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专题17 最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型（解析版）
模型一 垂线段最短模型
典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上
的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．
【解答】解：如图：
当PQ⊥OA时，PQ有最小值，
∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，
∴PH＝PQ＝3，
∴PQ长的最小值为3，
故选：C．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
针对练习
1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，
F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．3❑√2 C．3❑√3 D．3【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为
1
BE+EF 的最小值，根据直角三角形的性质得到 BD= CD，根据已知条件得到 BB′＝BC，推出
2
❑√3
△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD= BC＝3❑√3．
2
【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，
则B′F的长度即为BE+EF的最小值，
∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
1
∴BD= CD，
2
1
∵BD= BB′，
2
∴BB′＝BC，
在△CDB与△B′FB中，
{∠CDB=∠B′FB
)
∠B′BF=∠CBD ，
CD=BB′
∴△CDB≌△BB′F，
❑√3
∴B′F＝CD= BC＝3❑√3．
2
故选：C．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的
性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．
2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD
＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）A．1 B．2 C．2.5 D．❑√5
【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段
最短．
3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB
上，则BE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.4
【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三
线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根
据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD 4，
=❑√52−32=
1 1
∴S△ABC = ×BC×AD= ×AC×BN，
2 2
BC×AD 6×4
∴BN= = =4.8，
AC 5
∵F关于AD的对称点M，
∴EF＝EM，
∴BE+EF＝BE+EM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即BF+EF的最小值是4.8，
故选：B．
【总结提升】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌
握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线
BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝ 50 ° 或 10 ° ．
【思路引领】分两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．
【解答】解：当点P在∠ABC内部时，
∵BP为定长，
∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ABP＝20°，
∴∠PBQ＝40°，
∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°，
当点P在∠ABC外部时，
同理可求∠BPQ＝10°，
故答案为：50°或10°．
【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．
5．（2022秋•东港区校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，
点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，则PB+PD的最小值为 3 cm．
【思路引领】如图所示，延长BC到E使得CE＝BC，连接EP，AE，证明△ACB≌△ACE，得到AE＝
AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，则∠BAE＝30°，再证明△BCP≌△ECP，得BP＝EP，推出当D、
P 、 E 三 点 共 线 且 ED⊥ AD 时 PD+PE 有 最 小 值 即 PB+PD 有 最 小 值1
(PB+PD) =DE = AE=3cm．
最小值 最小值 2
【解答】解：如图所示，延长BC到E使得CE＝BC，连接EP，AE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°，
又∵AC＝AC，BC＝EC，
∴△ACB≌△ACE（SAS），
∴AE＝AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝30°，
同理可证△BCP≌△ECP（SAS），
∴BP＝EP，
∴PB+PD＝PD+PE，
∴当D、P、E三点共线且ED⊥AD时，PD+PE有最小值，
即PB+PD有最小值，
1
∴(PB+PD) =DE = AE=3cm，
最小值 最小值 2
故答案为：3．
【总结提升】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的性质与判定，含 30度角的直角三角
形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
模型二 将军饮马模型
类型一 一直线同侧两定点
典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝
5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP取得最小值时的点P的位置即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴B，C关于AD对称，
∴连接EC与AD的交点即为使BP+EP取得最小值时的点P，
∴BP+EP的最小值＝EC＝5，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三
线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP取得最小值时的点P的位置是解题的关键．
类型二 两射线一顶点两动点
典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是
射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
2 4
A．3 B． C． D．6
3 3
【思路引领】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点
M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P′OP″＝
60°即可求出P'P''；
【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点
M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP'，OP''，
∵OP＝3，∠AOB＝30°，
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，
∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，
∴OP′＝OP''＝P'P''，
∴P'P''＝3；
故选：A．
【总结提升】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题
的关键．
针对练习
1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上
任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
【思路引领】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直
线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．
【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，
故选：D．
【总结提升】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上
分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【思路引领】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于
M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝
80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于
M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解
题的关键．
3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上
的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E
关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．
【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，
∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，
∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，
此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，
∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．
故选：A．
【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段
最短找到△PCE周长最小的点P位置．
模型三 造桥选址模型
类型一 异侧两定点一定长
典例1（2021春•奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公
路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案
（ ）
A． B．
C． D．【思路引领】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，
但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现
这一目的．
【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，
连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，
则MN∥PP′且MN＝PP′，
于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．
观察选项，选项C符合题意．
故选：C．
【总结提升】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简
单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．
目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
类型二 同侧两定点一定长
典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、
Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【思路引领】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；
在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点
Q，则CM即为AP+BQ的最小值；
【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，
∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，
要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；
在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点
Q，
则CM即为AP+BQ的最小值；
∴BQ＝CQ，
∴MB＝3，BC＝4，
∴MC＝5，
∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；
故选：B．
【总结提升】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将四边形的周长转化
为AP+BQ的最小值是解题的关键；
针对练习
1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN
（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A
连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最
短距离．
【解答】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合．
故选：D．
【总结提升】本题考查了轴对称确定最短路线问题，是此类题目的第二种类型，难度较大，利用的原理为平行四边形的对边相等．
2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上
的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．2❑√2
【思路引领】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为
此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，
连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝
EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC
即可求出BP的长度．
【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一
点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线
于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，解得x＝4．
故选：B．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难
度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座
桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平
行的直线，经测量，张庄 A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝
（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最
短，则这座桥应建造在C，D间距离C p m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【思路引领】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．
【解答】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，
∴AM＝（p+q）m，
∴∠CAP＝45°，
∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
【总结提升】此题主要考查了最短路线问题，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是
解决本题的解题关键．4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能
使从A地到B地的路程最短？
【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要
构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．
【解答】解：如图，作 AF⊥CM，作 BB'⊥CN，截取 AF＝BB'，连接 B'F 交两河岸为 D'，E'，作
D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，
则折线 ADD′E′EB 的长度等于折线 AFD′E′B′B 的长度，等于折线 FD′E′B′的长度
+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，
∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．
【总结提升】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，
将问题转化为平行四边形的问题解答．
