文档内容
知识点 27：圆周运动
考点一：圆周运动的运动学问题
题型一：圆周运动物理量计算的问题
【知识思维方法技巧】
圆周运动物理量的相互关系：
【典例1拔尖题】2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中，我国短道速
滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金．
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加
速到速度v＝9 m/s时，滑过的距离x＝15 m，求加速度的大小；
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙
两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为 R ＝8 m、R ＝9 m，滑行速率分别为v ＝
甲 乙 甲
10 m/s、v ＝11 m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运
乙
动员先出弯道．
【典例1拔尖题】【答案】(1)2.7 m/s2 (2) 甲
【解析】(1)根据速度位移公式有v2＝2ax代入数据可得a＝2.7 m/s2
(2)根据向心加速度的表达式a＝；可得甲、乙的向心加速度大小之比为＝·＝，甲、乙均做
匀速圆周运动，则运动的时间为t＝，代入数据可得甲、乙运动的时间为t ＝ s，t ＝ s；
甲 乙
因t 时，mg＋F ＝m，F 指向圆心并随v的增大而增大。
弹 弹
【典例3b拔尖题】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖
直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球
N
在最高点的速度大小为v，其F －v2图像如图乙所示．则( )
N
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
【典例3b拔尖题】【答案】A
【解析】由题图乙可知当小球运动到最高点时，若v2＝b，则F ＝0，轻杆既不向上推小球
N
也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B
错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小
球重力大小，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由向心力公
式得F ＋mg＝，得杆的弹力大小F ＝mg，故F ＝a，D错误．
N N N
【典例3b拔尖题对应练习】如图甲所示，轻杆一端与质量为1 kg、可视为质点的小球相连，
另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最
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学科网（北京）股份有限公司高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，
A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵
坐标分别是1、0、－5.g取10 m/s2，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
A．轻杆的长度为0.5 m B．小球经最高点时，杆对它作用力方向竖直向下
C．B点对应时刻小球的速度为3 m/s D．曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.6 m
【典例3b拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】设杆的长度为L，小球从A到C的过程中机械能守恒，得：mv＋2mgL＝mv，所
以：L＝＝ m＝0.6 m．故A错误；若小球在A点恰好对杆的作用力是0，则：mg＝m，临
界速度：v ＝＝ m/s>v ＝1 m/s.由于小球在A点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运
0 A
动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的方向向上，是竖直向上的支持力，故 B错
误；小球从A到B的过程中机械能守恒，得：mv＋mgL＝mv，所以：v ＝＝ m/s，故C错
B
误；由于y轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线AB段与坐标轴所围图形的面
积表示A到B的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即0.6 m，故D正确．
类型三：竖直面内球—内轨模型
【典例3c拔尖题】在轨道上稳定运行的空间站中，有如图所示的装置，半径分别为 r和
R(R>r)的甲、乙两个光滑的圆形轨道在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道 CD相
连，宇航员让一小球以一定的速度先滑上甲轨道，再通过粗糙的CD段，又滑上乙轨道，
最后离开两圆形轨道，那么下列说法正确的是( )
A．小球在CD间由于摩擦力而做减速运动
B．小球经过甲轨道最高点时比经过乙轨道最高点时速度大
C．如果减小小球的初速度，小球有可能不能到达乙轨道的最高点
D．小球经过甲轨道最高点时对轨道的压力大于经过乙轨道最高点时对轨道的压力
【典例3c拔尖题】【答案】D
【解析】在轨道上稳定运行的空间站中，小球处于完全失重状态．小球在CD间对接触面
压力为零，所受摩擦力为零．小球做匀速运动，小球在甲、乙两个光滑的圆形轨道内运动
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学科网（北京）股份有限公司速度大小相等，轨道支持力提供向心力，由 F＝可知，小球经过甲轨道最高点时对轨道的
压力大于经过乙轨道最高点时对轨道的压力，选项D正确．
类型四：竖直面内管道模型
【典例3d拔尖题】如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；
套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大
小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
【典例3d拔尖题】【答案】C
【解析】设大环半径为R，质量为m的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2＝
mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2，根据牛顿第二定律得F －mg＝，所以在
N
最低点时大环对小环的支持力F ＝mg＋＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力
N
F ′＝F ＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件轻杆对大环的拉力T＝Mg＋F ′＝Mg＋
N N N
5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选
