2024年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．（3分）下列各式中运算正确的是 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 ( ) A． 3 a − 2 a = 1 B． a − ( − a + 1 ) = − 1 C． − 3 2 + ( − 3 ) 2 = 0 D． ( − 2 a ) 3 = 6 a 3 2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 3．（3分）实数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有 ( ) （1） a b c  0 ； （2） − c  a  − b ； （3） 1 c  1 a ； （4） | c | | a | ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000 这个数用科学记数法表示为 ( ) A．0.32106 B． 3 .2  1 0 5 C．3.2109 D．32108 5．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是 ( ) A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于136．（3 分）如图，在 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B C D 中， A B = 4 ， B C = 6 ，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段 E F ， 若四边形 E C D F 为菱形则a的值可以为 ( ) A．2 B．3 C． 2 3 D． 3 2 7．（3分）下列命题中是真命题的是 ( ) A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为60 C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 8．（3 分）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年 1 月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份 的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下 降率为 x ，则根据题意所列方程正确的是 ( ) A． 1 3 (1 − x ) 2 = 1 2 .8 B．13(1−x2)=12.8 C．12.8(1−x2)=13 D． 1 3 (1 + x ) 2 = 1 2 .8 9．（3分）如图，抛物线 y = a x 2 + c 经过正方形 O A B C 的三个顶点 A ， B ， C ，点 B 在 y 轴上，则ac的值 为 ( ) A．−1 B．−2 C．−3 D．−410．（3分）若关于 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 x 的一个一元一次不等式组的解集为 a  x  b ( a 、 b 为常数且 a  b ) ，则称 a + 2 b 为这个 不等式组的“解集中点”．若关于 x 的不等式组  2 x x −  4 x  + m m 的解集中点大于方程 3 ( x + 1 3 ) = 2 x + 3 的解且小于 方程 2 x + 6 = 4 x 的解，则 m 的取值范围是 ( ) A． 0  m  1 B． m  0 C．m1 D． − 2  m  1 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．） 3 11．（3分）若分式 有意义，则实数 x−2 x 的取值范围是 ． 12．（3分）分解因式：x2y−y3 =． 13．（3分）方程 5 x 3 + 1 = 1 2 x 的解为 ． 14．（3分）如图， 将三角尺直角顶点放在直尺一边上，  1 = 3 0  ，2=55，则3度数 =  ． 15．（3分）如图，在  A B C 中，AB= AC，点O在边AC 上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且 与边 A B 相切于点D，交边 B C 于点E，则劣弧DE的长是 （结果保留)． 16．（3分）如图，已知在直角三角形ABO中，点 B 的坐标为 ( − 1 , 3 ) ，将ABO绕点O旋转至△ABO的 位置，使点A落在边 O B 上，点B落在反比例函数 y = k x 的图象上，则 k 的值为 ．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解不等式组： 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  x 5  x − x 3 + 3 2 5 + x ． 18．（4分）如图，点 E 、 F 在线段BC上，AE//DF ，  A =  D ，BE=CF，证明：AB=DC． 19．（6分）如图，在 A B C D 中，  D C B = 3 0  ． （1）操作：用尺规作图法过点 D 作 A B 边上的高 D E ；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）计算：在（1）的条件下，若 A D = 4 ， A B = 6 ，求梯形 E B C D 的面积． 20．（6分）已知 A = ( x 2 + 1 − 1 x )  x 2 x + 2 − 2 x x + 1 ． （1）化简 A ； （2）若已知x2 −x−1=0，求 A 的值． k 21．