初中数学
2025年⼴东省⼴州市越秀区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市越秀区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
下列四个数中，最小的数是（ ）
A. -4
B. -2
C. 0
D. 5
答案
A
解析
解：∵-4＜-2＜0＜5，
∴最小的数是：-4．
故选：A．
单选题
剪纸艺术，作为我国最古⽼的⺠间⼿⼯技艺之⼀，承载着千年农耕⽂明的智慧与美学．下列剪纸图
案中，轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
/ B
解析
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称
图形的定义逐项分析即可．
解：选项A、C、D均不能找到这样的⼀条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够
完全重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的⼀条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是
轴对称图形．
故选B．
单选题
学校举⾏读书节活动，某小组的5名同学在这次活动中的读书本数分别是：10，8，7，12，8．下列
关于这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数为12
B. 中位数为7
C. 平均数为10
D. 极差是5
答案
D
解析
此题考查了众数、中位数、平均数、极差，根据众数、中位数、平均数、极差等定义逐⼀排
除即可，正确理解各定义及计算公式是解题的关键．
解：∵某小组的5名同学在这次活动中的读书本数分别是：10，8，7，12，8，
∴从小到⼤排序为：7，8，8，10，12，
∴A、众数为8，原选项不符合题意；
B、中位数为8，原选项不符合题意；
7+8+8+10+12
C、平均数为 =9，原选项不符合题意；
5
D、极差是12−7=5，原选项符合题意；
故选：D．
单选题
下列运算正确的是（ ）
A. 2+√2=2√2
B. 1
2a−1=
2a
C. 3mn−mn=2mn
D. (a−1) 2 =a2−1
/ 答案
C
解析
本题考查了负整数指数幂、完全平⽅公式、合并同类项，据此相关性质内容进⾏逐项分析，
即可作答．
解：A、2,√2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
2 1
B、2a−1= ≠ ，故该选项不符合题意；
a 2a
C、3mn−mn=2mn，故该选项符合题意；
D、(a−1) 2 =a2−2a+1≠a2−1，故该选项不符合题意；
故选：C．
单选题
如图，菱形ABCD中，∠BAD=150∘，CE⊥AD，E为垂⾜．若CE =√2，则菱形ABCD的周⻓
是（ ）
A. 8√2
B. 8
C. 16√2
D. 16
答案
A
解析
本题考查了菱形的性质，含30∘⻆的直⻆三⻆形的性质，根据菱形的性质可求出∠D=30∘，根
据含30∘⻆的直⻆三⻆形的性质可求出CD的⻓度，最后根据菱形的性质即可求出其周⻓．
解∶∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC =CD=DA，AB//CD，
∴∠BAD+∠D=180∘，
⼜∠BAD=150∘，
∴∠D=30∘，
∴CE⊥AD， CE =√2，
∴CD=2CE =2√2，
∴菱形ABCD的周⻓是4×2√2=8√2，
/ 故选∶A．
单选题
《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各⾏从左到右列出的算筹数分别表⽰未知
数x，y的系数与相应的常数项，把图1所⽰的算筹图⽤我们现在所熟悉的⽅程组形式表⽰出来，就
3x+2y=19
是 ，在图2所⽰的算筹图中有⼀个图形被墨⽔覆盖了，若图2所表⽰的⽅程组中x的值
