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2025-2026（一）天津二中高二年级第二次月考
数学学科试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
1. 抛物线方程为 ，则此抛物线的准线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】 抛物线方程为 ，则 ，可得 ， 抛物线的准线为 .
故选：D．
2. 直线 ： 和直线 ： ，则“ ”是“ ” 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解.
【详解】直线 ： 和直线 ： ，
“ ”，等价于 ，解得 或 .
所以“ ”可以推出 ，但“ ”时未必有 “ ”.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
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学科网（北京）股份有限公司故选：B
3. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由递推关系式可知数列 是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果.
【详解】由 ， ，则 ， ，
所以 ，
所以数列 是周期为3的周期数列，则 .
故选：B.
4. 已知 为椭圆 上一点，则C的焦距为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点 代入C的方程得 ，故 ，再根据焦距概念得解.
【详解】因为点 在C上，代入C的方程得 ，解得 ，故 ，
所以C的焦距为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
5. 已知圆 和圆 相交于A，B两点，则弦AB的长为（
）．
A. B. C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】由题意知圆 ，即圆 ，
圆心为 ，半径 ，
圆 ，即圆 ，
圆心为 ，半径 ，
则 ，即两圆相交，
将圆 和圆 的方程相减，
可得直线 的方程为 ，
则 到直线 的距离为 ，
故弦 的长为 ，
故选：A
6. 已知点 ，线段 为 的一条直径．设过点 且与 相切的两条直线的
斜率分别为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据 可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解.
【详解】由于点 ，线段 为 的一条直径，故圆心 ,即 ，
圆的半径为 ,
由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为 ，
由相切可得 ，化简可得 ，
故 是方程 的两个根，故
故选：D
7. 如图，在正四棱锥 中， ， ，设平面 与直线 交于点 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】假设 ，由 ，综合题目条件得 ，利
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学科网（北京）股份有限公司用共面向量基本定理求解.
【详解】假设 ，
因为 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ,
因为 、 、 、 四点共面，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
8. 设 为数列 的前 项积，已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，则可将 化为 ，结合等差数列定义可得
是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用 计算即可得.
【详解】由 为数列 的前 项积，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则由 ，可得当 时，有 ，
又当 时， ，则 ，即 ，则 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，则 ，
故 .
故选：D.
9. 如图，三棱锥 中， ， ， 分别
为 的中点，点 在线段 上，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到 ，再利用模长公式及数量积
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学科网（北京）股份有限公司的运算，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
又 ， ，
则
，
所以 ，
故选：D.
10. 如图所示，双曲线 与抛物线 有公共焦点 ，过
作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 ，延长 与抛物线 相交于点 ，若 ，双
曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】可求出 ，再由 可知点 为线段 的中点，可得 ，根据
点在抛物线上可得其坐标，可得 点坐标，代入渐近线方程可建立 的关系式求得 .
【详解】由双曲线 与抛物线 有公共焦点，可得 ；
又点 到渐近线 的距离为 ，即 ；
由 可知点 为线段 的中点，可得 ；
设 ，由抛物线定义可知 ，解得 ；
由 可得 ，
利用等面积可知 ，解得 ，则 ，
即可得 ，
又点 在渐近线上，即 ，可得 ，
再由 ，联立可得 ，即 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题目中的条件，利用双曲线和抛物线性质构造 的齐次方程
可直接求得离心率.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11. 经过点 且在 轴和 轴上的截距相等的直线的方程为__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意将问题分直线过原点和不过原点两种情况求解，然后结合待定系数法可得到所求的直线
方程．
【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为 ，
∵点 在直线上，
∴ ，
∴直线方程为 ，即 ．
（2）当直线不过原点时，设直线方程为 ，
∵点 在直线上，
∴ ，
∴ ，
∴直线方程为 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司综上可得所求直线方程为 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截
距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是
否为零，分为直线过原点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用．
12. 已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的标准方程为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】设所求双曲线方程为 ，将 代入可得 ，从而求出双曲线方程.
【详解】设与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为 ，
将 代入 得 ，
故所求双曲线方程 为，即 .
故答案为：
13. 已知空间内三点 ， ， ，则点 到直线 的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ， ，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】空间内三点 ， ， ，
则 ， ，
所以点 到直线 距离 .
的
故答案为： .