项A、B、D错误．
考点三：圆周运动的临界问题
题型一：轻绳断裂与松弛的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
轻绳断裂与松弛的临界极值条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大
张力；绳子松弛的临界条件是F ＝0。
T
【典例1拔尖题】如图所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，
两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，
A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在
同一竖直平面内)。求：
(1)竖直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆；
(2)轻绳a的张力F 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
a
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学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题】【答案】(1)2 (2)见解析
【解析】(1)小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，设此时轻绳 a与竖直
杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝， r＝，水平方向：F sin α＝mω2r，竖直方向：
a
F cos α＝mg，联立解得ω＝2 。
a
(2)由(1)可知0≤ω≤2 时，F ＝ mg；若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰
a
伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r＝lsin β，水平方
向：F sin β＝mω2r，竖直方向：F cos β＝mg，联立解得F ＝mω2l，由几何关系知，当轻
a a a
绳b恰伸直时，β＝60°，解得此时ω＝ 。故有F ＝mω2l，此时2 <ω≤ ；若角速度ω再
a
增大，轻绳b伸直后，小球做圆周运动的半径为r＝lsin 60°，水平方向：F sin 60°＋F sin
a b
60°＝mω2r，竖直方向：F cos 60°＝F cos 60°＋mg，联立解得F ＝mlω2＋mg，此时ω> 。
a b a
【典例1拔尖题对应练习1】（多选）如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，
能绕水平固定轴MN自由转动从而实现调节其与水平面所成的倾角．板上有一根长为l＝
0.5 m的轻绳，一端系住一个质量为m＝0.5 kg的小球，另一端固定在板上的O点．当平板
倾角为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初
速度v＝2 m/s，g取10 m/s2，则( )
0
A．若α＝0°，则轻绳对小球的拉力大小为F ＝4 N
T
B．若α＝90°，则小球相对于初始位置可上升的最大高度为0.3 m
C．小球能在平板上绕O点做完整的圆周运动，α必须满足的条件为sin α≤
D．小球能在平板上绕O点做完整的圆周运动，α必须满足的条件为sin α≤
【典例1拔尖题对应练习1】【答案】AD
【解析】小球在平板上运动时受轻绳的拉力、重力和平板的弹力．在垂直平板方向上合力
为零，重力沿平板方向的分力为mgsin α，小球在最高点时，由轻绳的拉力和重力沿平板
方向的分力的合力提供向心力，有F ＋mgsin α＝m，研究小球从释放点到最高点的过程，
T
据动能定理有：－mglsin α＝ mv－mv，若恰好通过最高点，轻绳拉力F ＝0，联立解得：
T
sin α＝＝，故C错误，D正确；若α＝0°，则轻绳对小球的拉力大小为：F ＝m＝4 N，故
T
A正确；若α＝90°，小球不能到达最高点，假设能够上升0.3 m，重力势能的增加量mgh
＝1.5 J，初动能mv＝1 J，机械能不守恒，故B错误．
【典例1拔尖题对应练习2】利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离
竖直面，如图所示，用两根长为L的细线系一质量为m的小球，两线上端系于水平横杆上
的A、B两点，A、B两点相距也为L，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球
运动到最低点时，每根线承受的张力为( )
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学科网（北京）股份有限公司A．2mg B．3mg C．2.5mg D．
【典例1拔尖题对应练习2】【答案】A
【解析】小球恰好过最高点时有：mg＝m解得v ＝ ，根据动能定理得：mg·L＝mv－mv，
1
由牛顿第二定律得：F －mg＝m，联立得，F ＝2mg故A正确，B、C、D错误．
T T
题型二：物体接触与脱离的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
运动物体与固定相接触或脱离临界条件是：物体间的弹力恰好为零
类型一：竖直面内圆周运动的内轨模型
【典例2a拔尖题】(多选)如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水
平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有
一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做
圆周运动．为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的
摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足( )
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
【典例2a拔尖题】【答案】CD
【解析】要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，由最低点到最高
点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为，A错误，C
正确；为了使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为
2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最
低点瞬时速度的最大值为，B错误，D正确．
【典例2a拔尖题对应练习】 如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨
道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道
1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经
过其最高点A时对轨道的压力大小为（重力加速度为g）( )
