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专题 24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】........................................................................................2
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】............................................................................................4
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】............................................................................................6
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................9
【题型5 定义法判断切线】.................................................................................................................................13
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】.........................................................................................................15
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】.........................................................................................................19
【题型8 利用切线的性质求线段长度】.............................................................................................................23
【题型9 利用切线的性质求角度】.....................................................................................................................27
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】.................................................................................................30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
个公共点
直线 和 相交
r d
直
线
与
圆 相切：直线和圆只有
的
一个公共点
位 直线 和 相切
置 d=r
关
系
相离：直线和圆没有
公共点
直线 和 相离
r
d【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有 O和点A与点B，如果 O的半径为6cm，线段
OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与 O的位置⊙关系为（ ） ⊙
A．相离 B．相交 ⊙C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵ O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，
即点A到圆心O⊙的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外．点B在 O上，
∴直线AB⊙与 O的位置关⊙系为相交或相切，
故选：D． ⊙
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知 O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与 O
的位置关系是（ ） ⊙ ⊙
A．直线l与 O相交 B．直线l与 O相切
C．直线l与⊙O相离 D．无法确定⊙
【分析】根据⊙“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即
可得到结论．
【解答】解：∵ O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与 O相⊙离．
故选：C．⊙
1
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y= x2-1的图象上，
4
以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．三种情况均有可能
1 1
【分析】设P（t， t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出 OP= t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2
4 4
1
的距离为 t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切．
4
1
【解答】解：设P（t， t2﹣1），
4√ 1 √ 1 1
∴OP=❑t2+( t2-1) 2=❑( t2+1) 2= t2+1，
4 4 4
∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴P点在直线y＝﹣2的上方，
1 1
∴P点到直线y＝﹣2的距离为 t2﹣1﹣（﹣2）= t2+1，
4 4
∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，
∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图， O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线
可能是（ ） ⊙
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l 与 O相切，
1
∴圆心O到一条直线l 的⊙距离为5，
1
∵直线l 与 O相离，
2
∴圆心O到⊙一条直线l 的距离大于5，
2
∵直线l 与l 与 O相交，
3 4
∴圆心O到一条⊙直线l 和直线l 的距离都小于5，
3 4
而圆心O到直线l 的距离较小，
3
∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l ．
3
故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末） O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是
（ ） ⊙
A．3 B．5 C．6 D．10
【分析】根据直线l和 O相交 d＜r，即可判断．
【解答】解：∵ O的⊙半径为5⇔，直线l与 O相交，
⊙ ⊙∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C
为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
12 12 12
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
5 5 5
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即
可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，12
∴CD＝r= ，
5
当直线与圆如图所示也可以有交点，
12
∴ ≤r≤4．
5
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作
圆，且 B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
⊙
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=❑√AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆， B与边CD有唯一公共点，
∴ B的半径r的取值范⊙围是：3≤r≤5；
故⊙选：D．
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与 O
相交，则b的取值范围是（ ） ⊙
A．0≤b＜2❑√2 B．﹣4❑√2≤b≤4❑√2 C．﹣2❑√2＜b＜2❑√2D．﹣4❑√2＜b＜4❑√2
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且
函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB=❑√OA2+OB2=❑√b2+b2=❑√2b，
连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
1 1
∵S△AOB =
2
OA•OB =
2
AB•OC，
OA⋅OB b⋅b
∴4 = = ，
AB ❑√2b
则b＝4❑√2；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣4❑√2；
则若直线y＝﹣x+b与 O相交，则b的取值范围是﹣4❑√2＜b＜4❑√2．
故选：D． ⊙
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公
共点的个数是（ ） ⊙ ⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线 l和 O相离，然后根据相离的定义对各选项进
行判断． ⊙
【解答】解：∵ O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线⊙l的距离大于圆的半径，
∴直线l和 O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．⊙
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半
径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若 d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
AB⋅AC
∴斜边上的高为： = 4.8，
BC
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个
圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共
点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，
∴r＞d，
∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r
为半径画圆．
（1）当r＝ 2. 4 时， C与边AB相切；
（2）当r满足 3 ＜ r ≤ 4⊙ 或 r ＝ 2. 4 时， C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化， C与边AB的交点⊙个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
⊙
【分析】（1）当 C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；
（2）根据直线与⊙圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可
得出答案；
（3）随着r的变化， C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．
⊙【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝2.4，
故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共
点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；
②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；
