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第十八章 平行四边形
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列命题正确的是 ( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,AB边的中点,连接EF.若EF=
❑√3,OC=2,则菱形ABCD的面积为 ( )
A.2❑√3 B.4❑√3
C.6❑√3 D.8❑√3
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交边BC于点E,若ED=5,EC=3,则矩形ABCD的周长
为 ( )
A.11 B.14
C.22 D.28
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AE⊥BC,垂足为E,AB=❑√3
,AC=2,BD=4,则AE的长为 ( )
❑√3 3
A. B.
2 2
❑√21 2❑√21
C. D.
7 7
5.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形
ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断 ( )
A.甲正确,乙错误 B.甲、乙均正确
C.乙正确,甲错误 D.甲、乙均错误
6.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连
接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为( )
A.10 B.12
C.16 D.18
第6题图 第7题图
7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则对四边形
EFGH的表述最确切的是 ( )
A.四边形EFGH是矩形
B.四边形EFGH是菱形
C.四边形EFGH是正方形
D.四边形EFGH是平行四边形
8.如图,在 ▱ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交CD的延长线于点E,过点E作
EF⊥BC交BC的延长线于点F,且CF=1,则AB的长是 ( )
A.1 B.❑√2
C.❑√3 D.2
第8题图 第9题图 第10题图9.如图,四边形ABCD是菱形,BD=4❑√2,AD=2❑√6,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC
于点F,
EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为 ( )
5 12
A. B. C.
2 5
4❑√3
D.❑√6
3
10.如图,正方形ABCD的边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2=22.5°;②点C
到EF的距离是❑√2-1;③△ECF的周长为2;④BE+DF>EF.其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
二、填空题(每题3分,共18分)
11.工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边是否相等,还要测量两条对角线是
否相等,这样做的依据是 .
12.如图,E为 ▱ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD于点D,若∠E=50°,则∠A的度数为
.
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接
EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为 .
14.如图,点P是矩形ABCD的边AD上一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P
到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 .
15.如图,一张矩形纸片的长AD=12,宽AB=2,点E在边AD上,点F在边BC上,将四边形ABFE
沿直线EF翻折后,点B落在边AD的三等分点G处,点A落在点A'处,则EG的长为 .
第15题图 第16题图16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中
点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,四边形AECF是平行四边形,点D,B分别在AF,CE的延长线上,连接
AB,CD,∠B=∠D.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
18.(8分)如图,在 ▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥CD于点E,延长CD到点
F,使DF=CE,连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形;
(2)连接OF,若AB=6,DE=2,∠ADF=45°,求OF的长.
19.(8分)如图,将矩形ABCD折叠,使点A,C重合,再展开,折痕交BC于点E,交AD于点F.
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长;(3)在(2)的条件下求折痕EF的长.
20.(8分)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:AF=BE;
(2)如图2,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ,MP与NQ
是否相等?请说明理由.
图1 图2
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作
DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由.
(3)若D为AB的中点,则当∠A满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明理由.22.(12分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:
在△ABC中,
∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作
正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为 ;
②BC,CD,CF之间的数量关系为 ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成
立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
1
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2❑√2,CD=
4
BC,请求出GE的长.图1 图2 图3参考答案
1.D 【解析】 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故A错误;对角线互相垂直的
平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩
形是正方形,故D正确.故选D.
2.B 【解析】 ∵E,F分别是AD,AB边的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴BD=2EF=2❑√3.∵
1 1
四边形ABCD是菱形,∴AC=2OC=4,∴菱形ABCD的面积为 AC×BD= ×4×2❑√3=4❑√3.故选
2 2
B.
3.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩
形,∴∠C=90°,AD=BC,AB=CD,AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE.∵AE平分
∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB.∵ED=5,EC=3,∴CD= =
❑√ED2-EC2
=4,
❑√52-32
∴BE=AB=CD=4,∴矩形ABCD的周长为2×(4+3+4)=22.故选C.
4.D 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=❑√3
,∴AO2+AB2=
BO2,∴△ABO是直角三角形且∠BAO=90°,∴BC= = = .∵S =
❑√AB2+AC2 ❑√(❑√3)2+22 ❑√7 △ABC
1
AB×AC=
2
1 1 1 2❑√21
BC×AE,∴ ×❑√3×2= ×❑√7×AE,解得AE= .故选D.
