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2020年数学(二)真题解析
一、选择题
⑴【答案】(D).
【解】当工f。+时」(ez — 1 )dz〜]厂ck=£jr3；
Jo J o 3
[ln( 1 + )ck 〜[t2 dt = 兀；
J o J o 5
f sin jt C j- 1
sin t2 dt ~ 厂 d/ = —x3 ；
Jo Jo 3
应选(D).
方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法：
(1)洛必达法则，如：
【例 1】 设 yCr)连续，且 /(0) = 0,y'(0)= -Odr 〜kxn (.x - 0),求 ％
J 0
t u r
jc —
【解】 tf (工—r)dr==== (jt —u )/(zz ) (— dw ) = x f(u)du — uf(u)du9
Jo J JC Jo'
J工
tf{x — t )df x /(u)du\ — uf (u )dw /(u)dw
Jo 1.
由lim -------------------=lim — 0 ---------------------=lim 0 n
x*0- X " r*0- X n--------------------- lO nx 一1
/⑺二理!
ii 得 77 — 2 = 19 即 3
工f。
n(n — 1)e"
tfCx — t)dt
心)一/(0)
由lim------------------- =—lim
工-*0
x 6 jt-*o X
p- 2 2
tf{x — t)dt 〜—x3 (x 一>0)9 故 k = — = 3.
Jo 3 3
(2)双等价无穷小，即积分限及表达式用其等价无穷小代替，如：
f eT 2 —1 o j n f c2
【例 2j 设 a = -------dt 〜axl> (无 f 0) 9 求 a，“.
J o t
2
【解】由a = fex —i 岀 si 上 n - t - 2 df 〜 f-^2 一 i2 dz == r^2 tdt = -— ] j: 4 得
J o t Jo t Jo 2
1
a ,b 4
2
⑵【答案】(C).
【解】 显然x = — 1 =0 ,x —1,j: = 2为/"(z)的间断点.
由lim/(x ) = —oo得z = — 1为第二类间断点；
X*- —1
• 179 •
淘宝店铺：光速考研工作室由即(亠lim匕•罗呼=-止得-=°为第-类间断点中的可去间断点;
由/(I + 0) = — 00得工=1为第二类间断点；
由lim/(^)=oo得丁 = 2为第二类间断点，应选(C).
工*-2
(3)【答案】 (A).
1 arcsin \/~x 1 2
【解】 _________dr =2 arcsin J~x d(arcsin ) = arcsin2 牛,应选(A).
J ° J工 (]一工) ' 0 0
⑷【答案】(A).
丄討"7 +o(才-2)得
【解】由ln( 1 — j: ) = — x
n 2
一
/(j; ) = jr 2 ln( 1 一工)=—jr3 — xn + o (jc ),
n 2
一
于是广［型=——，故f(n)(0) 77 I
—应选(A).
n ! n — / n 一 Z
(5)【答案】(E)
【解】 由lim 门°'2 -lim- = l得字
=1;
lO X x*o- x OX (0,0)
H 0时，字=冗(工，夕)=_y ;
当
ox
当夕=0时,J = i；
OX
当工=0时，J = 0,
ox
因为字在y =0处不连续，所以f 不存在；
djc 竝 dy
显然 lim f(x ,y) =0,
(H ,y)—*(0 ,0)
故在给出的4个结论中有3个是正确的，应选(E).
(6)【答案】(B)
【解】 令(p(x) = e_r/{x ),
由申'(工)=e J \_f' (j: ) — /'(工)]> 0得0 (工)=e (工)单调递增,
由 e/(- 1) < /(0)及 /(jc) > 0 得严咯 > e,应选(E).
/ (―丄)
方法点评：本题关键在于辅助函数的构造，/'(広)，/''(乂)之间出现等式或不等式条件
时，辅助函数构造规则为：
(1)若条件为fXx) > kf(x),f\x) <时(工)，十(工)=时(工)时，可令
(p(x) — ekrfCx )；
【例】设八工)有界，且1,证明：1/(^)|< 1.