（8分）已知一次函数y=2x+m的图象与反比例函数y= (k 0)的图象交于A，B两点． x （1）当点 A 的坐标为 ( 2 ,1 ) 时． ①求 m ， k 的值； ②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象（不用列表），并依据图象，直接写出不等式 k x  2 x + m 的解集； （2）若将函数y=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，点A，B恰好关于原点对称，求m的值．22．（10分）《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传 志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类： 可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图 所示的垃圾分类扇形统计图． （1）求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.15 万元．若某镇某月生活垃圾清运总量 为2000吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督 导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派 2 名同学参 加．甲班经选拔后，决定从小组3名男生和2名女生中随机抽取2名同学在党员教师的带领下参加小区的 宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率． 23．（10分）如图，以 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 R t A B C 的一边AB为直径作  A B C 的外接圆 O，B的平分线BE交 A C 于 D ，交 O 于 E ，过 E 作 E F / / A C 交BA的延长线于 F ． （1）判断EF是否是 O 切线，并证明你的结论； （2）连接AE，若AE=2 5 ， A B = 1 0 ，求点 C 到直线AB的距离．24．（12分）过点 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 B ( 4 , 2 ) 、 C ( − 1 , 2 ) 的抛物线 y = 2 2 x 2 + b x + c 与 y 轴交于点 A ． （1）求b， c 的值； （2）直线 B C 交 y 轴于点 D ，点 E 是抛物线 y = 2 2 x 2 + b x + c 上位于直线 A B 下方的一动点，过点 E 作直 线 A B 的垂线，垂足为F ． ①求 E F 的最大值； ②当  A B C = 1 2  F A E 时，求点 E 的坐标． 25．（12分）如图，正方形 A B C D 中，点 E 在边 A D 上（不与端点 A ， D 重合），点A关于直线 B E 的对称 点为点F ，连接CF ，设ABE=． （1）求BCF 的大小（用含的式子表示）； （2）过点 C 作 C G ⊥ A F ，垂足为 G ，连接 D G ．试判断 D G 与 C F 的位置关系，并证明所得的结论； （3）将ABE绕点 B 顺时针旋转 9 0  得到  C B H ，点E的对应点为点H ，连接BF，HF．当 s in 5 5  = 时，判断BFH 的形状，并说明理由．2024 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．） 1．（3分）下列各式中运算正确的是 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 ( ) A． 3 a − 2 a = 1 B． a − ( − a + 1 ) = − 1 C． − 3 2 + ( − 3 ) 2 = 0 D． ( − 2 a ) 3 = 6 a 3 【考点】整式的加减；幂的乘方与积的乘方；有理数的混合运算 【解答】解： A 、 3 a − 2 a = a ，故此选项不符合题意； B、a−(−a+1)=a+a−1=2a−1，故此选项不符合题意； C 、−32 +(−3)2 =−9+9=0，故此选项符合题意； D 、 ( − 2 a ) 3 = − 8 a 3 ，故此选项不符合题意； 故选： C ． 2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【解答】接：A图是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B图是中心对称图形，又是轴对称图形，故选项符合题意； C图不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D 图不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选： B ． 3．（3分）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有( ) （1）abc0；（2） 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 − c  a  − b ； （3） 1 c  1 a ； （4） | c | | a | ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】实数与数轴；绝对值 【解答】解：如图， c  − 2  − 1  b  0  1  a ， | c | | a | | b | ， abc0，故（1）符合题意， −ca−b，故（2）符合题意， 1 1  ，故（3）不符合题意， c a |c||a|，故（4）符合题意， 故选： C ． 4．（3分）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000 这个数用科学记数法表示为( ) A． 0 .3 2  1 0 6 B． 3 .2  1 0 5 C．3.2109 D． 3 2  1 0 8 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解答】解： 3 2 0 0 0 0 = 3 .2  1 0 5 ． 