2 2 2 7
5.B 【解析】 对于甲的作法,∵四边形ABCD是平行四边
形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN.∵MN是AC的垂直平分
线,∴∠AOM=∠CON=90°,AO=CO,∴△AOM≌△CON,∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形,
又AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形,故甲的作法正确.对于乙的作法,∵四边形ABCD是平行四
边形,∴AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA.∵BF平分∠ABC,AE平∠BAD,∴∠FBE=∠FBA,
∠BAE=∠FAE,∴∠AFB=∠ABF,∠BAE=∠AEB,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,∴四边形
ABEF是平行四边形,又AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,故乙的作法正确.故选B.6.C 【解析】 如图,过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,则四边形AEPM、四边形
DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩
形,∴S =S ,S =S ,S =S ,S =S ,S =S ,
△ADC △ABC △AMP △AEP △PBE △PBN △PFD △PDM △PFC △PCN
1
∴S =S = ×2×8=8,∴S =8+8=16.故选C.
△PBE △DFP 2 阴影
1 1
7.B 【解析】 ∵点E,H分别是AB,AC的中点,∴EH∥BC,EH= BC.同理,EF∥AD,EF=
2 2
AD,HG∥AD,
1
HG= AD,∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形.∵AD=BC,∴EF=EH,∴平行四边形
2
EFGH是菱形.故选B.
8.A 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边
形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BCD=∠BAD=120°.∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,∴CE=2AB,∵∠BCD=120°,∴∠ECF=60°,∵EF⊥BF,
∴∠CEF=30°,∴CE=2CF=2,∴AB=1.故选A.
9.C 【解析】 连接OE,∵四边形ABCD是菱
形,∴AD=DC,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵EF⊥OC,
EG⊥OD,∴四边形OGEF是矩形,∴OE=GF.当OE⊥DC时,OE的值最小,即GF的值最
小.∵BD=4❑√2,
1 1
∴OD=2❑√2,∴OC=❑√DC2-OD2=❑√(2❑√6)2-(2❑√2)2=4.∵S
△ODC
=
2
OD·OC=
2
DC·OE,∴
1 1
×2❑√2×4= ×2❑√6×OE,
2 2
4❑√3 4❑√3
∴OE= ,∴FG的最小值为 .故选C.
3 3
10.B 【解析】 ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.在Rt△ABE和
Rt△ADF中,∵AB=AD,AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴∠1=∠2.∵∠EAF=45°,∴∠1=∠2=∠22.5°,故①正确.如图,连接AC交EF于点H,∵Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,又
BC=DC,∴CE=CF.∵AE=
AF,∴AC垂直平分EF,AH平分∠EAF,又∠1=∠2,∴AE平分∠BAC,AF平分
∠DAC,∴EB=EH,FD=FH,
∴BE+DF=EH+HF=EF,故④错误.△ECF的周长为CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=
1+1=2,故③正确.设BE=x,则EF=2x,CE=1-x,∵△CEF为等腰直角三角形,∴EF=❑√2CE,∴2x=
1
❑√2(1-x),解得x=❑√2-1,∴BE=❑√2-1.在Rt△ECF中,EH=FH,∴CH= EF=EH=BE=❑√2
2
-1.∵CH⊥EF,∴点C到EF的距离是❑√2-1,故②正确.综上,正确的结论是①②③.故选B.
11.对角线相等的平行四边形是矩形
12.130° 【解析】 ∵EB⊥BC,ED⊥CD,∴∠EBC=90°,∠EDC=90°.∵∠E=50°,∴∠C=360°-90°-
90°-50°=130°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C=130°.
13.5 【解析】 ∵四边形ABCD是正方
形,∴∠BAC=45°,∵EF⊥AC,∴∠AEF=∠BAC=45°,∴EF=
AF=3.∵△EFC的周长为12,∴EF+CF+EC=12,∴CF=9-EC.在Rt△EFC中,由勾股定理,得(9-
EC)2+32=EC2,解得EC=5.
24
14. 【解析】 如图,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,连接PO.因为AB,BC的长
5
1 1
分别是6和8,所以AC=BD=10,所以AO=OD=5,因为S +S =S ,所以 AO×PE+
△PAO △POD △AOD
2 2
1 24 24
OD×PF= ×6×8,所以PE+PF= ,即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 .
4 5 55 17
15. 或 【解析】 过点G作GH⊥BC于点H,则四边形ABHG是矩形.∵G是AD的三等
2 4
分点,∴AG=4或8.由折叠的性质,可知
FG=FB,∠EFB=∠EFG.∵AD∥BC,∴∠FEG=∠EFB,∴∠FEG=∠GFE,
∴EG=FG.设EG=x,则FG=FB=x.在Rt△FGH中,∵FG2=GH2+FH2,∴x2=22+(4-x)2或x2=22+(8-
5 17 5 17
x)2,∴x= 或 ,即EG的长为 或 .
