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一、选择题
(1)【答案】D
利用结论：若 =
【解析】（方法一） f(x)和g(x)在x O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～
勹
g(x)'则J (t)dt�rg(t)dt.
『(/ - 『
2
(A) l)dt� t dt=气
3
『
令
(B) ln(l +万）dt�rt dt=气
r 5
厂
(C) f。"工sint 2 dt� 。 t 2 dt�f 。c 2 dt =丘 3
寺
=岊（占）
(D)J :-cosx /忒臣了dt - tidt�I:''l令dt x
I-cosr
故应选CD).
在 = 的
（方法二） 设J(x)和Z 时，入 I , A2 为两负实根， f位） = C1e'• 工 +C2e 甲，
当 a=Z 时，入 1 =入 2=-1,/ (x) = CC1 + C2x)e—r'
v'4=? v'4=?
时，入 －和
当O > I(
在尸上）点处，t::,.= 3 0 且A ＝ 1 O取, 极 小值为 上上）＝— 1
6 12 6'12 215·
(16 【)分析】 挖去奇点(0 ,0汃用格林公式．
z 2 2
【解】 取L1 :丘+y= e(e 足够小）
-
，方
§
向为顺时针方向，
则 I=乎 L+L 1 4 釭 x 2 - + y y 2 dx + 丘 X + -l- y y z dy 凸丘 釭 - +y Y2 dx + 4:r x z + + y y ?. d y
令 4x-y 、工+y
P= 4x z + y z , Q= 4. 甘+y 2'
2 2
计算得
a
妇
Q
＝
抒
的
＝-4
(
x
4:r
-
z +
8x
y
y
z
+
) z
y
崎 — JJ
因而I=0- E 2 L (4:r yd)x+ (:r+ yd) y= 了 E o, 2dxdy
其中D1= { (x,y) I 4x 2 + y 2 �E勹．
今
所以I= XrcXe:X主= TC.
E 2
(17【)分析】 得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数．
1
n -
【解】由阿达玛公式 p= lim 生旦 = lim-+ + 主=. 1.
" �-· a,, n- = n l
• 8 •年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案．
2020
=
幕 级 数
2
牛 x 的 收 敛 半 径 R = 上 = 所以，当 时， 1, I x I< 1 �a,,x"收敛．
n-1 二。 P n-1
令 则
S(x)=�a,,x",
= ,,-] = =
S ' ( x ) = � n a ,,x ' 户 i = � ( n + l ) ,, 歹1 ) a, 汁 1X+a1 =�(n+ a,,x"十1
n=- 1 n-=1 = n-1 =
心
=�na,,x"十上�a,,x" +l = x llnX")'+ 上 �anx"十1
2 2 n - 1 n-1 n-1 n-1
1 +— l s'(x) 1 —一 1 一．
即 S (x) = xS'(x) S(x) + 1 = -•
2 'S(x) + 2 2 1- x
—
— 1
In I S(x) +2 I= In I 1-x曰InC,
2
= 二 C1 二士Ci ．
I SCx)+21 ,S(x)+2=
C
亦是S(x)+2=
厂
由 2
S(O)= 0 得 C= 2, 所求和函数为S(x)= -2.
厂
(18)【分析】 利用投影轮换法．
， X y
【解】 曲面 �:Z = /2 二了的法向量 n = {zx,z:,-1} = { 立 ' 立, — ｝l
』
贝 tlI= {P,Q,R}·{-zx, — z:, 1 }dxdy
:!;
= If[ _ x(汀(xy) 2 +2x 2 -y)_y(yf(xy) z +2y 2 +x) ＋寸(xy)+z dxdy
,Jx + v ,Jx + v ]
＝』［－，二巧 —
(xy) 2左二了三f(xy)+习dxdy
2 2
= II左杠dy CD : 1�x +y �4)
＝厂叫:
=牛
r • rdr
本题只给出j釭）连续，因而不能采取补曲面高斯公式计算．
【评注】
l (I
(19)【证明 >设I f(c) I= M.
若 由拉格朗日定理知存在 使
cE( 0,1], t;E (O,c),
J(c) -f(O) f(c)
J'(t;) =
＝ 、
C
c-0
I I
=-�M.
从而有 J(c) M
I J'<�) I= - C C
若cE0,2], 同理存在肛 EO, 2汃使
—
f(2) f(c) -f(c)
j'(�) = = —
2-c 2 c
=—一多M.
从而有 I J'<�) I = I JO If I
勹:
M = I /Cl) I = f'(x)dx I /'Cx) I cl工t}= f(t)dt= F(t) = FC心+ -FCt)= -eC扩）"',t >0 .
P{T>s 十t,T>s} P{T>s十t}
-e (宁）,n
P{T>s 十t!T>s}= =
P{T>s} P{T>寸 e － （令）"'
m
= e-C宁）"' + (令）
…,
(JI)给定tI'tz' t,,'似然函数为
“ 。 ,,, “
L(0) = III