故选：B． 5．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( ) A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于13 【考点】随机事件 【解答】解： A 、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意； B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意； C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意； D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；故选： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 B ． 6．（3 分）如图，在 A B C D 中， A B = 4 ， B C = 6 ，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段 E F ， 若四边形 E C D F 为菱形则a的值可以为 ( ) A．2 B．3 C． 2 3 D． 3 2 【考点】平移的性质；平行四边形的性质；菱形的性质 【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，  A B / / C D ， C E / / F D ， C D = A B = 4 ， 将线段 A B 水平向右平得到线段EF，  A B / / E F / / C D ， 四边形 E C D F 为平行四边形， 当 C D = C E = 4 时， E C D F 为菱形， 此时 a = B E = B C − C E = 6 − 4 = 2 ． 故选：A． 7．（3分）下列命题中是真命题的是 ( ) A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为 6 0  C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 【考点】矩形的判定；命题与定理；等腰三角形的性质 【解答】解： A 、正六边形的外角和等于正五边形的外角和，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、正六边形的每个内角都是 1 2 0  ，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意．故选： 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 D ． 8．（3 分）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年 1 月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份 的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下 降率为x，则根据题意所列方程正确的是 ( ) A． 1 3 (1 − x ) 2 = 1 2 .8 B．13(1−x2)=12.8 C．12.8(1−x2)=13 D． 1 3 (1 + x ) 2 = 1 2 .8 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程： 1 3 (1 − x ) 2 = 1 2 .8 ． 故选： A ． 9．（3分）如图，抛物线 y = a x 2 + c 经过正方形 O A B C 的三个顶点 A ， B ， C ，点 B 在 y 轴上，则 a c 的值 为 ( ) A． − 1 B． − 2 C．−3 D． − 4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 【解答】解：过 A 作 A H ⊥ x 轴于H ， 四边形 A B C O 是正方形， AOB=45， AOH =45， AH =OH， 设 A ( m , m ) ，则 B ( 0 , 2 m ) ， m=am2 +c  ， 2m=c解得 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 a m = − 1 ， m = c 2 ， ac的值为 − 2 ， 故选： B ． 10．（3分）若关于 x 的一个一元一次不等式组的解集为 a  x  b ( a 、 b 为常数且 a  b ) ，则称 a + 2 b 为这个 不等式组的“解集中点”．若关于 x 的不等式组  2 x x −  4 x  + m m 1 的解集中点大于方程3(x+ )=2x+3的解且小于 3 方程 2 x + 6 = 4 x 的解，则 m 的取值范围是 ( ) A． 0  m  1 B． m  0 C．m1 D． − 2  m  1 【考点】解一元一次不等式组；一元一次方程的解 【解答】解：由  2 x x −  4 x  + m m 可得： m  x  m + 4 ， 方程 3 ( x + 1 3 ) = 2 x + 3 的解为 x = 2 ， 方程 2 x + 6 = 4 x 的解为 x = 3 ， 关于x的不等式组  2 x x −  4 x  + m m 的解集中点大于方程 3 ( x + 1 3 ) = 2 x + 3 的解且小于方程 2 x + 6 = 4 x 的解，  2  m + m 2 + 4  3 ， 解得 0  m  1 ， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．） 3 11．（3分）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 x2 ． x−2 【考点】分式有意义的条件 【解答】解：由题意得：x−20， 解得：x2，故答案为： 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 x  2 ． 