{x+4y=23
为3，则被墨⽔所覆盖的图形为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
3x+2y=19
本题考查了⼆元⼀次⽅程组的解法及实际应⽤，根据 ，结合图1可判断出：（1）
{x+4y=23
前⾯两列为⽅程的左边，后两列表⽰⼀个数，为⽅程的右边；（2）“|”表⽰1，“—”表⽰10；根
据图2中第⼀个⽅程求出x，y的值代⼊第⼆个代数式求值是解题关键．
根据题意，可知图2中第⼀个⽅程是x+2y=11．已知x=3，代⼊即可解得y=4．
第2个⽅程等号的左边是3x+y，将x=3，y=4代⼊，得3×3+4=13．
∴被墨⽔所覆盖的图形为 ，
故选C．
单选题
c
已知在同⼀平⾯直⻆坐标系中，⼆次函数y=ax2+bx和反⽐例函数y= 的图象如图所⽰，则⼀
x
c
次函数y= x−b的图象所经过的象限是（ ）
a
/ A. 第⼀、⼆、三象限
B. 第⼆、三、四象限
C. 第⼀、三、四象限
D. 第⼀、⼆、四象限
答案
D
解析
本题主要考查了⼀次函数图象，反⽐例函数图象，⼆次函数图象的综合．根据反⽐例函数
c
y= 的函数图象在⼀、三象限，得到c<0，根⼆次函数y=ax2+bx开口向下，对称轴在y
x
b
轴右侧，得到a>0，− >0，则b<0，由此即可得到答案．
2a
c
解：∵反⽐例函数y= 的函数图象在⼆、四象限，
x
∴c<0，
∵⼆次函数y=ax2+bx开口向上，对称轴在y轴右侧，
b
∴a>0，− >0，
2a
∴b<0，
c
∴ <0，−b>0，
a
c
∴⼀次函数y= x−b经过⼀、⼆、四象限，
a
故选：D．
单选题
3
在平⾯直⻆坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为y= x+3，那么直线l与⊙O的位置
4
关系是（ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. ⽆法确定
答案
C
/ 解析
本题考查直线与圆的位置关系，⼀次函数的性质，关键是由三⻆形⾯积公式求出OH的⻓．求
出OA=3,OB=4，由勾股定理得到AB=5，由三⻆形⾯积公式求出OH =2.4，而⊙O的半
径r=2.5，即可判断直线l与⊙O的位置关系．
3
解：如图，直线y= x+3分别与x、y 轴交于A、B，
4
过O作OH⊥AB于H，
当x=0时，y=3，
∴OA=3，
3
当y=0时， x+3=0，
4
∴x=−4，
∴OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=5，
1 1
∵△AOB的⾯积= AB⋅OH = OB⋅OA，
2 2
∴5×OH =3×4，
∴OH =2.4，
∴O到直线l的距离d=2.4，
∵⊙O的半径r=2.5，
∴d<r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：C．
单选题
如图，△AOB绕点O逆时针旋转40∘后得到△DOE．若点A恰好落在边DE上，且∠BOD=105∘，
则cosB的值是（ ）
/ A. 1
2
B. √2
2
C. √3
2
D. √3
3
答案
B
解析
本题考查旋转的性质，特殊⻆的三⻆函数值，等边对等⻆．根据旋转的性质可得
∠AOD=∠BOE =40∘，AO=DO，∠E =∠B，再由∠BOD=105∘，可得∠DOE =65∘，
再根据AO=DO，可得∠D=70∘，然后求出∠B，据此求解即可．
解：根据旋转的性质得：∠AOD=∠BOE =40∘，AO=DO，∠E =∠B，
∵∠BOD=105∘，
∴∠DOE =105∘−40∘=65∘，
∵AO=DO，
1 1
∴∠D= (180∘−∠AOD)= (180∘−40∘)=70∘，
2 2
∴∠E =180∘−∠D−∠DOE =180∘−70∘−65∘=45∘，
∴∠B=∠E =45∘，
√2
∴cosB=cos45∘= ，
2
故选：B．
单选题
若关于x的⽅程x2−2(m−2)x+m2−2m=0有两个实数根，且两根之和不小于−6，则代数式