【证明】令(pCx) = eJ/(a:),
因为fix)有界，
所以 ex f (x ) = [ [_ex fCx)ydj7 ,
J —oe>
• 180 •
淘宝店铺：光速考研工作室又 I )y dj? = e* [y Q ) + y'Q )]dz ,
J —oo J —oo
从而有 eV<^)= [" ex [/(^)+f，(^)]dj-,取绝对值得
J —oo
e'r | /(a-) | ^ [ e"|//工)+ 尸(工)| dz WJ e ' dj： = e'r ,
J —O©
故 |/(^)|< 1.
(2)若条件为 xf' (x ) > kf(x ) ,x f (.x ) V kf (x ) ^xf\x ) ~kf (x )时，可令
爭(工)
(7)【答案】(C).
Q 11 a 12 Q 13 Q 14
a 2i a 22 a 23 a 24
【解】 令A =
a 3i a 32 a 33 a 34
Q41 Q42 a 43 Q 44
a 11 53 a 14
严21
a 23 °24
CL 21
因为人2工0,所以a3i a 33 a 34 可逆，从而 的秩为3,即a 1 ,«3 .a4线性
a 31 a 33 a 34
a 41 a 43 a 44
041 a 43 a 44
无关，应选（C）.
（8）【答案】（D）.
【解】 由 A a 1 ct ] 9 A d> 2 a 2 9 A a 3 — ci 3 4^
A (a 1 ■ I a 2) a 】I a 2 9 A ( a 3) —— ( a 3) 9 A a 2 — a 2 9
I1 0 0\ /I 0 0\
令 p = (( y 1 + a 2, — a 3,a 2),则 AP =P ] 0 -1 0 ，即 pTAP= 0 -1 0 ,应选(D)
'o
1 1
0 0 U
二、填空题 麗
— .
（9）【答案】
]
1=
【解】器王 丄,
dx t t
7F+T
v? + 1
麗
=— .
故空
dr
2 1
• 181 •
淘宝店铺：光速考研工作室(]。)【答案】空二12
> 2 -« /»1
【解】 3 + 1 djr = 丿3 + 1 djc 0⑰飞 a/jc 3 + 1 d(jr3 + 1)
0 0 0
2 1 i 2(2^2 - 1)
+1)2
=彳(川
9
0
(11)【答案】 (7t — l)dj? — djy ・
dz _ yy ++ ccooss(Caj:: ++ y3/)) 3z jc + cos( + jy)
【解】
3jc 1
+ ［工夕 +
sin
(攵
+ jy
)丁 '
3y 1 4- \_jcy + sin(jr
+夕)丁
则等
ox (0 , 兀) dy (0,7t) =一 1,故 ck I(o,K) (re 一 1) dj? — dy.
(12)【答案】 —azpg.
【解】 取斜边中点为原点口轴铅直向下，建立坐标系，
取R 9 工 + dr ] U [0 y ] 9
dF = pgx • 2 (a — z )dr = 2pg {ax
一
j? 1 2 )*zd 9
则 F = dF = 2pg J (ax —x2 )djr
J 0
a 3 a3
2pg •
(13) L答案】1.
【解】y，，+ 2y，+y=Q的特征方程为入'+2入+1=0,特征根为人】=A2 =-1,
则 yf，+ 2yf+y= 0 的通解为 3，=(C1+C2^)e-J?(C1,C2 为任意常数)，
由 y (0) = 0,3/' (0) =1 得 Ci = 0,C2 =1,于是 y =ze
--C+3 *-|-oo
故 夕(z ) d_z = x e djr = r(2) = 1.
0 0
(14) 【答案】 a4 —4/.