12．（3分）分解因式： x 2 y − y 3 = y ( x + y ) ( x − y ) ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解答】解： x 2 y − y 3 =y(x2 −y2) = y ( x + y ) ( x − y ) ． 故答案为： y ( x + y ) ( x − y ) ． 3 1 13．（3分）方程 = 的解为 5x+1 2x x = 1 ． 【考点】解分式方程 【解答】解：方程两边同时乘以 2 x ( 5 x + 1 ) 得， 3  2 x = 5 x + 1 ，  x = 1 ． 检验：把 x = 1 代入2x(5x+1)=120，且方程左边 = 右边． 原分式方程的解为x=1． 14．（3分）如图， 将三角尺直角顶点放在直尺一边上，  1 = 3 0  ，  2 = 5 5  ，则3度数 = 25  ． 【考点】 J A ：平行线的性质 【解答】解： 如图， a / / b ，   4 =  2 = 5 5  ， 又4=1+3， 3=4−1=55−30=25， 故答案为： 25 ．15．（3分）如图，在ABC中，AB= AC，点O在边AC 上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且 与边 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 A B 相切于点D，交边 B C 于点 E ，则劣弧 D E 的长是 3 2  （结果保留 )  ． 【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；弧长的计算 【解答】解：如图，连接 O D ， O E ， O C = O E ，   O C E =  O E C ， A B = A C ， ABC=ACB， ABC=OEC， AB//OE， BDO+DOE=180， AB是切线， BDO=90，   D O E = 1 8 0  −  B D O = 9 0  ， 903 3 劣弧DE的长是 = ． 180 2 3 故答案为： ． 216．（3分）如图，已知在直角三角形 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B O 中，点B的坐标为(−1, 3)，将  A B O 绕点 O 旋转至△ A B O 的 位置，使点 A  落在边 O B 上，点 B  落在反比例函数 y = k x 的图象上，则 k 的值为 3 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化 − 旋转 【解答】解：作BC⊥x轴，垂足为点 C ， 点 B 的坐标为 ( − 1 , 3 ) ， 2 OB= 12 +( 3) =2， ta n  A O B = A O B A = 3 ，   A O B = 6 0  ， 根据旋转性质可得， O B  = 2 ，  B O B  = 6 0  ， BOC=60， OC=1，BC= 3，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15  B (1 , 3 ) ， B (1 , 3 ) k 在反比例函数y= 图象上， x  k = 3 ． 故答案为： 3 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）解不等式组：  x 5  x − x 3 + 3 2 5 + x ． 【考点】解一元一次不等式组 【解答】解：  x 5  x − x 3 + 3 2 5 + x ① ② ， 解不等式①，得： x 1 ， 解不等式②，得： x  2 ， 该不等式组的解集为 1 x  2 ． 18．（4分）如图，点 E 、 F 在线段 B C 上， A E / / D F ，  A =  D ， B E = C F ，证明： A B = D C ． 【考点】全等三角形的判定与性质 【解答】证明： A E / / D F ， AEF=DFE， 180−AEF =180−DFE，   A E B =  D F C ， 在  A B E 和  D C F 中， A=D  AEB=DFC ，  BE=CF ABEDCF(AAS)，16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  A B = D C ． 19．（6分）如图，在 A B C D 中，  D C B = 3 0  ． （1）操作：用尺规作图法过点 D 作 A B 边上的高 D E ；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）计算：在（1）的条件下，若 A D = 4 ， A B = 6 ，求梯形 E B C D 的面积． 【考点】作图—复杂作图；梯形；平行四边形的性质 【解答】解：（1）如图， D E 即为所求． （2） 四边形 A B C D 为平行四边形， AB=CD=6，  A =  D C B = 3 0  ． 在 R t A D E 中，  A = 3 0  ， 1 DE= AD=2， 2 A E = A D  c o s 3 0  = 4  2 3 = 2 3 ， BE=6−2 3， 梯形 E B C D 1 1 的面积为 (BE+CD)DE= (6−2 3+6)2=12−2 3． 2 2 20．（6分）已知 A = ( x 2 + 1 − 1 x )  x 2 x + 2 − 2 x x + 1 ． （1）化简 A ； （2）若已知 x 2 − x − 1 = 0 ，求A的值． 【考点】分式的化简求值 2 1 x2 −x 【解答】解：（1）A=( − ) x+1 x (x+1)2 2x−(x+1) (x+1)2 =  x(x+1) x(x−1) x−1 (x+1)2 =  x(x+1) x(x−1)初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 = x + 2 x 1 ； （2） x 2 − x − 1 = 0 ，  x 2 = x + 1 ， 则原式 = 1 ． 