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第一次月考难点特训（一）与勾股定理有关的压轴题
1．在 ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°
（1）△当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2 =AD2 +BE2
（2）当AB=4时，求点E到线段AC的最短距离
（3）当点D不与点A重合时，探究：DE2 =AD2+BE2是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由
【答案】（1）证明见详解；（2） ；（3）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质直接得出结果；
（2）当CE⊥AB时，点D与点A重合时，点E到AC的距离最短；过点E作EG⊥AC于点G，由
等腰直角三角形的性质，得到AG=GE，然后利用勾股定理即可得到GE的长度；
（3）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由
勾股定理和等量代换即可解答；
【详解】
（1）解：如图：当CE⊥AB时，点D与点A重合，
∵CE⊥AB，
∴AE=BE，
∵点D与点A重合，
∴DE=BE，
∴DE2=AD2+BE2；
（2）根据题意，当CE⊥AB时，点D与点A重合时，点E到AC的距离最短；过点E作EG⊥AC于点G，如图：
在等腰直角三角形ABC中，
∠A=45°，AE=BE= ，
∴△AGE是等腰直角三角形，即AG=GE，
由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ；
∴点E到线段AC的最短距离为： ；
（3） 成立；
证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵ ，
∴ ；
【点睛】
此题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是
正确作出辅助线，构造全等三角形，从而得到边的关系.
2．如图， 为线段 上一动点，分别过点 作 ， ，连接 ．已知
，设 ．
(1)用含 的代数式表示 的值；
(2)探究：当点 满足什么条件时， 的值最小？最小值是多少？
(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
【答案】（1） ；（2） 三点共线时；（3）13
【解析】
【分析】
（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故 可由勾股定理表示；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CE＞AE，故当
A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，
ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 的最小值，然后构造
矩形AFDB，Rt AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【详解】 △（1） ；
（2）当 三点共线时， 的值最小．
（3）如下图所示，作 ，过点 作 ，过点 作 ，使 ， ．
连接 交 于点 ， 的长即为代数式 的最小值．
过点 作 交 的延长线于点 ，得矩形 ，
则 ， 12．
所以 ，即 的最小值为13．
考点：本题考查的是轴对称－最短路线问题
【点睛】
本题利用了数形结合的思想，求形如 的式子的最小值，可通过构造直角三
角形，利用勾股定理求解．
3．如图，学校位于高速路AB的一侧（AB成一条直线），点A，B为高速路上距学校直线距离最
近的2个隧道出入口，点C、D为学校的两栋教学楼，经测量∠ACB=90°，∠ADB＞90°，
AC=600m，AB=1000m，点D到高速路的最短直线距离DE=400m.
（1）求教学楼C到隧道口B的直线距离；
（2）比较AC2+BC2与AD2+BD2谁大谁小，试用计算说明.
【答案】（1）教学楼C到隧道洞口点B的直线距离为800m；（2）AD2+BD2 ＜AC2+BC2，理由见
解析
【解析】【分析】
（1）在Rt ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得到BC的长；
（2）①根据△勾股定理，得AC2+BC2=AB2．
②过点B作BK⊥AD，交AD的延长线于点K．得BK2=BD2-DK2，BK2+AK2=AB2．（AD+DK）
2+BK2=AB2．从而得到AD2+BD2＜AB2．
【详解】
(1)如图，
在Rt ABC中,∠C=90°，
据勾股△定理,得BC2=AB2−AC2=10002−6002=8002.
∴BC=800(m).
即：教学楼C到隧道洞口点B的直线距离为800m
(2)AD2+BD2 ＜AC2+BC2，说理如下：如图2，
①根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2.
②过点B作BK⊥AD，交AD的延长线于点K.
据勾股定理,得BK2=BD2−DK2,BK2+AK2=AB2.
∴(AD+DK)2+BK2=AB2.
即：AD2+DK2+2ADDK+BD2−DK2=AB2.
∴AD2+2ADDK+BD⋅2=AB2.
∵AD>0，D⋅K>0，
∴2ADDK>0
∴AD2+⋅BD2＜AB2综合①②,得AD2+BD2 ＜AC2+BC2
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于利用勾股定理进行求证.