0
a 0 -1 1 1 0 _ 1 a 1 -1 a
0 a 1 —1 —1 a 1 0 0 a 0 a
【解】
_ 1 1 a 0 0 1 a _ 1 0 \ a -1
i
1 -1 0 a a -1 0 1 () -1 a 1 一 a2
a 0 a 1 0 1
=— 1 a -1 =一a 1 a -1
-1 a 1 ——a2 a 1 —a2
1 0 1
a 0 a -2 =—心+『
一
0 a 2-a2
三、解答题
(15)【解】 lim fd) =lim X X =lim 1 丄
一+8 x +8 1 + H 工―+8 E) e
• 182 •
淘宝店铺：光速考研工作室X
lim /(j?)------
e
丄_ln(l +丄
1
X \ X
——lim
e j；-*4-oo 1 e 工*+°-° 1
_2
X
1 [. t — ln( 1 + t) 1
一lim---------；-----
e f-*o t
故斜渐近线方程为3^=- +二
e ze
(16)【解】 由lim^m = i 得 y(o)=o,尸(°)=]
x
•Zf o
当 x — 0 时,g ( 0 ) = 0 ；
「")d/
当工 工0 时，g(z) =------------,
x
0, JC = 0
9
即 g (z )=<
o
•z H 0.
X
x f {x f (t)dt
) 一
J o
当工工0时，g'O )
2
X
fCt)dt
当工=0时，由1肿小—承°) o 得 g*'(0)=
lim
2
0 X jc f 0 X
xf{x
) 一
J 0
乂 M 0,
即g‘(龙)=5 X 2
1
H = 0.
fCt)dt
由 limg/ (无)=lim 八") o ¥ = + "(0)得
lim =1----lim
•rfO 工*- 0 JC •*Z- 0 X 2 2工一 0
g'(z)在工=0处连续.
3f Q 2 1
亍= 工一 0,
3 y z = V9
(17)【解】由 OJC 得 乂 = 0 9 o
)=0， 1
= 24y2 2 =0
A” 心=-l,C
虹 2—6_z,B 巧
当(h，夕)=(0,0)时 9A = 0，B = 1 ,C =09
一
因为AC-B2 VO,所以点(0,0)不是函数f^9y)的极值点
• 183 ・
淘宝店铺：光速考研工作室当(工,y) = (* *，当)时,A =1 ,B = —1,C = 4,
因为AC-B2=3> 0且A >0,所以点（+召）为函数心，夕）的极小值点，极小值为
f(丄丄)=丄+丄一色=—丄
八 6 '12 丿 63 63 63 63-
(18)[解】 由 2_f(z)+"2f(丄)="：+2工得
"'丿1+工2
1十2工
丿1 + H 2
X
解得/（X）= X -(J7〉0).
+ 2 2
一 7T •
7T
x = rcos 9 ,(
0 W 0 W 彳■ 9sec 0 W 厂冬 2sec 0 ) 9则
（19）【解】令
• n V
y = rsin t) '
E " cizdy =「刖 2 sec 0 ddr = f4 sec 9 d9 '2 sec 0 3
rsec rdr =— 4 sec30d0 9
丿J x 0 sec 0 J 0 sec 0 Z - 0
D
sec 0tan 9 I:-/: sec Otan'edO
由/ = 4 sec30d0 = 4 sec 0d(tan 0)
0 0
=42 — J4 (sec2^ 一 l)sec Odd =麗 一 / + In | sec 6 + tan 9 T
o
=V2~ — / + ln(l+ V2~)得
P sec 30d0 =vEV2 +ln(l +V2 )],
故jj十了 dz dj = #［施 + ln（ 1 + 施）［.
D
（20）【证明】（I）令甲（工）=（工一 2）y"（z ）,
因为卩（1） =0,卩（2） =0,所以存在w 6 （1,2）,使得卩'（£）=0,
2
而（pf Cjc） = f Cx ） +（z — 2） f'〈工）、即（pf （x） — f （x） （a: — 2）eJ ,
故/（$）=（2-e）ee .
（U）令 g （jc ） = In j? （ j:）=丄 H0（1Vjc V2）9
x
由柯西中值定理，存在7 e（1,2）,使得晋¥ = =气力=厂。
7
2
故 /(2) = ”e" In 2.
• 184 •
淘宝店铺：光速考研工作室（21）【解】 设点M的坐标为（工，夕），曲线上点M处的切线为
y 一 y =y（x — x ）,
令Y = 0,解得X=_z —5,则点T的坐标为T卜一3,0）.