21．（8分）已知一次函数 y = 2 x + m 的图象与反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象交于 A ， B 两点． （1）当点A的坐标为(2,1)时． ①求 m ， k 的值； ②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象（不用列表），并依据图象，直接写出不等式 k x  2 x + m 的解集； （2）若将函数 y = 2 x + m 的图象沿 y 轴向下平移4个单位长度后，点 A ， B 恰好关于原点对称，求 m 的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：（1）① 一次函数 y = 2 x + m 的图象与反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象交于 A ( 2 ,1 ) ，  1 = 2  2 + m ， 1 = k 2 ，  m = − 3 ， k = 2 ． ②一次函数解析式为 y = 2 x − 3 ，反比例函数解析式为 y = 2 x ，联立方程组 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  y y = = 2 2 x x − 3 ， 解得  x y = = 2 1 ，  x y = = − − 1 24 ，  A ( 2 ,1 ) ， B ( − 1 2 ，−4)． k 1 由图象可知不等式 2x+m的解集为：x− 或 x 2 0  x  2 ． （2） 平移后的点A，B恰好关于原点对称， 平移后的直线AB过原点，即平移后直线解析式为y=2x， 平移前直线AB解析式为： y = 2 x + 4 ，  m = 4 ． 22．（10分）《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传 志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类： 可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图 所示的垃圾分类扇形统计图． （1）求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.15 万元．若某镇某月生活垃圾清运总量 为2000吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督 导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派 2 名同学参 加．甲班经选拔后，决定从小组3名男生和2名女生中随机抽取2名同学在党员教师的带领下参加小区的 宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；用样本估计总体【解答】解：（1）36020%=72， 答：图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数为 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19 7 2  ； （2） 2 0 0 0  2 0 %  0 .1 5 = 6 0 （万元）， 答：估计该月可回收物可创造的经济总价值是60万元； （3）列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有12种， 被抽到的两名学生恰好是一男一女的概率为 1 2 2 0 = 3 5 ． 23．（10分）如图，以 R t A B C 的一边AB为直径作  A B C 的外接圆 O，B的平分线BE交 A C 于 D ，交 O于 E ，过 E 作 E F / / A C 交 B A 的延长线于 F ． （1）判断 E F 是否是 O 切线，并证明你的结论； （2）连接 A E ，若AE=2 5 ， A B = 1 0 ，求点 C 到直线 A B 的距离． 【考点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；圆周角定理；角平分线的性质 【解答】（1）证明： E F 是 O 切线，理由如下： 如图，连接 O E ， BE是ABC的平分线，20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季   A B E =  C B E = 1 2  A B C ，  A E = C E ，  O E ⊥ A C ， EF //AC ， OE⊥EF ， OE 是 O的半径，  E F 是 O的切线； （2）解： A B 是 O的直径， AEB=ACB=90，   E A B +  E B A = 9 0  ， 在 R t A E B 中， A B = 1 0 ， A E = 2 5 ，  B E = A B 2 − A E 2 = 4 5 ， O A = O E ，   E A O =  A E O ，  O E F = 9 0  ，即AEF+AEO=90， AEF=ABE，  F =  F ，   F A E ∽  F E B ， AF EF AE 2 5 1  = = = = ， EF BF EB 4 5 2 设 E F = x ，则BF =2x， O F = 2 x − 5 ， 在 R t O E F 中， E F = x ， O E = 5 ，OF =2x−5， O E 2 + E F 2 = O F 2 ，即25+x2 =(2x−5)2， 解得 x = 2 0 3 或x=0（舍去）， 20 25 即EF = ，OF =2x−5= ， 3 3 EF //AC ，F =BAC， 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21  O E F =  B C A = 9 0  ，   A B C ∽  F O E ，  A B C C = E O F E = 4 3 ， 在 R t A B C 中， A B = 1 0 ， A B C C = 4 3 ，  A C = 8 ， B C = 6 ， 点 C 到 A B 的距离为 8  1 0 6 = 2 4 5 ． 