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2020年数学(三)真题解析
一、选择题
(1) 【答案】(B).
【解】 由lim ---- =b得lim/Crr ) =<2 ,又
工〜a
工十a JC CL
sin ) — sin a — cos g • [/"(J—a],其中 W 介于 f (x)与 a 之间，
贝虹血si") —血a =皿遇$ .心)一。=6cos a，应选(E).
•*r- a
X Cl x^a X, CL
(2) 【答案】(C).
【解】 显然工=—l,z = 0,z =1,h = 2为/(jt )的间断点，
由lim fa )= —00得z= — l为第二类间断点；
X*~- 1
]
]n( 1 + ) ]
由lim/Xz) = lim------- •—；------=——得x =0为第一类间断点中的可去间断点；
x—o x->o x 一 Z e 一 1 Ze
由/(I + 0) = —OO得攵=1为第二类间断点；
由Iim/(J?) =00得鼻=2为第二类间断点，应选(C).
■Z f 2
(3) 【答案】(A).
【解】 因为于(工)为奇函数，所以十(工)为偶函数，
又因为cos y(/)+ /'(/)为偶函数，所以[[cos /■(/)+ y'(t)]d/为奇函数，应选(A).
J 0
方法点评：关于函数、函数的导数、函数的原函数奇偶性之间的关系如下：
(1) 设/•©)可导且为奇函数(或偶函数)，则_f'Q)为偶函数(或奇函数)；
(2) 设yCr)为奇函数，则fd 的任何一个原函数都是偶函数；
(3) 若/'(e)为偶函数，则f O 的原函数不一定是奇函数，但F(z)= [ f(t)dt 一定为
J 0
奇函数.
(4) 【答案】(B).
【解】 由工力”(工一2)"的收敛区间为(一2,6)得其收敛半径为R =4,
n = 1
再由(工+1)"的收敛半径与 —2)"相同得工a”Q +1)"的收敛半径为
n=1 n=1 n=1
R =4,从而工a”(z+l)2"的收敛半径为R。=2,故 »”(工+1)2"的收敛区间为
n=l n=l
—2 Vh +1 V 2,即(一3,1),应选(E).
(5)【答案】(C).
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24
【解】令人=
a 31 a 32 a 33 a 34
041 a 42 a 43 a 44,a 11 a 13 a 14
严 21 a 23 ^24
因为A】？ HO,所以 a 3i a 33 a 34 可逆，从而 a 21 a 23 a 24 的秩为3,即«1?«3,«4线性
a 3i a 33 a 34
Si S3 Q44
0 41 a 43 Q 44
无关，应选(C).
(6)【答案】(D).
【解】 由 Aa =： ua \ 9, AAcat 22 , Aa a 得
1 1 ~~ a 2 3 3
A (a! + a2)=a! + a2 (— a3) = — (— a3) ,Aa2 =a2,
I1 I1
0 0\ 0 0\
令 P = (a! +a2, —a3 ,a2),则 AP =P 0 -1 0 ，即 pT"= 0 -1 0 ,应选(D)
'0 J
'0 0 1Z 0
(7)【答案】(D).
【解】PCABC) =P(A ・B +C) =P(A) -P(AB +AC)
= P(A) — P(AE) -P(AC) +P(ABC)=丄 1 1
4 12
P(ABC) -P(B ・A+C) =P(B)—P(AB+BC)
1 _ 1
= P(B) —P(AB) —P(BC) +P(ABC)=—
4 12 __6
PCABC) =P(C -A +B) =P(C) -P(AC 4-BC)
1 2 1
=P CC) - P (AC) - P (BC) P CABC) - — - — = — ,
4 12 12
----- —— ------ 1 i 1 r
故所求概率为PCABO+PCA BC)+PCA BC) = 士 + 士 +為=爲,应选(D).
6 6 12 12
（8）【答案】（C）.