由题意得
[y（/）ck ： （+ • j •夕）=3 ： 2,
整理得[f（t）dt —字7 ,两边对x求导得3y2— 2,yy，2 = 0 ,
J o 4 j/
因为夕 > 0,所以 3yyff 一 2j/2 =0,
令『=P，则丿〃 =/学，代入得3yp学—2*2 =0,
dy dy
因为 P〉。9 所以 3 J/ — 2p = 0 9 即— -—p = 0 9
dy dy 3y
解得 p =C】e J L =C]jJ，
_ 2_ J_
从而夕"djy =Cidr，积分得 3y 3 =Cxx + C2 ,
因为曲线经过坐标原点，所以C2 =0,故所求曲线为3/ =Cx\C > 0）.
a a \ 严 i \
1 a ) ,X = |工 ，则 /(工 ,工 AX ,
(22)[解】(I)令 A=\a 2 1 2 3) =X |
a J 'J
I1 1 0
令B = 1 1 0 夕 ,则 ，夕 ，夕 =Y ' BY.
2 g（Al 2 3）
0 4 y
3
因为A与B合同，所以r(A) -r(B),
由 r (B ) =2 得 r(A)=2<3,从而 \A | = 0,
1 a a
由 |A |= a 1 a =(2a + l)(a―l)2 =0 得 a=—或 a=l,
a a 1
当 a=l 时,r (A ) =1 7^ rCB),舍去，故 a = — y-.
(II)y(Zi，：r2, 乂 — X \X z — X \ X 3 — x 2.X ；■,
3)= + JE 2 +
_ ( 1 1 f , 3 2
鼻 乞 丿 十孑(％ —久
=("1--------- 2-------------- 3 3)'
' 1 1
兀工 —迈= ， 1
° 1 — 2 3 = " 1
令丿箱/ 、 或P]X=U,其中匕=
， 0
-y(^2 — S)= "2
、工 0
3 = " 3
x = P^U
，工 = x" AX u\ + u\ ,即
/(X ! 2 3)
• 185 •
淘宝店铺：光速考研工作室/I 0
(PJ)TapJ = 0 1 0 ；
'0 J
0
g(yi ^2 ^3)=yi +疋 + 4^3 +2x2 = (yL + 夕 2)2+4 工
夕 ， Z1 1 0\
1 + :V2 ="1
令V 2夕
3="2，
或P2y 其中卩
2 =
0 2 ,
'0 1
yz =^3
Y = PjU
g(yi，歹 2 ，夕 3) —丫 BY "1 + "2 ，即
/' 0 0
、
( pJ)Tbp-1 :0 1 0
2 —
'o 0/
0
从而(PJ)TapJ ，于是(PjP2)TAP「”
2
=B,
1 — 1 1 2 —
/I 1 0
、
则 P =P7'P2 = 0 0 2 ——
0 一 1 0 1 一
'0 1 Q1
0 0 1 0 1 0 .
(23) ( I )【证明】 方法一
(反证法)设P不可逆，则a ,Aa 线性相关，即a,Aa成比例,
于是a =kAa或Aa la ,
因为a不是A的特征向量，所以Aa =la不成立;
若a =kAa，因为a为非零向量，所以k H 0,于是Aa =[a，矛盾,
k
故a,Aa线性无关，即P可逆.
方法二
(反证法)设P不可逆，即a,A«线性相关，则存在不全为零的常数k.,k2,使得
k ] a + b 2 Aa 0 9
显然紅HO,若k2 =0,则£a=0,由a HO得kx =0,矛盾9故紅HO.
由餌a + k2Aa =0得Aa = — -^a .矛盾，故P可逆.
k2
0 6
(D)[解】 由 AP =A(a ,Aa ) = (Aa ,A2a ) = (Aa ,6a 一 Aa ) =P 得
1 — 1
P AP =(: 6
-1
0 6 A - 6
记3 = ,由 | XE — B| = 6 ,
=右+入一
\1 -1 -1 入 + 1
得B的特征值为2,-3,故A的特征值为2,-3.
从而A可相似对角化.
• 186 •
淘宝店铺：光速考研工作室