24．（12分）过点 B ( 4 , 2 ) 、 C ( − 1 , 2 ) 的抛物线 y = 2 2 x 2 + b x + c 与 y 轴交于点 A ． （1）求b， c 的值； （2）直线 B C 交 y 轴于点 D ，点 E 是抛物线 y = 2 2 x 2 + b x + c 上位于直线 A B 下方的一动点，过点 E 作直 线 A B 的垂线，垂足为F ． ①求EF的最大值； ②当  A B C = 1 2  F A E 时，求点 E 的坐标． 【考点】二次函数综合题 【解答】解：（1）由题意得：  2 2 = = 2 2 2 2  − 1 b 6 + + c 4 b + c ，  3 2 b=− 解得： 2 ，  c=− 2 2 3 2 故抛物线的表达式为：y= x2 − x− 2， 2 2即 22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 b = − 3 2 2 ， c = − 2 ； （2）①由抛物线的表达式知，点A(0,− 2)， 由点 A 、 B 的坐标得，直线 A B 的表达式为： y = 2 2 x − 2 ， 由直线 A B 的表达式知，其和 x 轴坐标轴的夹角为 4 5  ， 故点 E 作 E H / / y 轴交 A B 于点 H ，则EHF =45， 则 E F = 2 2 E H ， 设点 H ( x , 2 2 x − 2 ) ，则点 E ( x , 2 2 x 2 − 3 2 2 x − 2 ) ， 则 E H = 2 2 x − 2 − ( 2 2 x 2 − 3 2 2 x − 2 ) = − 2 2 ( x − 2 ) 2 + 2 2 ， 2 − 0， 2 故 E H 有最大值， 当 x = 2 时， E H 的最大值为： 2 2 ， 则 E F 的最大值为：2； ②过点 F 作 F N / / C B 交抛物线于点 N ， 则ABC=BFN ， 1 ABC = FAE， 2 则EFN =ABC， 2 而直线AB的表达式为：y= x− 2 ， 2 2 则AE的表达式为：y=− x− 2， 2联立直线 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23 A E 的表达式和抛物线的表达式得： − 2 2 x − 2 = 2 2 x 2 − 3 2 2 x − 2 ， 解得： x = − 2 （舍去）或2， 则点 E 的坐标为： ( 2 , − 2 2 ) ． 25．（12分）如图，正方形 A B C D 中，点 E 在边 A D 上（不与端点 A ， D 重合），点A关于直线 B E 的对称 点为点 F ，连接CF ，设ABE=． （1）求BCF 的大小（用含的式子表示）； （2）过点 C 作 C G ⊥ A F ，垂足为 G ，连接 D G ．试判断 D G 与 C F 的位置关系，并证明所得的结论； （3）将  A B E 绕点 B 顺时针旋转 9 0  得到  C B H ，点E的对应点为点 H ，连接BF， H F ．当 s in 5 5  = 时，判断  B F H 的形状，并说明理由． 【考点】四边形综合题 【解答】解：（1）如图， 由题意得：BA=BF ，FBE=ABE=， 四边形 A B C D 为正方形，  A B = B C ，  A B C = 9 0  ，   B F = B C ， BCF =BFC，FBC=90−2， 180−(90−2) BCF =BFC= =45+； 2（2） 24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 D G 与 C F 的位置关系为： D G / / C F ．理由： 连接 A C ，如图， 四边形 A B C D 为正方形，  A C = 2 C D ，  A C D = 4 5  ， A B = B C ， 由（1）知： B F C 4 5   =  + ， 点 A 关于直线 B E 的对称点为点 F ， BE⊥AF， A B E F B E   =  = ， BFA=90−， A F C B F A B E C 4 5 9 0 1 3 5     =  +  =  + +  − =  ， CFG=45， C G ⊥ A F ， CFG为等腰直角三角形， FCG=45，FC= 2CG， AC FC  = = 2， CD CG  A C D =  F C G = 4 5  ， FCA=DCG，   A F C ∽  D G C ， AFC=DGC=135， FGC=90， DGA=45， DGA=CFG=45， DG//CF ． （3）BFH 的形状为等腰三角形，理由：过点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25 H 作 H K ⊥ B F 于点K，如图， 将ABE绕点B顺时针旋转 9 0  得到  C B H ，点E的对应点为点H ，   B A E   B C H ， A B E C B H    =  = ，BH =BE， A E = C H ， A B = B C ， FBC=90−2． 5 sin= ， 5 AE 5 1  = = ， BE 5 5 设 A E = C H = a ，则BE=BH = 5a，  A B = B E 2 − A E 2 = 2 a ． BF = AB=2a． F B H F B C C B H 9 0    =  +  =  − ． H K ⊥ B F ， K H B 9 0 F B H    =  −  = ， s in K H B s in 5 5    = = ， BK 5  = ， BH 5 BK 5  = ， 5a 5 BK =a， 1 BK = BF， 2BK =BF， KH 为 26 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 B F 的垂直平分线，  H B = H F ， BFH为等腰三角形．