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高河中学 2025-2026 学年度第一学期 12 月月考
高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求集合 ， ，再求它们的交集.
【详解】因为集合 ，
，
所以 ．
故选：C
2. 在下列区间中，方程 的实数解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解.
【详解】由题意函数 单调递增，且 ，
由零点存在定理可知方程 的实数解所在的区间只能为 .
故选：C.
3. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若 ，则 ，所以“ ”不能得出“ ”；
若 ，则 ，所以“ ”不能得出“ ”.
综上可知，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 6 B. 9 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号．
故选：C．
5. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 每个正方形都是平行四边形
B. 是无理数 ， 是无理数
C. ，
D. ，关于x的方程 有实数根
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.
【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故A错误；
对于B，当 时，满足 是无理数 ，但 是有理数，故该命题是假命题，
所以该命题的否定是真命题，故B正确；
对于C，当 时，满足 ，此时 ，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故C错误；
对于D，对于方程 ，有 恒成立，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故D错误；
故选：B.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由 得 ，
所以 ，
解得 ，
故选：A.
7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为
原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内
碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 ，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则 ，即 ，
且生物体内碳14原有初始质量为Q
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为
即
故选:D.
8. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，又
，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到 在 上是减函数，再根据 判断.
【详解】解： 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，
在 上 是减函数.
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
，
，
即 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论.
【详解】函数 ，函数定义域都是R，
， ，
设 ， ，
即 ， 不是偶函数，A选项错误；
设 ， ，
是奇函数，B选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
是偶函数，C选项正确；
设 ， ，
是偶函数，D选项错误.
故选：BC
10. 已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用幂指对函数的性质比较大小即可.
【详解】∵ .
∴
即 ，
故 项正确， 选项不正确；
∵
∴ ，
.
故 选项正确
故选：AC
11. 已知 的解集是 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 不等式 的解集是
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学科网（北京）股份有限公司B. 的最小值是
C. 若 有解，则 的取值范围是 或
D. 当 时， 的值域是 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得 ，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利
用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.
【详解】因 的解集是（ ，则 是关于 的方程 的二根，且 ，
于是得 ，即 ，
对于A，不等式 化为： ，解得 ，故A正确；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，故B正确；
对于C， ，令 ，则 在 上单调递增，
即有 ，因 有解，则 ，
解得 或 ，故C不正确；
对于D，当 时， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司依题意， ，由 得， 或 ，因 在 上的最小值为 ，
从而得 或 ，因此 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _____.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数恒等式和对数的运算法则求解.
【详解】 ，
，
，
，
，
，
故答案为：
13. 已知函数 ，若方程 的实数解有3个，则实数k的取值范围是
____________.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合求解，函数 的图象与直线 有3个交点即可求得k的取值范围.
【详解】当 时， 其图象是抛物线的一部分， 最小值为
；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，其图象是指数型函数的一部分，
的图象如图所示：
由图知函数 的图象与直线 有3个交点时， ，即实数k的取值范围是 .
故答案为： .
14. 若函数 在区间 上为减函数，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，分 和 两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解
得即可.
【详解】解：令 ，则 ，
当 时， 是增函数，由 在区间 上为减函数，
则 在 上为减函数，故 ，即 ，解得 ；
当 时， 是减函数，由 在区间 上为减函数，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上为增函数，故 ，即 ，解得 ，
综上， 的取值范围是. .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分；16，17题15分；18，19题17分）
.
15 已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2） 即 ，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.
【小问1详解】
若 ，由 ，解得 ，则 ，
又 ，即 等价于 ，解得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
【小问2详解】
由 等价于 ，
当 时，集合 ，符合 ；
当 时，由 ，解得 ，
即 ，又 ，
，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
16. 已知函数 ．
（1）若 ，证明：存在 ，使 成立；
（2）若 成立；求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明过程见答案；
（2）当 时， ；当 时， ．
【解析】
【分析】（1）当 时， 在 上单调递增，由零点存在性定理证明即可；
（2）分 与 两种情况讨论，利用函数单调性将 等价转化为解
或 的不等式即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递增，
．
．
由零点存在性定理知：存在 ，使 成立．得证．
【小问2详解】
当 时， 单调递增， 等价于 ，解得 ．
当 时， 单调递减， 等价于 ，解得 ．
综上：当 时， ；当 时， ．
17. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会
减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）
的关系为：
1 1
x 2 3 6 9
2 5
3. 3. 3. 4. 4.
y 4
2 5 8 1 2
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：① ，
② ，③ ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数
量达到5百万个．
【答案】（1） ,理由见解析；
（2）81
【解析】
【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在 有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，
繁殖速度又会减慢，故只有 符合.
（2）可选取数据 ，带入即可计算出 ，则当 时即可求出答案.
【小问1详解】
最符合实际的函数模型为① ，
根据图像知函数解析式需满足函数在 有定义，所以② 不满足，
的
又随着单位体积内细菌数量 增加，繁殖速度又会减慢，所以③ 不符合，
只有① 满足，故 最符合.
【小问2详解】
可选取表格中的两组数据为： ，
代入 得 ，
则 ，
当 时， ，
所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.
18. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 为奇函数，证明： ；
（2）讨论 的单调性.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；
（2）根据单调性的定义证明 的单调性.
【小问1详解】
证明： 的定义域为 ，
对 ，都有 ，
又 为奇函数，则必有 ，
即 ，
整理可得 ，
因为 ，所以 ，命题得证．
【小问2详解】
设 ， ，且 ，
，
易知 ， ，又 在 上为增函数， ，可得 ，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为常函数无单调性；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 为减函数．
19. 已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数与指数函数的性质求解；
（2）由对数函数性质化简不等式，再分离参数转化为求新函数的最值，从而得参数范围．
【小问1详解】
由题意可知 ，即 ．
令 ，则有 ，解得 ，所以 ，即 ．
所以不等式 的解集为 ．
【小问2详解】
由题意可知 ，即 ，
即 ．又 ，
令 ， ，易知 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，因为 ， ，所以
故实数 的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司第16页/共16页
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