 米），两台测角仪相距60米（即 米），在某一时刻无人机位于
点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为 ，B处测得其仰角为 ．
【参考数据： ， ， ， ， 】
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学科网（北京）股份有限公司(1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机
的仰角为 ，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
23．如图，抛物线 经过 ， ， 三点，连接 ．
(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线 ，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知 ，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作 ，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与
相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题——将军饮马问题：
（1）如图1，△ABC中， ，E是 的中点，P是 边上的一动点，则
的最小值为___________；
【问题探究】
（2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形， ． ， 在
直线 上运动时，求 的最小值；
【拓展应用】
（3）如图3，是某公园的示意图， 是三处栅栏， 是该公园附近的一条道路（宽度不计），
半圆 及其内部是一个带舞台的广场．已知 ， 所对的圆心角为 ， 与
所在的圆相切于点C，点E、G在 上，点F、H在 上，点M在 上，矩形 是一条河流在该
公园内的一段（ ），其中半圆 的直径为 ， ，河岸 离
的距离为 ，河宽 为 ，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥 ，使得 与
之和最短，求出此时 的长．（结果保留根号）
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