4．（1）如图1，在Rt ABC和Rt ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与
点B，C重合），连接△EC． △
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
②求证：BD2+CD2＝2AD2．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2．
【答案】（1）①BC＝DC+EC；②见解析；（2）72
【解析】
【分析】
（1）①证明 BAD≌△CAE，得出BD=CE，可得BC=DC+BD=DC+EC；②根据全等三角形的性质
可得∠ACE=∠△B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明 BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定
理计算即可． △
【详解】
（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在 BAD和 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∴BC＝DC+BD＝DC+EC；
故答案为：BC＝DC+EC；
②证明：∵Rt ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB△＝45°，
由（1）得， BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，△∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD△＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（2）解：如图2，过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，
∴∠EDA=45°，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在 BAD与 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝13，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝12，
∵∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，
∵AE＝AD，
∴AD2＝ ＝72．【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等
知识；本题难度适中，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方
形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．
【答案】（1）见解析；（3） ；（3） PHD的周长不变为定值12，见解析.
△
【解析】
【分析】
（1）欲证明∠APB=∠BPH，只要证明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根据EP=EB，推
出∠EBP=∠EPB即可证明．
（2）如图1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想办法求出EB、CF即可
解决问题．
（3）△PHD的周长不变为定值12．如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH，分别证明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．
【详解】
（1）∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，∴∠APB=∠BPH．
（2）如图1中，作FM⊥AB于M．
∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，∴∠ABP=∠EFM．
在△ABP和△MFE中，∵ ，∴△ABP≌△MFE，∴ME=AP AD=3．在Rt AEP
△
中，设AE=x，则EP=BE=6﹣x，∴（6﹣x）2=x2+32，∴x ，∴CF=BM=AB﹣AE﹣EM ，∴S
EFGP （CF+BE）×BC （ ）×6 ．
四边形
（3）△PHD的周长不变为定值12．证明如下：
如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH．由（1）可知∠APB=∠BPQ．在△BPA和△BPQ中，∵ ，∴△BPA≌△BPQ，
∴AP=PQ，AB=BQ．
∵AB=BC，∴BC=BQ．
∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，∴△BHQ≌△BHC，∴CH=QH，∴△PDH的周长=DP+PH+DH=
（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．
【点睛】
本题考查了四边形综合题、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．如图， 中， ， ， ，点 为斜边 上的动点， 于 ，
于 ．
（1）当 为 的中点，且 ， __________；
（2）当 ， ，且四边形 为正方形时，求 ；
（3）判断 是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值（用 、 的式子表示），若不存在，
则说明理由．
【答案】（1）64；（2） ；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得 ，再根据矩形的判定与性质以
及勾股定理即可求得答案；
（2）先利用勾股定理求得 ，再根据正方形的性质可得 ，
，进而利用等积法求得 ，最后再利勾股定理即可求得答案；
（3）先根据矩形的判定与性质可得 ，再根据垂线段最短可得当 时 取得最小值，进而利用等积法求得答案即可．
【详解】
解：（1）∵ ， 为 的中点，且 ，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形PECF为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：64；
（2）如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
∴ ，∴在 中， ，
∴ 的长为 ；
（3） 存在最小值，理由如下：
∵ 于 ， 于 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形PECF为矩形，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值，即 取得最小值，
如图，当 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即： ，
∴ 存在最小值，最小值为 ．【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及等积法的应用，
熟练掌握相关图形的性质以及等积法是解决本题的关键．
7．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，
且OC＝OB，连接CN．
（1）如图1，求证：CN＝BM；
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF
的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说
明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角
三角形，见解析．
【解析】
【分析】
（1）由直角三角形的性质得出∠BOM=∠CON，证明△CON≌△BOM（SAS），由全等三角形的
性质得出CN=BM；
（2）证明△BOA≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出AB=AC，证得∠ANC=90°，由勾股
定理可得出结论；
（3）根据AE⊥ON，BF⊥OM， ，得到
，再由AN2＋BM2＝AB2得到AE2＋BF2＝AP2，得出结论．
【详解】
证明：∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠BOC－∠COM＝∠MON－∠COM，
∴∠BOM＝∠CON，
在△CON和△BOM中， ，
∴△CON≌△BOM（SAS），
∴CN＝BM；
（2）证明：连接AC，
∵OA平分∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA，
在△BOA和△COA中， ，
∴△BOA≌△COA（SAS），
∴AB＝AC，
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴∠ONM＝∠OMN＝45°，
∵△CON≌△BOM，
∴∠ONC＝∠OMB＝135°，
∴∠ANC＝∠ONC－∠ONM＝135°－45°＝90°，
∴AN2＋CN2＝AC2，
∴AN2＋BM2＝AB2．
(3) 以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ ，
由勾股定理得： ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵AN2＋BM2＝AB2，