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学科网（北京）股份有限公司A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
【典例2a拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过其最高点A
时，有F ＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv 2－mv 2，解得F ＝4mg，结合
N A B N
牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg，C正确．
类型二：竖直面内圆周运动的管道模型
【典例2b拔尖题】如图所示，两个竖直光滑圆弧轨道固定在同一水平地面上，左侧轨道由
金属凹槽制成，半径为2R，右侧轨道由金属圆管制成，半径为R，在两轨道右侧的正上方
分别将金属小球A和B由静止释放，小球释放处距离地面的高度分别为h 和h ，则下列说
A B
法正确的是（ ）
A．适当调整h ，可使小球A从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
A
B．适当调整h ，可使小球B从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
B
C．若使小球A沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为5R
D．若使小球B沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为
【典例2b拔尖题】【答案】BC
【解析】小球A通过圆弧轨道最高点具有最小速度时，重力完全提供向心力，即mg＝m，
解得v＝，小球A飞出后，做平抛运动，2R＝gt2，x＝vt，解得x＝2R>2R，因此无论怎么
调整h ，小球A都不可能落在轨道的右端口处，A项错误；小球A以最小速度通过轨道最
A
高点时，h 具有最小值，由动能定理可知，mg（h －4R）＝mv2－0，解得最小高度h ＝
A A A
5R，C项正确；小球B通过圆管轨道最高点的最小速度为零，因此可以适当调整h ，使小
B
球B从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，B项正确；由机械能守恒定律可知，
h 的最小高度为2R，D项错误。
B
题型三：物体相对滑动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F ＝，静摩擦力方向一定指向圆心。
m
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在
一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大
且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
类型一：水平转盘静摩擦力控制物体的不发生相对滑动模型
【典例3a拔尖题】（多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量均为m的A、B 两物块叠
放在一起，距轴心距离为L，随圆盘一起做匀速圆周运动．已知圆盘与 B之间的动摩擦因
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学科网（北京）股份有限公司数为μ， B与A之间的动摩擦因数为0.5μ，假设各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，则下列说法正确的是( )
A．物块A、B一起匀速转动过程中加速度恒定
B．物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等
C．A、B一起转动的最大角速度为
D．当A、B恰好发生相对运动时圆盘对B的摩擦力为2μmg
【典例3a拔尖题】【答案】BC
【解析】两物块做匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，方向始终指向圆心，不恒定，故A
错误；根据向心力公式F ＝mLω2可知，物块A、B一起转动过程中所需向心力大小相等，
n
故B正确；对AB整体分析，当最大静摩擦力提供向心力时，有 μ·2mg＝2mLω 2解得ω
B B
＝，对A分析，当B对A的最大静摩擦力提供向心力时，有0.5μ·mg＝mLω 2解得ω ＝由
A A
以上分析可知，AB 一起转动的最大角速度为 ω ＝，此时圆盘对 B 的摩擦力为 F ＝
m f
2m·L·ω 2＝μmg，故C正确，D错误．
m
【典例3a拔尖题对应练习】如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角
速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦
因数都为μ，AB整体、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为 3mω2r
C．转台的角速度一定满足：ω≤ D．转台的角速度一定满足：ω≤
【典例3a拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】A做圆周运动的向心力由B对A的摩擦力提供，由牛顿第二定律及向心加速度公
式有：F＝3mω2r，B项正确；AB整体恰好未发生相对转台的滑动时，μ(3m＋2m)g＝(3m
f
＋2m)ω2r，解得角速度最大值为ω＝ ，C恰好未发生相对滑动时，μmg＝1.5mω2r，解得：
ω＝ ，所以D选项正确．
类型二：水平转盘静摩擦力与轻绳控制同侧物体不发生相对滑动模型
【典例3b拔尖题】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，
两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在
距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴OO 转动，开始时，绳恰好伸直但无弹
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学科网（北京）股份有限公司力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（重力加速度为
g)( )
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【典例3b拔尖题】【答案】ABD
【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg
＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有
弹力，即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，
B已达到最大静摩擦力，则ω在 <ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω
在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由F－F ＝mLω2
f T
可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确.