④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；
⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
3
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y= x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，
4
0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】作CH⊥AB于H交 O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长
即可解决问题 ⊙
【解答】解：作CH⊥AB于H交 O于E、F．
⊙3
∵C（1，0），直线AB的解析式为y= x+3，
4
4 4
∴直线CH的解析式为y=- x+ ，
3 3
4 4 4
{y=- x+ {x=-
3 3 5
由 解得 ，
3 12
y= x+3 y=
4 5
4 12
∴H（- ， ），
5 5
√ 4 12
∴CH=❑(1+ ) 2+( ) 2=3，
5 5
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
1
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值= ×5×2＝5，
2
故选：A．
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的 O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P
是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线⊙段PA的最小值是 ❑√13 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA=❑√OA2+OP2=❑√4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：❑√4+32=❑√13，
故答案为：❑√13．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图， O的半径是5，点A在 O上．P是 O所在平面内一点，且
AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． ⊙ ⊙ ⊙
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与 O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ❑√21 ．
⊙
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结
论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是 O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA， ⊙
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与 O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是 O的直径， ⊙
∵l⊥PA， ⊙
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=❑√OA2-PA2=❑√21，
故答案为：7，❑√21．【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动
点．以CD为 O直径，作AD交 O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的 Q上，继而知点Q、E、
B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． ⊙
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的 Q上，
∵AC＝10， ⊙
∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB=❑√BC2+QC2=13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心
的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是 O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离⊙等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是 O的切线，故本选项错误；
⊙D、如上图，EF O有公共点，但EF不是 O的切线，故本选项错误；
故选：B． ⊙ ⊙
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D选项不正确，C选项正确，
故选：C．
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有
一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在
直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知 O的半径为5，直线EF经过 O上一点P（点E，F在点P的
两旁），下列条件能判定直线EF与 O⊙相切的是（ ） ⊙
⊙A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在 O上，
∴只需要⊙OP⊥EF即可，
故选：D．
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是 O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作
AE∥BC交CD延长线于点E． ⊙
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是 O的切线．
⊙
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性
质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，
根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB＝AC，
∴^AB=^AC，
∴AF⊥BC，∴AF⊥AE，
∵OA是 O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
⊙
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是 O的弦，OP⊥AB交 O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长； ⊙ ⊙
（2）若C是OP的中点，求证：PB是 O的切线．
⊙
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD
1
= OA＝1，AD=❑√3OD=❑√3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝2❑√3；
2
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而
CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据
切线的判定定理得PB是 O的切线．
【解答】（1）解：连接⊙OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
1 1
∴OD= OA= ×2＝1，
2 2
∴AD=❑√3OD=❑√3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2❑√3；（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是 O的切线．
⊙
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点
D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定
得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是 O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是
线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，⊙使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到 OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，
∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是 O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【题型7 切⊙线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上
的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作 D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是 D的切线； ⊙
（2）求线段AC的⊙长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是 D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线⊙的性质的 AB＝AF，得出
AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为 D的切线，
∴∠B＝⊙90°∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与 D相切；
（2）在⊙△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 O相切于
点D．求证：AC是 O的切线． ⊙
⊙【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三
线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与 O相切于点D，
∴AB⊥O⊙D，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是 O的半径，
∵圆心到直线的距离等⊙于半径，
∴AC是 O的切线．
⊙
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为
半径的 O与BC相切于点E．
（1）求⊙证：CD是 O的切线；
（2）若正方形ABC⊙D的边长为10，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的 O与BC相切于点E，可得OE
＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的⊙性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是 O的切线；
（2）由正方形A⊙BCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股
定理求得OC=❑√2r，则可得方程r+❑√2r＝10❑√2，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切 O于点E，
∴OE⊥B⊙C，OE＝OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴OF＝OE＝OA，
即：CD是 O的切线．
（2）解：∵⊙正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=❑√AB2+BC2=10❑√2，
∵OE⊥BC，
∴OE＝EC，
设OA＝r，则OE＝EC＝r，
∴OC=❑√OE2+EC2=❑√2r，
∵OA+OC＝AC，
∴r+❑√2r＝10❑√2，
解得：r＝20﹣10❑√2．
∴ O的半径为：20﹣10❑√2．
⊙
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB
于点E，连接AC． ⊙ ⊙
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝
∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；
1