∴ ，
∴ ，
∴以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直
角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA= ，则①线段PB= ，PC=
．②猜想： 三者之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2
给出证明过程．
（3）若动点P满足 ，请直接写出 的值．（提示：请你利用备用图探究）
【答案】（1）① ， ；②AP2+BP2=PQ2；（2）见解析；（3） 或
【解析】【分析】
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的
长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三
角形，依据勾股定理求出PQ= ，即可得到PC；
②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据
AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出
AP2+BP2=PQ2的结论； △
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt PCQ中，PQ2=2CP2，可得
出AP2+BP2=PQ2的结论； △
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD
的式子表示），然后在Rt ACD和Rt PCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解】 △ △
解：（1）如图①．连接BQ，
①△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB= ，
∵PA= ，
∴PB= ，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．∴PQ= ．
∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DC•PD+PD2，
PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+B△P2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
故答案为：AP2+BP2=PQ2；
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+B△P2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①点P位于点P 处时．
1
∵ ，
∴PA＝ AB＝ ， ，
1
在Rt PCD中，由勾股定理得：
1
△
，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
△
，
∴ ；
②当点P位于点P 处时．
2
∵ ，
∴PA＝ AB＝CD， ，
2
在Rt PCD中，由勾股定理得：
2
△，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
△
，
∴ ；
综合上述， 的值为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正
确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的
式子表示出来是解题的关键．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.
9．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，连接DE．
（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
（ⅰ）求证：CE＝AF；
（ⅱ）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．
（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，若DB＝5，DE＝3 ， ，求线段
CE的长．
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） ，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）（ⅰ）根据 证明 ，进而解答即可；（ⅱ）连接 ，根据全等三角形的
性质和勾股定理解答即可；
（2）根据 证明 ，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答．【详解】
证明：（1）（ⅰ） ， ， ，
，
，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
；
（ⅱ）连接 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 中， ，
．
（2）过点 作 于 ，过点 作 交 于 ，， ， ，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
在 与 中
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性
质以及勾股定理解答．10．如图：在 中， ，底边 上一点 ，以 为直角边作等腰直角
，其中 ．
（1）连结 ，证明： ．
（2）写出线段 三者之间的等量关系，并说明理由．
（3）请回答问题：
①若 ，求 的面积．
②若 ，请直接写出 的值．（用含 的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；（2） ．理由见解析；（3）①14；② ．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得 ，则有 ，进而问题可求证；
（2）由（1）得 ，进而可得 ，然后根据线段的等量关
系可求解；
（3）①由（2）可知： ，则有 ，然后根据三角形面积计算
求解即可；
②设 ，则有 ，进而可得 ，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明： 为等腰直角三角形，，
，
又 ，
，
，
又 ，
∴在 与 中，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
又 ，
，
即 ．
（3）解：① ，
由（2）可知： ，
又 ，
,
，
，
．
②设 ，，
，
又 ，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握等腰直角三角形的
性质及勾股定理、二次根式的运算是解题的关键．
11．为了探索代数式 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D
作 ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 ，
则问题即转化成求AC+CE的最小值．
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 的
最小值等于 ，此时x= ；
(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
(3)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 的最小值．【答案】（1）10， ；（2）数形结合思想；（3）13
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB
的延长线于F点．在Rt AEF中运用勾股定理计算求解；
（2）小张巧妙的运用了△数形结合思想；
（3）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE
△
的值就是代数式 的最小值．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点
根据题意，四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得：
故答案为：10； ；
（2）小张巧妙的运用了数形结合思想；（3）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点
根据题意，四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13．
【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题．
12．在等腰 中， 、 ．
（1）如图1， ， 是等腰 斜边 上两动点，且 ，将 绕点 逆时
针旋转90后，得到 ，连接 ．
①求证： ．
②当 ， 时，求 的长．
（2）如图2，点 是等腰 斜边 所在直线上的一动点，连接 ，以点 为直角顶点
作等腰 （ 点在直线 的上方），当 ， 时，求 的长．【答案】（1）①证明见解析；②5；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS证明全等；
②由①中全等可得DE=DF，再在Rt FDC中利用勾股定理计算即可；
（2）连接BE，根据共顶点等腰直角三△角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。需要注意分类
讨论.
