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余姚中学 2024 学年第一学期期中测试
高一数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
CCCB DBAD
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分．
9.BC 10.ACD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. （1） （2）11
14.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 设命题 实数x满足 ，其中 ，命题 实数x满足 ．
的
（1）若 ，且p是真命题，求实数x 取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由命题 实数 满足 ，其中 ，
当 时，即命题 ，解得 ........................6分(2)命题 实数 满足 ，解得 ，
命题 实数 满足 ，解得 ．..........................9分
因为 是 的充分不必要条件，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．..........................13分
16.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 只，并以平均每年 的速
度增加．
（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
（2）写出 （珍稀鸟类的个数）关于 （经过的年数）的函数关系式；
（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 倍或以上？（结果为整数）
(参考数据： ， )
解:（1）依题意，
两年后这种鸟类的个数为 ...........................4分
（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约 只，并以平均每年 的速度增加，
则所求的函数关系式为 ， . .........................8分
（3）令 ，得： 两边取常用对数得：
，.......................................................4分
即
考虑到 ，故 ，故因为
所 以
........................14分
约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 倍或以上. .................15分
17. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）当 时， 恒成立，求实数k的取值范围.
解：（1）因为 在定义域R上是奇函数.所以 ，
即 ，所以 ．又由 ，即 ，
所以 ，检验知，当 ， 时，原函数是奇函数. ..............4分
（2） 在 上单调递减.证明：由（1）知 ，
任取 ，设 ，则 ，
因为函数 在 上是增函数，且 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在R上单调递减. .....................................9分
（ 3 ） 因 为 是 奇 函 数 ， 从 而 不 等 式 等 价 于
，...........................................10分因为 在 上是减函数，由上式推得 ，.........................11分
即对一切 有 恒成立，设 ，
令 ，
则有 ， ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 ....................................15分
18.已知 ，函数 .
（1）当 时，求使 成立的 的集合；
（2）若 在区间 的最大值为2，求实数 的值;
（3）求函数 在区间 上的最小值.
（1） ..........1分
（2）
(i)当 时，
， 在区间 的最大值 ，舍， 在区间 的最大值 ，舍...............6分
（ii）当 时，
在区间 的最大值 ，成立..................7分
（iii） 时 ，此时
在区间 的最大
值 ，成立...........................9分
....................................10分
................................11分
.......................12分
..................................14分
........................................16分
........................17分19. 已知函数 是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数 的最小值为﹣3，求实数m的值；
（3）若关于x的方程 有两根，求实数 k的
取值范围.
解：（1）
，
而
∴2ax+2x＝0 a＝﹣1；...................................4分
（2） ⇒ ，
∴ ，
故函数g（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）的最小值为﹣3，
令2x+2﹣x＝t（t≥2），...........................................6分
故h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）的最小值为﹣3，
则 ，或 ，...............................8分
解得 ；..........................................9分
（3）由 ，
令 ，
故当x≥0时，函数f（x）单调递增，由函数f（x）为偶函数，可知函数 f（x）的增区间为[0，+∞），减区间为（﹣∞，
0），
令n＝f（x）﹣1，有n≥f（0）﹣1＝log 2﹣1＝0，
2
方程[f（x）﹣1+k][f（x）﹣1﹣4k]+2k2+k＝0（记为方程①）可化为（n+k）（n﹣4k）
+2k2+k＝0，
整理为n2﹣3kn﹣2k2+k＝0（记为方程②），.............................11分
Δ＝9k2﹣4（﹣2k2+k）＝17k2﹣4k，
（i ）当Δ＝0时，k＝0时，方程②的解为n＝0，可得方程①仅有一个解为x＝0；
时，方程②的解为 ，可得方程①有两个解；.......................13
分
（ii）当Δ＞0时，可得 或k＜0，
令 n2﹣3kn﹣2k2+k，则 一正一负两根，
.............................................16分
或k＜0或 ......................................17分
（若令 则 ，方法类似）