2 4 2 4
7
16. 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,F
2
1
为DE的中点,∴CF= DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,CE=5,∴CF+EF=18-
2
5=13,∴DE=DF+EF=13.在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DC=
❑√132-52
=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位
1 7
线,∴OF= BE= .
2 2
17.【解析】 (1)∵四边形AECF是平行四边形,
∴AE=CF,AF=CE,∠AEC=∠AFC,∴∠AEB=∠CFD.
{
∠B=∠D,
)
在△ABE和△CDF中, ∠AEB=∠CFD,
AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
(2)由(1)知△ABE≌△CDF,
∴AB=CD,BE=DF,
∵AF=CE,∴AF+DF=CE+BE,即AD=BC,
又AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
18.【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵DF=CE,∴DF+DE=CE+DE,
即FE=CD,∴FE=AB,
又AB∥FE,∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BE⊥CD,∴∠BEF=90°,∴四边形ABEF是矩形.
(2)由(1)知四边形ABEF是矩形,∴EF=AB=6,
∵DE=2,∴DF=CE=4,∴CF=4+4+2=10.
在Rt△ADF中,∠ADF=45°,∴AF=DF=4,
在Rt△ACF中,由勾股定理,得AC= = =2 ,
❑√AF2+CF2 ❑√42+102 ❑√29
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
1
∴OF= AC=❑√29.
2
19.【解析】 (1)∵将矩形ABCD折叠后点A,C重合,折痕为EF,
∴OA=OC,EF⊥AC,EA=EC.
∵AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,
又∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴OF=OE.
∴四边形AECF为平行四边形,
又EF⊥AC,∴四边形AECF为菱形.
(2)设菱形的边长为x,则BE=BC-CE=8-x,AE=x.
在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2,
∴(8-x)2+42=x2,解得x=5,
即菱形的边长为5.
(3)在Rt△ABC中,AC= = =4 ,
❑√AB2+BC2 ❑√42+82 ❑√5
1
∴OA= AC=2❑√5.
2
在Rt△AOE中,OE= = = ,
❑√AE2-OA2 ❑√52-(2❑√5)2 ❑√5
∴EF=2OE=2❑√5.
20.【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°.
∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF.
{∠ABE=∠DAF,
)
在△ABE和△DAF中, AB=DA,
∠BAE=∠D,
∴△ABE≌△DAF,∴AF=BE.
(2)MP与NQ相等.理由如下:如图,过点A作AG∥MP交CD于点G,过点B作BH∥NQ交AD于点H.
∵MP⊥NQ,∴AG⊥BH.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形AMPG与四边形BNQH都是平行四边形,
∴AG=PM,BH=NQ.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAH=∠D=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°.
∵AG⊥BH,∴∠ABH+∠BAG=90°,∴∠ABH=∠DAG.
{∠ABH=∠DAG,
)
在△ABH和△DAG中, AB=DA,
∠BAH=∠D,
∴△ABH≌△DAG,∴AG=BH,∴MP=NQ.
21.【解析】 (1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD.
(2)四边形BECD是菱形.理由如下:
∵D为AB的中点,∴AD=BD.
由(1)知CE=AD,∴BD=CE,
∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,
又DE⊥BC,∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由如下:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC.
∵D为AB的中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
又四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
22.【解析】 (1)①垂直;②BC=CD+CF(2)①成立,②不成立,正确结论是BC=`DC-CF.证明如下:
∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC,
又AD=AF,AB=AC,∴△DAB≌△FAC.
∴DB=CF,∠DBA=∠FCA.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠FCA=∠DBA=135°,∴∠BCF=90°,∴BC⊥CF.
∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF.
(3)如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,EP⊥CF于点P.易得四边形PCNE
为矩形,
∵∠BAC=90°,AB=AC=2❑√2,
∴BC=4,AM=BM=CM=2.
1
∵CD= BC,∴CD=1,∴MD=3.
4
∵∠ADC+∠EDN=90°,∠EDN+∠DEN=90°,
∴∠ADC=∠DEN,
又∠AMD=∠DNE=90°,AD=DE,
∴△AMD≌△DNE,∴DN=AM=2,EN=MD=3.
∵CG=BC=4,∴GP=4-3=1.
在Rt△GPE中,由勾股定理,得GE= = = .
❑√GP2+PE2 ❑√12+32 ❑√10