(m+2) 2 −8m−|m+1|化简的结果是（ ）
√
A. −1
B. 1
C. −2m−1
D. −2m+1
答案
D
解析
本题考查了⼀元⼆次⽅程根的判别式，根与系数的关系，⼆次根式化简，解题的关键在于正
确掌握相关知识．
/ 根据⼀元⼆次⽅程根的判别式，根与系数的关系，建⽴不等式推出m的取值范围，再结合完
全平⽅公式变形，以及⼆次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
解：∵关于x的⽅程x2−2(m−2)x+m2−2m=0有两个实数根，
∴[−2(m−2)] 2 −4(m2−2m)≥0
4(m−2) 2 −4(m2−2m)≥0
4m2−16m+16−4m2+8m≥0
−8m≥−16
m≤2，
∵两根之和不小于−6，
∴2(m−2)≥−6，
解得m≥−1，
综上−1≤m≤2，
∴−3≤m−2≤0， 0≤m+1≤3，
∴√
(m+2)2−8m−|m+1|
=√m2−4m+4−m−1
= (m−2) 2 −m−1
√
=|m−2|−m−1
=−2m+1，
故选：D．
⼆、填空题
填空题
将数字25800⽤科学记数法表⽰为 ．
答案
2.58×104
解析
本题考查了科学记数法的运⽤，掌握科学记数法的表⽰⽅法，确定a,n的值是关键．
科学记数法的表⽰形式为a×10n(1≤|a|<10)，确定n值的⽅法：当原数的绝对值⼤于等于
10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变
为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
解：25800=2.58×104，
故答案为：2.58×104 ．
填空题
如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC =2，BF =8，则BE = ．
/ 答案
3
解析
本题考查了平移的性质；由平移的性质知BE =CF，则2BE+EC =BF，由此即可求解．
解：∵△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，
∴BE =CF，
∴2BE+EC =BF；
∵EC =2，BF =8，
1 1
∴BE = (BF −EC)= ×(8−2)=3；
2 2
故答案为：3．
填空题
2 3
⽅程 = 的解是 ．
x−1 x
答案
x=3
解析
2 3
解： = ，
x−1 x
⽅程两边同时乘x（x-1），得2x=3（x-1），
去括号，得2x=3x-3，
解得：x=3，
检验：把x=3代⼊x（x-1）≠0，
∴分式⽅程的解为x=3．
故答案为：x=3．
填空题
⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，根据图⽰的数据计算该⼏何体的全⾯积为 ．（结果保留π）
/ 答案
90π
解析
本题主要考查了由三视图判断⼏何体，圆锥的计算，根据已知得⺟线⻓，再利⽤圆锥侧⾯积
公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧⾯积公式⾸先求出圆锥的侧⾯积，再求出底⾯圆的
⾯积，相加即可得出该⼏何体的全⾯积．
解：由图⽰可知，该⼏何体是圆锥，圆锥的⾼为12，底⾯圆的直径为10，
∴圆锥的⺟线为： 122+(10÷2) 2 =13，
√
∴圆锥的侧⾯积为：πrl=π×5×13=65π，
底⾯圆的⾯积为：πr2=25π，
∴该⼏何体的全⾯积为：65π+25π=90π．
故答案为90π．
填空题
根据如图所⽰的程序计算函数y的值．若输⼊x的值为4，则输出y的值为7．若输出的y值为13，则输
⼊的x值为 ．
答案
−3或7 |7或 −3
解析
本题考查函数值、解⼀元⼆次⽅程，先根据已知求得b值，再由y=13分别解⽅程求得x值即
可．
解：∵输⼊x的值为4，则输出y的值为7，且4>3，
∴2×4+b=7，解得b=−1，
/ 若输出的y值为13，
则当x>3时，由2x−1=13得x=7；
