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新泰中学 2025 级高一上学期第一次阶段性考试
出题人：刘杨 审核：房立春
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的.）
.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：A
2. 已知命题 ，则命题 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】因为命题 ，
所以命题 的否定为： ，
故C正确；
故选：C.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司B. 集合 与集合 是相同的集合
C. 若 ， ，则
D. 最小值为8
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质，运用作差法判断选项 A，C，根据集合的性质结合二次函数性质判断选项
B，利用基本不等式判断选项D．
【详解】选项A： ，
， ，则 ， ，
，即 ，当 时， ，故A错误；
选项B：集合 表示 的定义域，即 ，集合 表示 的值域，即 ，
，故B错误；
选项C： ，
又 ， ，则 ， ，
，即 ，故C正确；
选项D：令 ，由 得 ，表达式变为 ，
根据基本不等式： ，当且仅当 时取等号，即等号不成立，
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学科网（北京）股份有限公司的最小值不为8，故D错误．
故选：C．
4. 设 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，分析函数 在 上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件
判断可得出合适的选项.
【详解】设 ，则函数 在 、 上均为增函数，
又因为函数 在 上连续，故函数 在 上单调递增，
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，可得 .
因此，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
5. 已知不等式 的解集为 或 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得 的关系，再分析选项即可求解.
【详解】对于A，由已知可得 开口向下，即 ，故A错误；
对于BCD， 是方程 的两个根，
所以 ，
所以 ，
，故BC错误，D正确；
故选：D.
6. 已知 ，则以下错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为 ，所以 ，
对于A， ， , ,
综上可得 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ，故C正确；
对于D，当 时， ，故D错误；
故选：D.
7. 已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分 和 两种情况讨论，即可求出 的取值范围．
【详解】当 时，不等式 化为 恒成立，
当 时，不等式 不能恒成立，
当 时，要使不等式 恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，不等式 对任意 恒成立， 的取值范围是 ，
故选：A.
8. 已知 ， ，且 ，则 最小值 （ ）
为
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先分离常数得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，结合 可知：原式 ，
且
当且仅当 ， 时等号成立．
即 最小值为 ．
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式性质及条件判断A、D；根据题意得 ，结合不等式的性质判断B；结合题
意，利用函数 的单调性判断C.
【详解】对于A，因 为，所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，由于 且 ，故 ，所以 ，
故 ，B正确；
对于C，因为 ，且函数 在R上单调递增，所以 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，因为 ，所以 ，所以 ，故D错误.
故选：BC
的
10. 中国古代重要 数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩
三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ，
，若 ，则下列选项中符合题
意的整数 为（ ）
A. 8 B. 23 C. 37 D. 128
【答案】BD
【解析】
【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.
【详解】因为 ，故 ；
，故 ；
因 ，则 ； 则 .
故选：BD.
11. 已知x，y均为正实数，则（ ）
A. 的最大值为
B. 若 ，则 的最大值为8
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由 ，化简得到
，得出 ，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】A中，因为 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 ，所以A正确；
B中，由 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ，所以B不正确；
C中，若 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以C正确；
D中，由 ，可得 ，
则 ，
令 ，则 ，
又由 ，所以当 ，可得 ，
所以 ，所以D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 已知集合 ，若 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论 和 ，注意元素的互异性.
【详解】因为 ，所以 或 ，
当 ，即 时， ，此时集合 中有重复元素3，所以 不符合题意，舍去；
当 时，解得 或 （舍去），此时当 时， 符合题意，
综上可知， ，
故答案为： .
13. 若关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________.
【答案】 或
【解析】
【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解.
【详解】由 得： ，
①当 时，不等式 的解集为： ，
因为解集中恰有3个整数，所以 ；
②当 时，不等式 的解集为 ，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司③当 时，不等式 的解集为： ，
因为解集中恰有3个整数，所以 ；
综上所述：实数m的取值范围是： 或 .
故答案为： 或
14. 已知函数 ， ，则 ________
【答案】 ， 且
【解析】
【分析】根据已知关系及解析式直接写出 的解析式，并标注函数的定义域.
【详解】由 ，且 ，可得 且 ，
所以 ，其定义域为 且 .
故答案为： ， 且
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合 或 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解，
（2）根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
因为 或
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
或 ，
由 得当 时， ，解得 ；
当 时， ，即 ，
要使 ，则 ，得 .
综上， .
16. 设集合 ， ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求出集合 、 ，由 可得出关于 的等式，进而可求得实数
的值；
（2）求得集合 ，由 可得出实数 所满足的不等式组，进而可解得实数 的取值范围.
【详解】（1） ， ，
，且 ，
所以， ，解得 ；
（2） ， ，则 或 .
又 ，所以 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属
于基础题.
17. 已知二次函数 的图像过点 和原点，对于任意 ，都有
．
（1）求函数 的表达式；
（2）设 ，若函数 ≥ 在 上恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意得 ，得 ，从而 恒成立，得
，即可求解；
（2）依题意可得 ，分 和 两种情况，当 时，分离变量进行求解即可.
【小问1详解】
由题意得 ，所以 ，
因为对于任意 ，都有 ，即 恒成立，
故 ，解得 ， .
所以 ；
【小问2详解】
由 ≥ 得
当 时，不等式恒成立；
当 时， ，
令 ，则 ，
即 ，
当且仅当 时，即 时，实数 取得最大值 .
18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏
的面积之和为 ，四周空白的宽度为 ，两栏之间的中缝空白的宽度为 ，设广告牌的高为
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；
（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．
【答案】（1） ；（2）设计广告牌的高度为 时广告牌的面积最小，且最小
值为 ．
【解析】
【分析】（1）设广告牌的宽为 ，则由题意可得 ，且 ，从而可求得广告牌的面积y
关于x的表达式；
（2）由（1）可得 ，然后利用基本不等式求解即可
【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为 ，则 ，
所以 ，且 ，
所以广告牌的面积 ．
（2）由（1）知，
，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以当 时，广告牌的面积最小最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司答：设计广告牌的高度为 时广告牌的面积最小，且最小值为 ．
19. 已知函数 .
（1）关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式
的解集;
（2）已知 ，当 时， ，
①若存在正实数a，b，使不等式 有解，求 的取值范围;
②求 的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）① ，②36
【解析】
【分析】（1）由根与系数的关系求出 关系，代入所求不等式，分类讨论解集；
（2）由条件得 ，再利用基本不等式求解问题.
【
小问1详解】
因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 ，即
所以不等式 可转化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，即 ，
当 ，即 时，解得 ;
当 ，即 时，解得 ;
当 ，即 时，解得 ，
综上所述:当 时，不等式的解集为 ;
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
【小问2详解】
因为当 时， ，所以 ，
即 ，所以 ，
①若存在正实数a，b，使不等式 有解，则 ，
，
当且仅当 ，即 时， ，
所以 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司②由 ，可得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为36.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式 有解，则
，利用基本不等式求出 ，则 ，可解不等式.
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