14. 已知数列 的前 项和 ，则 的前12项和为___________．
【答案】80
【解析】
【分析】根据 ，先求出数列 的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求
解数列 的前12项的和即可.
【详解】因为 ，
当 时， ；
当 时， 满足上式；
所以 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以
．
故答案为：80.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知椭圆 的右焦点为F，以F为焦点的抛物线 与椭圆的一个
交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.
【详解】根据椭圆和抛物线对称性及 轴，由 在抛物线上得 ， 在椭圆上得
.则由条件得： 且
即得 .
解得 （舍去），所以
故答案为:
16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过点 且与双曲线 交于
两点，若 ，则下列说法中正确的序号为___________．
①双曲线 的虚轴长为 ；
②双曲线 的离心率为 ；
③ 的面积为 ；
④双曲线 的渐近线方程为 ．
【答案】②④
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据双曲线解析式判断虚轴长度；利用双曲线定义和余弦定理求解离心率；由离心率公式得到
的值，即得到渐近线方程；利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
关于①，因为双曲线方程为 ，所以可得 ，
则虚轴长为 ，故①错误.
关于②，令 ，
由双曲线定义知 ，又 ,
所以 ，得 ，
所以 ，
又因 ，
为
得 ，故 ，所以②正确.
关于③，由上可知 ， ，
则 ，
故 ，所以 ，故③错误.
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学科网（北京）股份有限公司关于④，由②可知离心率 ，
得到双曲线的渐近线方程为 ，故④正确.
故答案为：②④
三、解答题：本大题共3个小题，共36分．
17. 为等差数列 的前n项和， 已知
（1）求数列 的通项公式;
（2）求 ，并求 的最小值.
【答案】（1）
（2） ，最小值为
【解析】
【分析】（1）由等差数列 的通项公式和前 项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列
的通项公式．
（2）求出 ．从而 时， 的最小值为 ．
【小问1详解】
为等差数列 的前 项和， ， ．
，
解得 ， ，
数列 的通项公式 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司．
时， 的最小值为 ．
18. 如图，直三棱柱 中， ， ， ，M是 的中点，N
是BC的中点，过点N作与平面 平行的直线PN，交 于点P．
（1）证明： 平面AMN；
（2）求 与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 已 知 构 建 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 进 而 得 到
，利用向量数量积的坐标运算得到 ，
，即得垂直关系，最后应用线面垂直的判定证明结论；
（2）根据已知求得 ，再求平面 的一个法向量 ，结合 ，向
量法求线面角的正弦值；
（3）应用向量法求点面距离即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
在直三棱柱中 ，则 两两垂直，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，则 ，
所以 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 且都在平面 内，则 平面AMN；
【小问2详解】
设 ， ，平面 的一个法向量为 ，
由 平面 ，则 ，可得 ，故 ，
设平面 的一个法向量 ， ， ，
所以 ，取 ，则 ，
所以 ，
故 与平面PMN所成角的正弦值为 ；
【小问3详解】
由（1）知平面 的一个法向量为 ，由（2）知 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点P到平面AMN的距离 .
19. 已知椭圆 离心率为 ，且过点 .
的
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 在椭圆 上，且 ，
①证明：直线 过定点；
②求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①答案见解析；②
【解析】
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点 满足椭圆方程，列出关于 的方程求解，进而得到
椭圆方程；
（2）①由 ，可得 ，由题意知直线 的斜率一定存在，设直线方程为 ，
联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定理得出 ，进而证得结论；②由①知，直线
的方程为： ，求得点 到直线 的距离 ，联立直线 与椭圆的方程，运用韦达定理，
弦长公式和三角形的面积公式进行求解.
【小问1详解】
由题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
故椭圆方程为： .
【小问2详解】
①设点 .
因为 ， ，即
由题意知直线 的斜率一定存在，设直线方程为 ，
联立 ，消去 并整理得： ，
根据 ，代入 整理可得：
，
将 代入，得 ，
整理得： ，解得 或 ，
因为 时直线恒过定点 ，不合题意，舍去，
所以 ，直线恒过定点 .
②由①知，直线 的方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司点 到直线 的距离 ，
联立 ，消去 并整理得： ，
，
所以 的面积 ，
令 ，则 ， ，
，
因为 ，所以 时面积 最大，最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