（2）根据垂径定理得到CE= CF＝4，根据勾股定理求出 O的半径，根据角平分线的性质定理解答
2
⊙
即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD切 O于点C，
∴∠OCD⊙＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACF+∠CAE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠ACF；（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．
∵CF⊥AB，CF＝8，
1
∴CE= CF＝4，
2
设 O的半径为r，则OE＝r﹣3，
在⊙Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，
∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD＝AE＝8．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是 O的切线，A为切点，AC是 O的弦，过O作OH⊥AC于
点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． ⊙
⊙
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝
CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=❑√OB2-AB2=❑√132-122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=❑√OA2-OH2=❑√52-32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答： O的半径为5，AC的长为8．
【变式8⊙-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是 O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝
⊙10．若∠A+∠C＝90°，则 O的半径是 4 ．
⊙
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC
＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设 O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD， ⊙
∵AB、CD是 O的切线，B、D为切点，
∴∠OBE＝∠⊙ODE＝90°，
延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEB是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODEB是正方形，
∴BE＝DE＝OB，
设 O的半径是r，
∴⊙AE＝r+2，CE＝r+4，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴（r+2）2+（r+4）2＝102，
解得：r＝4（负值舍去），
∴ O的半径是4，
故⊙答案为：4．【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于 O，AB是 O的切线，∠C＝45°，∠B＝
30°．AD＝4，则AB长为（ ） ⊙ ⊙
A．4 B．2❑√2 C．2❑√3 D．2❑√6
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，
然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，
∵∠C＝45°．
∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，
∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2❑√2．
又∵AB是 O的切线，
∴∠OAB＝⊙90°．
∵∠B＝30°，OA＝2❑√2，
∴AB=❑√3OA＝2❑√6．
故选：D．
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是 O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长
线于点C，连接PO，交 O于点D． ⊙
⊙（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是 O的切线，
∴∠APO＝∠⊙BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是 O的切线，
∴∠APO＝∠⊙BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，AC是 O的直径，
∠BAC＝35°，求∠P的度数． ⊙ ⊙
【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，AC是 O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，⊙ ⊙
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是 O的切线，A，B是切点，点C是 O上不与A，B重合
的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ⊙ 55 ° 或 125 ° ． ⊙
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然
后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是 O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB， ⊙
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，1
当点C在劣弧AB上，则∠ACB= ∠AOB＝55°，
2
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是 O的直径，AD是 O的切线，切点为A，AD交CB的延长
线于点D，连接AB，AO． ⊙ ⊙
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是 O上一点，求∠E的大小．
⊙
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是 O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO， ⊙
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC是 O的直径，
∴∠BAC⊙＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，∵AD＝AC，
∴∠D＝∠C，
∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径
作 O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（⊙1）求证：BC是 O的切线；
（2）若CD＝2，B⊙C＝4，求点B到AC的距离．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进
而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC是 O的切线；
（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形⊙的面积公
式即可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵线段AB为 O的直径，
∴∠AEB＝90⊙°，∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为 O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解⊙：连接BF，
∵线段AB为 O的直径，
∴∠AFB＝90⊙°，
∴AF⊥AC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，
∴AB2+42＝（AB+2）2，
∴AB＝3，
∴AC＝5，
1 1
∵S△ABC =
2
AB•BC =
2
AC•BF，
AB⋅BC 3×4 12
∴BF= = = ，
AC 5 5
12
即点B到AC的距离为 ．
5
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是 O的直径，OD与 O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是 O的切线． ⊙ ⊙
（2）若∠ADB＝30⊙°，DB＝2，求直径AC的长度．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据
切线的判定得出即可；
1
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA= OD，求出OA，再求出答案即可．
2
【解答】（1）证明：∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°， ⊙
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是 O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：⊙由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
1 1
∴OA= OD= （OB+BD），
2 2
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长线于点
C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连⊙接BE． ⊙
（1）直线BE与 O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，⊙CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得
OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即
可解答；
（2）设 O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝
BE，最后⊙在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE与 O相切，
理由：连接OD， ⊙
∵CD与 O相切于点D，
∴∠ODE⊙＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴直线B⊙E与 O相切；
（2）设 O的⊙半径为r，
在Rt△O⊙DC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于 O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交 O于点D，
连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E⊙． ⊙
（1）求证：CE与 O相切；
（2）若AD＝4，∠⊙D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即
❑√2
得 AB=❑√3BD＝2❑√3，根据∠ABC＝45°，知△ABF 是等腰直角三角形，AF＝BF= AB=❑√6，又
2
△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝2❑√2，故CF=❑√AC2-AF2=❑√2，从而BC＝BF+CF
=❑√6+❑√2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是 O的切线；
（2）解⊙：过点A作AF⊥BC于F，如图：∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
1
∴BD= AD＝2，
2
∴AB=❑√3BD＝2❑√3；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴AF＝BF= AB= ×2❑√3=❑√6，
2 2
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝2❑√2，
∴CF=❑√AC2-AF2=❑√(2❑√2) 2-(❑√6) 2=❑√2，
∴BC＝BF+CF=❑√6+❑√2．
答：线段AB的长为2❑√3，线段BC的长为❑√6+❑√2．