当x<3时，由x2−x+1=13得x =−3，x =4（舍去），
1 2
综上，若输出的y值为13，则输⼊的x值为−3或7，
故答案为：−3或7．
填空题
如图1，在△ABC中，∠C =90∘，D为边AC上⼀点．动点E以每秒1个单位⻓度的速度从点A出
发，沿折线AB−BC匀速运动，到达点C后停⽌，连接DE．设点E的运动时间为x（单位：秒），
DE2为y．在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所⽰．
（1）线段AD的⻓为 ；
（2）在整个运动过程中，y的最⼤值为 ．
答案
3 ；54
解析
本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进⾏分析是关键．
（1）由函数图象得AD=√y=3；
（2）当AE =4时，DE =√y=3，连接CE，当点E与点B重合时，y的值最⼤，先证明
∠AEC =90∘，再证明△ACE ∽△ABC，利⽤相似三⻆形的性质求得AB=9，再利⽤勾股定
理求解即可．
解：（1）由函数图象得，函数图象经过点(0,9)，(4,9)，
∴AD=√y=3，
故答案为：3；
（2）由函数图象得，当动点E运动到达点C后，CD=√y=3，
当AE =4时，DE =√y=3，此时，图象如图所⽰，
连接CE，当点E与点B重合时，y的值最⼤，
∵DA=DE =DC =3，
/ ∴∠DAE =∠DEA，∠DCE =∠DEC，
∵∠DAE+∠DCE+∠DEC+∠DEA=180∘，
∴∠AEC =∠DEA+∠DEC =90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACE =90∘−∠A=∠B，
∵∠ACB=∠AEC =90∘
∴△ACE ∽△ABC，
AC AE
∴ = ，
AB AC
∴AC2=AE×AB，
62
∴AB= =9，
4
作DF⊥AE于点F，
∵DA=DE，AE =4，
1
∴AF =EF = AE =2，
2
∴DF2=AD2−AF2=32−22=5，BF =AB−AF =7，
∴BD=√DF2+BF2=√5+49=√54，
∴y的最⼤值为54，
故答案为：54．
三、解答题
解答题
解不等式：3x−2<4．
答案
x<2
解析
本题考查了解⼀元⼀次不等式，熟练掌握不等式的基本性质和解⼀元⼀次不等式的步骤是解
题的关键；
根据解不等式的基本性质，移项，合并同类项，系数化成1，即可解答．
解：3x−2<4
3x<6
x<2
∴不等式的解集为：x<2．
解答题
如图，△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延⻓到E，使DE =AD．求证：AC//BE．
/ 答案
详⻅解析
解析
本题主要考查平⾏四边形的判定和性质，全等三⻆形的判定和性质，平⾏线的判定，掌握平
⾏四边形，全等三⻆形的判定和性质是关键．
⽅法⼀：根据题意可证四边形ABEC是平⾏四边形，由平⾏四边形的性质即可求解；
⽅法⼆：根据题意可证△ADC ≅△EDB(SAS)，得∠DAC =∠DEB，由平⾏线的判定和性
质即可求解．
证明：⽅法⼀：连接CE，
∵D为BC中点 ，
∴BD=CD，
∵DE =AD，
∴四边形ABEC是平⾏四边形，
∴AC//BE
⽅法⼆：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
AD=DE
⎧∠ADC =∠EDB，
⎨
BD=CD
⎩
∴△ADC ≅△EDB(SAS)，
∴∠DAC =∠DEB，
∴AC//BE．
/ 解答题
1 a+2 1
已知A= + ÷ ．
(a−1 a+1) a2−1
(1) 化简A；
(2) 3
若点P(a,a+2)在反⽐例函数y= 的图象上，求A的值．
x
答案
(1) a2+2a−1
(2) 2
解析
(1) 1 a+2 1
解：A= + ÷
(a−1 a+1) a2−1
a+1+(a+2)(a−1)
= ⋅(a−1)(a+1)
(a−1)(a+1)
a+1+a2+a−2
= ⋅(a2−1)
(a−1)(a+1)
=a2+2a−1；