【典例3b拔尖题对应练习】(多选)如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的
可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘
间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．三个物体与轴 O共线且OA＝OB＝
BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转
动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是( )
A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当ω> 时整体会发生滑动
2
D．当 <ω< 时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大
【典例3b拔尖题对应练习】【答案】BCD
【解析】当圆盘转速增大时，静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由F ＝
0
mω2r，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩
擦力，此时μ(2m)g＝2m·2rω 2，解得ω ＝ ，当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，细线
1 1
BC开始提供拉力，B的摩擦力增大，达到最大静摩擦力后，A、B之间细线开始有力的作
用，随着角速度增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A的摩擦力达到最大，且
细线BC的拉力大于A、B整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到细
线的拉力，对C有F ＋μ(2m)g＝2m·2rω 2，对A、B整体有F ＝2μmg，解得ω ＝ ，当
T 2 T 2
ω> 时整体会发生滑动，故A错误，B、C正确；当<ω< 时，C所受摩擦力沿着半径向里，
2
且没有出现滑动，故在ω增大的过程中，由于向心力F＝F ＋F 不断增大，故B、C间的
T f
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学科网（北京）股份有限公司拉力不断增大，故D正确．
类型三：类水平转盘静摩擦力与弹力控制物体不发生相对滑动模型
【典例3c拔尖题】如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，
筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的
小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是( )
A．小物块所受合外力指向O点
B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
C．当转动角速度ω> 时，小物块受摩擦力沿AO方向
D．当转动角速度ω< 时，小物块受摩擦力沿AO方向
【典例3c拔尖题】【答案】BC
【解析】 匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力，指向物体圆周运动轨迹的圆心，A项
错；当小物块在A点随圆锥筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，小物块在筒壁A
点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为 ω，有：
mgtan θ＝mω2·，由几何关系得：tan θ＝，联立以上各式解得ω＝，B项正确；当角速度
变大时，小物块所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供部分向心力，
C项正确；当角速度变小时，小物块所需向心力减小，故摩擦力沿 OA方向，抵消部分支
持力的水平分力，D项错．
类型四：斜面转盘静摩擦力与重力控制物体不发生相对滑动模型
【知识思维方法技巧】
由摩擦力及其他力的合力提供向心力，发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，
如图，小物体随倾斜圆盘匀速转动的最大角速度，就是在最下端时摩擦力达到最大静摩擦
力，由μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，可求得ω的最大值。
【典例3d拔尖题】如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO 以恒定的角速度ω转动，圆筒
1
的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦
因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g
取10 m/s2，则ω的最小值是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．1 rad/s B． rad/s C． rad/s D．5 rad/s
【典例3d拔尖题】【答案】C
【解析】对小物体受力分析如图，受重力 mg，弹力N，静摩擦力f，ω有最小值时，物体
恰不与筒产生相对滑动。由牛顿第二定律可知，mgcos θ＋N＝mω2r，在平行于筒壁方向上，
最大静摩擦力与重力沿筒壁向下的分力相等，即 f ＝mgsin θ，由于f ＝μN，由以上式
max max
子，可得ω＝ rad/s，故C正确。
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