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2022年天津市普通高等学校招生全国统一考试数学试卷解析
一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）
1. 答案：A
解析：
全集 ，集合 ，则补集 。
因此， 。
2. 答案：A
解析：
若 为整数，则 必为整数（充分性成立）。
反之，当 时， 为整数，但 不是整数（必要性不成立）。
故“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
3. 答案：D
解析：
函数 为奇函数，排除A；
当 时， 单调递增，排除B；
当 时， ，排除C；
故选D。
4. 答案：B
解析：总人数为 ，第三组人数为 ，有疗效人数为 。
5. 答案：C
解析：
， ， ，故 。
6. 答案：B
解析：
原式化简为 。
7. 答案：C
解析：
抛物线准线 ，故双曲线焦距 。
由几何关系得 ，解得 ，结合 ，得 ， ，方程为 。
8. 答案：D
解析：
几何体由两个直三棱柱组成，体积计算为 。
9. 答案：A
解析：
① 周期为 ，错误；
② 在 单调递增，正确；
③ 值域为 ，错误；
④ 图象平移方向错误，错误。
正确个数为1。
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
10. 答案：
解析：
分子分母同乘 ，得 。
11. 答案：15
解析：通项为 ，令 ，解得 ，常数项为 。
12. 答案：2
解析：
圆心到直线距离 ，弦长公式 ，解得 。
13. 答案： ；
解析：
概率 ；条件概率 。
14. 答案： ；
解析：
向量 ；由 得 ，最大值为 。
15. 答案：
解析：
函数 至少有3个零点，需 与
至少有3个交点，解得 。
三、解答题（共5小题，共75分）
16. 答案：(1) ；(2) ；(3)
解析：
(1) 由余弦定理 ，解得 ；
(2) ， ， ；
(3) ， ， 。
17. 答案：(1) 证明略；(2) ；(3)
解析：
(1) 建立空间直角坐标系，证明 与平面 法向量垂直；
(2) 法向量 ，夹角正弦值为 ；
(3) 法向量夹角余弦值为 ，二面角余弦值为 。
18. 答案：(1) ， ；(2) 证明略；(3)
解析：
(1) 设等差数列公差为 ，等比数列公比为 ，解得 ；(2) 利用等比数列性质及通项公式证明等式成立；
(3) 并项求和后错位相减，得结果 。
19. 答案：(1) ；(2)
解析：
(1) 由几何条件 ，解得 ，离心率 ；
(2) 设直线方程 ，联立椭圆方程并利用面积条件，解得椭圆方程。
20. 答案：(1) ；(2)(i) ；(ii) 证明略
解析：
(1) 导数 ，切线方程为 ；
(2)(i) 当 时，转化为 ，利用导数求最小值，得 ；
(ii) 利用几何意义及不等式证明 。