3
(2) 解：∵点P(a,a+2)在反⽐例函数y= 的图象上，
x
∴a(a+2)=3，
∴a2+2a=3，
∴原式=a2+2a−1=3−1=2．
解答题
如图，四边形ABCD为平⾏四边形．
(1) 尺规作图：作∠ABC的⻆平分线BE，BE交AD于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，连接CE，若AB=5，∠BEC =90∘，求线段BC的⻓．
答案
(1) 图⻅解析
(2) 10
解析
(1) 解：如图，线段BE即为所求；
/ (2) 解：延⻓CE交BA的延⻓线于F，
∵∠FBE =∠CBE，∠BEC =∠BEF =90∘，BE =BE，
∴△FBE ≌△CBE(ASA)，
∴BC =BF，
∵四边形ABCD是平⾏四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE =∠AEB，
∴AB=AE，
∵∠F +∠ABE =∠FEA+∠AEB=90∘，
∴∠F =∠FEA，
∴AF =AE，
∴AF =AB=5，
∴BC =AF =10．
解答题
为贯彻落实教育部关于“保障学⽣每天2小时体育活动时间”的要求，某校计划开设A，B，C，D四
种球类兴趣班，为保证每位同学都能选到⾃⼰最喜欢的球类兴趣班，随机抽取部分同学进⾏“最喜
欢的球类项⽬”的调查（每⼈只能选择⼀项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．根据
图中提供的信息解答下列问题：
(1) A种球类项⽬所对应的扇形的圆⼼⻆度数为________；
(2) 若该校共有1500名学⽣，请估计选择C种球类项⽬的学⽣⼈数；
(3) 若甲同学从A，B，C三种球类项⽬中随机选择⼀项参加，⼄同学从B，C，D三种球类项⽬中
随机选择⼀项参加，求甲、⼄两名同学恰好选择相同球类项⽬的概率．
/ 答案
(1) 144∘
(2) 估计选择 C种球类项⽬的学⽣⼈数约为375⼈
(3) 2
9
解析
(1) 解：A类占百分⽐为40%，
∴A种球类项⽬所对应的扇形的圆⼼⻆度数为360∘×40%=144∘，
故答案为：144∘；
(2) 解：A类有80⼈，占百分⽐为40%，
∴80÷40%=200（⼈），
∴C类的⼈数为200−80−60−10=50（⼈），
50
∴1500× =375（⼈），
200
∴估计选择C种球类项⽬的学⽣⼈数约为375⼈；
(3) 解：运⽤列表法或画树状图法把所有等可能结果表⽰如下，
共有9种等可能结果，其中相同的结果有2种，
2
∴甲、⼄两名同学恰好选择相同球类项⽬的概率为 ．
9
解答题
如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的⽀架上，AB与地⾯垂直，
AB=3m,BD=1m,∠ABC =120∘，若该摄像头的可视⻆∠GDF =50∘,DE为∠GDF的平分线，
且DE⊥BC，点A,E,F,G在同⼀直线上，过点D作DH⊥AG,H为垂⾜．
(1) 求∠GDH 的度数；
(2) 求摄像头的最远可视点G与⽀架底部A之间的距离．（精确到0.1m）参考数据：（
tan25∘≈0.47,sin25∘≈0.42,cos25∘≈0.9,tan35∘≈0.70,sin35∘≈0.57,cos35∘≈0.82,√3≈
1.73
）
答案
/ (1) ∠GDH =55∘
(2) 摄像头的最远可视点G与⽀架底部A的距离约为 5.9m
解析
(1) 解：过点B作BP⊥DH，垂⾜为P，
由题意得：∠ABP =∠DPB=∠DHG=90∘，
∵∠ABC =120∘，
∴∠DBP =∠ABC−∠ABP =30∘，
∴∠BDP =90∘−∠PBD=60∘，
∵DE为∠GDF的平分线，∠GDF =50∘，
1
∴∠GDE =∠EDF = ∠GDF =25∘，
2
∵ED⊥BC，
∴∠EDB=90∘，
∴∠BDG=∠BDE+∠GDE =115∘，
∴∠GDH =∠GDB−∠BDP =115∘−60∘=55∘．
(2) 解：由题意得：AB=PH =3m,BP =AH，