【解】 由（X,Y）
N（0,0；l,4；—）得
X 〜N(0,l),Y 〜N(0,4),且 “丫= —
E (X +Y) =0,
D (X+Y) =y[D(X) +D(Y) +2Cov(X,Y)]
=—(1 + 4 + 2 (X) • VD (Y) • pxy)= 19
Cov(x,y(x+Y))= y [Cov(X,X)+Cov(X,Y)]
=y [D(x)+0,
应选（C）.二、选择题
(9)【答案】 (7t — l)djr — dy.
dz y + cos(h + y ) dz X + cos(z + y)
【解】
3x 1 + ［工夕 + sin(z + y )丁 1 + ［工歹 + sin(_r + y) 了
则J
—Tt — L
dz
= — 19 故血 | (0,K) =(it 一 1)djr 一 dy.
OX (0,7t) dy (o, ?t)
(10)【答案】
y =g — 1.
【解】工. + y + e2xy =0两边对r求导得
1 + + 2/" • (jy + 尢
=0,
ax \
将工= 0,y= — 1代入得学
=1,
0
故切线方程为
夕 + 1=(工一0),艮卩 y =x — 1.
(11)［答案】&
【解】 收益函数为R=pQ =带号—3Q，
利润函数为L-R-C =翳号-3Q- 100 — 13Q =豊号一16Q — 100,
「一、 800(Q + 2) - 800Q “ 1600 — 16(0 + 2)'
L *―厂飞------- I"——'
(Q + 2)2
令 L'(Q) =0 得 Q =8,
因为当 Q < 8 时，L'(Q) > 0；当 Q > 8 时，L'(Q) V 0,
故当产量Q=8时，利润最大.
(12)【答案】TV ln2 —
【解】所求的体积为
■1
V = Tt 2 x\ Ay + 7t 丄 Z ： dy = TT 2 4j/2dj/ + djy
0
4 丄 1
+ 7T (in 2---- =7T In 2 —
=— 3 TC • 3
(13)［答案】a4 —4a2 ・
a 0 —1 1 1 0 -1 a 1 0 —1 a
0 a 1 -1 —1 a 1 0 0 a 0 a
【解】
-1 1 a 0 0 1 a -1 0 1 a — 1
1 _ 1 0 a a _ 1 0 1 0 -1 a 1 — a2
a 0 a 1 0 1
1 a -1 =—a 1 a _ 1
1 2
-1 a 1 — a -1 a 1 -a2
1 0 1
=一 a 0 a -2 = — 4/ +a4
0 a 2 — ao
(14)【答案】〒•
【解】Y的可能取值为0,1,2,
丄
P{Y = 0} = £p{X=3S = £ 占 1
T
7
k=\ k=l 厶 1
s
1_
7
1
P{Y = l} =》P{X=3b + l} =》
7
23&+1
k = 0 0
丄
T
P{Y = 2} =》P{X=3b+2} =》 1 2
怡+ 7
2 3 2
k = 0 k = 0 i——~
8
1 4 9 8
故 E(Y)=0Xy + lXy + 2Xy = 7
三、解答题
b
(15)【解】因为 —e ("f OO),
n
3)
1 ----- —e
n
所以1 = lim =Y-limna • e -1
b b “f8
n
ln(l + 丄 1 ln(1 + 7) 1
\ n 7? e n
—=—lim?2at —1
b n*°°- 1 b ”-*8 1
n ~n~2
g) 1
n 1
又因为lim
1 2
~n2
p
所以1=一冇丘111"「
1
L.V n*°°-
e
故「If—曲i解得。i心
T
丄
x
'•Z = 0 ,
(16)【解】由 得
24y2 —工=0 y=0. 1
12
空=6°, 32f _ [ m=48),
2 3x dy ——1 9
当(z,;y) =(090)时 J = 0 ,B = — 1 ,C = 0,
因为AC-B2 VO,所以点(0,0)不是函数的极值点当(工 9夕)=(_ 9 _ )时 9A = 1 = — 1 C = 4 ?