【详解】
（1）①如图1中，
，
， ，
， ，
，
，
， ，
．
②如图1中，设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 ，， ，
，
，
．
（2）①当点 在线段 上时，如图2中，连接 ，
，
，
， ，
，
， ，
，
， ．
②当点 在 的延长线上时，如图3中，连接 ，
同法可证 是直角三角形， ， ，， ，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】
本题考查半角旋转以及共顶点等腰直角三角形（手拉手模型），综合考查旋转、全等三角形、勾
股定理等知识点，熟记相关模型特征是解题的关键.
13．(1)如图(1),已知 ABC,以AB,AC为边向 ABC外作等边 ABD和等边 ACE,连接BE,CD．请你
完成图形,并证明:BE△=CD;(尺规作图,不写作法△,保留作图痕迹△) △
(2)如图(2),已知 ABC,以AB,AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有
什么数量关系?简△单说明理由;
(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:如图(3),要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已
经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.
【答案】（1）尺规做图见解析；证明过程见解析；
（2）相等；证明过程见解析；（3）100 ．
【解析】
【详解】
（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和 ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE△，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵在 CAD和 EAB中，
△ △
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在 CAD和 EAB中，
△ △
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角 ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=100米，∠ABD=45°， △
∴BD=100 米，
连接CD，则由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt DBC中，BC=100米，BD=100 米，
△
根据勾股定理得：CD= =100 米，
则BE=CD=100 米．考点：四边形综合题，全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的
性质，勾股定理．
14．如图， 是等腰直角三角形，P是直角边 上的一个动点， 于D，连接 ，
将线段 绕点D顺时针旋转90°至 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，若 ；
①当 时，求以 ， ， 的长为三边构成的三角形的面积S的大小．
②当点P从点B运动到点C时，求点 所经过的路程的值．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【解析】
【分析】
（1）根据条件证明 ，得到 ，即可得到结果；
（2）①延长 ，过D作 的延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求出
，在根据勾股定理求出 ，在判断出 、 、 的长
为三边构成的三角形为直角三角形，即可求解；②点P从点B运动到点C时， 所经过的路径为过B点垂直 的直线，求解即可；
【详解】
（1）∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
（2）①∵ ，且 为等腰直角三角形，
∴ ．
∴ ，
如图，延长 ，过D作 的延长线于点E，
∵ ，且 ，
∴ ，
又∵ ，且 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
又∵ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
即 、 、 的长为三边构成的三角形为直角三角形，
∴面积S的大小为 ．
②当点P从点B运动到点C时， 所经过的路径为过B点垂直 的直线，
当P与B点重合时， ，即 所经过的路程l的值为 ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
15．在 中， ，点 是直线 上一点， ，垂足为点 于点 ，
点 为 的中点，连接 ．
（1）如图1，如果 ，且 在 边上，设 交 于点 ，且 为 的中点，若
_________．
（2）如图2，如果 ，且 在 边上，求证： ．
（3）如图3，如果 ，且 在 的延长线上， ，请探究线段 之间
的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）在 上取一点 ，使得 ，由题意易得 ， ，进而可得
，然后问题可求解；
（2）连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后可证
，进而 是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质可求证；
（3）连接 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，根据题意可得 是等边三角形，
则有 ，进而可得 ，然后可得 ，设
，则有 ，最后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）如图，在 上取一点 ，使得 ，
，
．
，
，
．
又 ，
．
，
，
．
，
．（2）连接 ，
，
．
在 和 中，
，
，
．
∵等腰 中， ，
．
，
．
∴在 和 中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
（3）如图3：结论： ．理由：连接 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
，
是等边三角形，
．
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
垂直平分线段 ,
平分 ，
，
，
，设 ．
，
，
，
，
，．
，
．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的运算，熟练掌握勾股定理及
等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的运算是解题的关键．
