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2019年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）已知双曲线 ﹣y2＝1（a＞0）的离心率是 ，则a＝（ ）
A． B．4 C．2 D．
6．（5分）设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
第1页 | 共5页满足m ﹣m ＝ lg ，其中星等为m 的星的亮度为E （k＝1，2）．已知太阳的星等是
2 1 k k
﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
8．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大
小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）已知向量 ＝（﹣4，3）， ＝（6，m），且 ⊥ ，则m＝ ．
10．（5分）若x，y满足 则y﹣x的最小值为 ，最大值为 ．
11．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
．
12．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格
纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．
13．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
第2页 | 共5页①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
．
14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜
、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水
果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付
成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的
最大值为 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
16．（13分）设{a }是等差数列，a ＝﹣10，且a +10，a +8，a +6成等比数列．
n 1 2 3 4
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）记{a }的前n项和为S ，求S 的最小值．
n n n
第3页 | 共5页17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为
主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人
，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概
率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随
机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅
使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD
的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
第4页 | 共5页19．（14分）已知椭圆C： + ＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与
x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
20．（14分）已知函数f（x）＝ x3﹣x2+x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M
（a）．当M（a）最小时，求a的值．
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