\ b 1Z /
因为AC-B2 =3 > 0且A〉0,所以点(*, 言
为函数fCx,y)的极小值点，极小值为
”丄丄 = £ + 8X古_存岂 2116
八 6 <12
(17)［解】(I )原方程的特征方程为
A2 + 2A + 5 0,
特征根为心.2= —1 士 2i,
原方程的通解为
y = e~x (Ci cos 2力 + C2 sin 2工)9
yf = — e_J (C] cos + C2 sin 2x ) + e，(— 2C)sin 2
由 0E -B P 2 得
、0 0 /
矩阵B的属于入1 =0的特征向量为为=(2】)；
由 5E-B = ( 1 _2)-> f1 _2)得
\一2 4 / \0 0 '
矩阵B的属于入2 =5的特征向量为比=()，
令©卡]
(
/—
2
12]\) '则。磁严(/0
0
0
5
\)'
由 Q『AQ1 =Q；BQ2 B = Q2QiAQiQ； 9
所求的正交矩阵为一00=耳 1 /2 ] — 2 1 \ ) ・ 1 貝 /— 2 1 2 1 \ ) =胃 1 /— 3 4 J 3 \ '
(21) [解】(I )方法一(反证法) 设P不可逆，则a,Aa线性相关，即a,Aa成比例，
于是 a —kAa 或 Aa =la ,
因为a不是A的特征向量，所以Aa =/a不成立；
若a = kAa，因为a为非零向量，所以怡H0,于是Aa = —a，矛盾，
k
故a,Aa线性无关，即P可逆.
方法二(反证法) 设P不可逆，即a ,Aa线性相关，则存在不全为零的常数klfk2，使得
Q a + k2Aa = 0,
显然k2 H 0,因为若k2 =0,则紅a=0,由aHO得厂=0,矛盾，故匕H 0.
由紅a + k2Aa = 0得Aa = — —，矛盾，故P可逆.
k 2
/0 6 \
(H )由 AP =A (a ,Aa ) = (Aa ,A2a ) = (Aa ,6a — Aa ) =P ( )得
\ ] 1 /
P 1 I]/° _6] )\ •
入 _ 6
由| AE — A | = =(入+ 3)(入一2),得A的特征值为一3:2,
-1 A +1
/_ 3 0 \
故A相似于对角矩阵(°
(22) 【解】(I )(X,Y)的联合概率密度为
[―,(z ) C D ,
fCx,y) =S 兀
[o, (z ) @ D ,(Zi ,Z2)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
p{Zj = o,z2 = 0} =p{x -y< o,x + y < o} =p{x 0} =P{X w Y,X >—Y} =*,
P{Z1 =1,Z2 =0} =P{X—Y> 0,X+YW0} =P{X>Y,X <-¥} =0,
p{z1=i,z2-i}=p{x-y>o,x+y>o}=p{x > y,x >—y} =
故（Z19Z2）的联合分布律为
Z2
Z| p>.
0 1
0 1 1 3
4 2 4
1 1 1
0
4 4
p; — 1 3 1
4 4
1
/° \
(H )由Zi〜 3 1 得
E(Z])=土,E⑵）=
7
1
陀)=诃
?
' 4 4 /
由 Z2 〜 丄 ？得 E(Z2)=#,E(Z：)=¥，D(Z2)=^,
't ]
/0 1 \
由乙乙〜h 丄得E(Z]Z2) =t，
则Z],Z2的相关系数为
2
丄_ .員
Cov(Zi ,Z2) 4 4 4 1
Pz'Z2 丿D(ZQ - 7D(Z2) _ 遁.遁 "3
T * T
(23)【解】(I )P{T〉/ } =1 — P{T w / } =1 — F&) =「G)
P {T >s,T >s+t} P{T > s+t}
P{T > s+t | T> s}=
P{T >5} P{T > s}
_ 1 - P {T < 5 + 门 e-（护）” s'" ($+/〉加
1 -P{T 5}
（n）r的概率密度为
(I)
“)=F'(/)=」Om 6 ,t > 0,
[0,
其他，似然函数为
一厂
L(e)= mn6-mnCt}t2-tnr~1e i=1 *，其中 S >0,i2 >0,•••,?„ >0,
取对数
In L(0) = n In m — mn In 9 + (m — 1)In — 0 mt?,
1=1 :=1
令L(0)=—竽+加-s+i> =0得
de/ (J
； = 1
故e的最大似然估计值为e =
