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一、选择题（共 8 小题）
1．计算： =（ ）
A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
【答案】A．
【解析】
试题分析：原式=﹣1，故选 A．
考点：有理数的乘法．
2．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：简单组合体的三视图．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：A． ，错误；B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确，故选 D．
考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
4．如图，AB∥CD，AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E，若∠C=50°，则∠AED=（ ）
A．65° B．115° C．125° D．130°
【答案】B．
考点：平行线的性质．
5．设点 A（a，b）是正比例函数 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ）
A．2a+3b=0 B．2a﹣3b=0 C．3a﹣2b=0 D．3a+2b=0
【答案】D．
【解析】
试题分析：把点 A（a，b）代入正比例函数 ，可得：﹣3a=2b，可得：3a+2b=0，故选
D．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
6．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若 DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 交
△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点 F，则线段 DF 的长为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B．
考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
7．已知一次函数 和 ，假设k＞0且k＇＜0，则这两个一次函数的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【解析】
试题分析：已知一次函数 中k＞0，∴其图像过一二三象限，与y轴交点为（0，5），∵一次
函数 ，且k＇＜0，∴其图像过一二四象限，与y轴交点为（0，7），故两条直线的交点在第一
象限，故选 A．考点：一次函数的性质．
8．如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，点 O 是 BD 的中点，若 M、N 是边 AD 上的两点，连接
MO、NO，并分别延长交边 BC 于两点 M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
【答案】C．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定．
9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠ABC和∠BOC互补，则弦
BC的长度为（ ）
A． B． C． D．【答案】B．
【解析】
试题分析：过点 O 作 OD⊥BC 于 D，则 BC=2BD，∵△ABC 内接于⊙O，∠BAC 与∠BOC 互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB= （180°-
∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC= = ，∴BC= ．故选B．
考点：垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
10．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 AC、
BC，则 tan∠CAB 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D．
【解析】考点：抛物线与 x 轴的交点；锐角三角函数的定义．
二、填空题（共 4 小题）
11．不等式 的解集是 ．
【答案】x＞6．
【解析】
试题分析：移项，得 ，系数化为 1 得 x＞6．
故答案为：x＞6．
考点：解一元一次不等式．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
（1）一个多边形的一个外角为 45°，则这个正多边形的边数是 ．
（2）运用科学计算器计算： sin73°52′≈ ．（结果精确到 0.1）
【答案】（1）8；（2）11.9．
考点：计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．13．已知一次函数 y=2x+4 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，若这个一次函数的图象与一个
反比例函数的图象在第一象限交于点 C，且 AB=2BC，则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】 ．
【解析】
试题分析：∵一次函数 y=2x+4 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，∴A（﹣2，0），B（0，
4），过 C 作 CD⊥x 轴于 D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴ ，
∴CD=6，AD=3，∴OD=1，∴C（1，6），设反比例函数的解析式为 ，∴k=6，∴反比例
函数的解析式为 ．故答案为： ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
14．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点
P、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、D（P、D 两点不重合）两点间的最短距离为
．
【答案】 ．考点：菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；最值问题．
三、解答题（共 9 小题）
15．计算： ．
【答案】 ．
【解析】
试题分析：直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．
试题解析：原式= = = ．
考点：实数的运算；零指数幂．
16．化简： ．
【答案】 ．考点：分式的混合运算．
17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相
似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】．
【解析】
试题分析：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD
与△CAD 相似．
试题解析：如图，AD 为所作．
考点：作图—相似变换；作图题．
18．（本题满分5分）某校为了七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有学生
中，每班随机抽取6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查，我们从调查的题目中特别把学生
对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A—非常喜欢”、“B—比较喜欢”、“C—不太喜欢”、
“D—很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项而且只能选一项）结果
进行统计．现将统计结果制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取的学生对于数学学习喜欢程度的众数是：
（3）若该校七年级有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？【答案】（1）作图见解析；（2）比较喜欢（或填“B”）；（3）240．
【解析】
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：960×25%=240
（人），即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．
考点：众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
19．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月
阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，
来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离
不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直
线 BM 上的对应位置为点 C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时，看
到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度
ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如
图，小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米，到达“望月阁”影子的末端 F 点处，此时，测得小亮身
高 FG 的影长 FH=2.5 米，FG=1.65 米．
如图，已知 AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请
你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB 的长度．
【答案】99．
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 镜 面 反 射 原 理 结 合 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 得 出 △ ABC∽ △ EDC ，
△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出 AB 的长．
试题解析：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故
△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则 ， ，即 ， ，
解得：AB=99．
答：“望月阁”的高 AB 的长度为 99m．
考点：相似三角形的应用．
20．如图，在 ▱ABCD 中，连接 BD，在 BD 的延长线上取一点 E，在 DB 的延长线上取一点 F，
使 BF=DE，连接 AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
21．昨天早晨 7 点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路
返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离 y（千米）与他离家的时间 x（时）之间
的函数图象．
根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段 AB 所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午 3 点时，小明距西安 112 千米，求他何时到家？
【答案】（1）y=﹣96x+192（0≤x≤2）；（2）下午 4 时．故线段 AB 所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；
（2）12+3﹣（7+6.6）=15﹣13.6=1.4（小时），112÷1.4=80（千米/时），（192﹣112）
÷80=80÷80=1（小时），3+1=4（时）．
答：他下午 4 时到家．
考点：一次函数的应用．
22．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种
瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①
如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有
“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效
随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次
“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再
转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所
指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖
品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（2）画树状图得：
∵共有 25 种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有 2 种情况，
∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为： ．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
23．如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取
AD的中点E，过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．．
求证：（1）FC=FG （2） =BC•CG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试 题 解 析 ： （ 1 ） ∵ EF∥ BC ， AB⊥ BG ， ∴ EF⊥ AD ， ∵ E 是 AD 的 中 点 ， ∴ FA=FD ，
∴ ∠ FAD=∠ D ， ∵ GB⊥ AB ， ∴ ∠ GAB+∠ G=∠ D+∠ DCB=90° ， ∴ ∠ DCB=∠ G ，
∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；
（2）连接 AC，如图所示：
∵AB⊥BG，∴AC 是⊙O 的直径，∵FD 是⊙O 的切线，切点为 C，∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ ，∴
=BC•BG．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．24．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 经过点 M（1，3）和
N（3，5）
（1）试判断该抛物线与 x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴交于点 B，同时满足以
A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】（1）抛物线与 x 轴没有交点；（2）先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位或将原
抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位．
【解析】
试题解析：
（1）由抛物线过 M、N 两点，把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得： ，解得：
，∴抛物线解析式为 ，令 y=0 可得 ，该方程的判别式为△=9
﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与 x 轴没有交点；②当抛物线过 A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得： ，解得： ，∴
平移后的抛物线为 ，∴该抛物线的顶点坐标为（ ， ），而原抛物线顶点坐标
为（ ， ），∴将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛
物线．
考点：二次函数综合题；二次函数图象与几何变换．
25．问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC 关于直线 AC 对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边 BC、CD 上分别存在点
G、H，使得四边形 EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材 ABCD，AB=3 米，AD=6 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能
大的四边形 EFGH 部件，使∠EFG=90°，EF=FG= 米，∠EHG=45°，经研究，只有当点
E、F、G 分别在边 AD．AB、BC 上，且 AF＜BF，并满足点 H 在矩形 ABCD 内部或边上时，才有
可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 EFGH 部件？若能，
求出裁得的四边形 EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）存在，最小值为 ；（3）能， ．
【解析】
（3）根据余角的性质得到 1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到 AF=BG，
AE=BF，设 AF=x，则 AE=BF=3﹣x 根据勾股定理列方程得到 AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG
关于 EG 的对称△EOG，则四边形 EFGO 是正方形，∠EOG=90°，以 O 为圆心，以 EG 为半径
作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O 上，连接 FO，并延长交⊙O 于 H′，则 H′在 EG 的垂直平
分线上，连接 EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形 EFGH′是符合条件的最大部件，
根据矩形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）如图 1，△ADC 即为所求；
（2）存在，理由：作 E 关于 CD 的对称点 E′，作 F 关于 BC 的对称点 F′，连接 E′F′，交
BC 于 G，交 CD 于 H，连接 FG，EH，则 F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形 EFGH 的周长最
小 ， 由 题 意 得 ： BF′=BF=AF=2 ， DE′=DE=2 ， ∠ A=90° ， ∴ AF′=6 ， AE′=8 ，
∴E′F′=10，EF= ，∴四边形 EFGH 的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=
，∴在边 BC、CD 上分别存在点 G、H，使得四边形 EFGH 的周长最小，最小值为
；考点：四边形综合题；最值问题；压轴题．