∵∠DBP =30∘,BD=1m，
1 √3
∴DP = BD=0.5(m),BP =√3DP = (m)，
2 2
∴DH =DP +PH =3.5(m)，
∵∠GDH =55∘，
∴∠DGH =90∘−∠GDH =35∘，
DH 3.5
在Rt△GDH中，HG= ≈ =5(m)，
tan35∘ 0.7
√3
∴AG=GH+AH =5+ ≈5.9(m)，
2
∴摄像头的最远可视点G与⽀架底部A的距离约为5.9m．
解答题
阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题．
材料⼀：在−20℃到40℃范围内，声⾳（声波）在空⽓中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与⽓
温t（单位：℃）的关系如下表：
⽓温（℃） −10 0 10 20 30
声速(m/s) 325 331 337 343 349
材料⼆：声⾳的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．⼈能听到的声⾳频率有
⼀定的范围，多数⼈能听到的频率范围是20∼20000Hz．
/ 材料三：声⾳的波⻓（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波⾕）的距离，单位为
⽶（m）．声⾳的频率f和波⻓λ与声⾳的传播速度（v）（单位：m/s）满⾜公式：v=f⋅λ．
(1) 当⽓温为20℃时，声速为________m/s；
(2) 根据材料⼀表格中的数据，从你所学的函数中选择⼀个函数，使它能近似地反映声速（v）与
⽓温（t）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）；
(3) ⽬前国际通⽤的钢琴标准⾳A4频率为440Hz，在室温为25℃的情况下，求钢琴标准⾳A4的波
⻓．
答案
(1) 343
(2)
选择⼀次函数， v=
3
t+331
5
(3) 173
m
220
解析
(1) 解：根据题意，当⽓温为20℃时，声速为343m/s，
故答案为：343；
(2) 解：根据表格信息，声速随着⽓温的增⼤而增⼤，
∴ 选择⼀次函数，
∴设声速（v）与⽓温（t）的函数关系为v=kt+331(k≠0)，把t=−10,v=325代⼊，
−10k+331=325，
3
解得，k= ，
5
3
∴声速（v）与⽓温（t）的函数关系为v= t+331，
5
3
当t=30时，v= ×30+331=349，符合题意；
5
3
(3) 解：由（2）可知声速（v）与⽓温（t）的函数关系为v= t+331，
5
3
∴室温为25℃时，v= ×25+331=346(m/s)，
5
∵声⾳的频率f和波⻓λ与声⾳的传播速度（v）（单位：m/s）满⾜公式：v=f⋅λ，
v 346 173
∴λ= = = (m)，
f 440 220
173
∴钢琴标准⾳A4的波⻓约为 m．
220
解答题
已知抛物线G:y=x2−2tx+m（t，m为常数）的图象经过点A(−1,3+4t)和B(4,n)，顶点为C．
(1) ⽤含t的代数式表⽰m；
(2) 当0<t<4时，求△ABC⾯积的最⼤值；
(3) 已知点D(4,−4)，当抛物线G有部分图象落在△ABD内部（不包含边界）时，将这部分图象
记为H．设M(x ,y )，N(y ,x )为图象H上两点，当x <x 时，总有y <y ，求t的取值范围．
1 1 2 2 1 2 1 2
/ 答案
(1) m=2t+2
125
(2)
S =
max
8
11
(3)
t<−1或 2≤t<
3
解析
(1) ∵y=x2−2tx+m经过点A(−1,3+4t)
∴3+4t=1+2t+m
∴m=2t+2；
(2) 由（1）知m=2+2t，代⼊抛物线G:y=x2−2tx+m得y=x2−2tx+2+2t，
y=(x−t)2−t2+2t+2，
∴顶点C的坐标为(t,−t2+2t+2)．
∵抛物线经过B(4,n)，
把x=4代⼊y=x2−2tx+2+2t，得n=42−2t×4+2+2t=16−8t+2+2t=18−6t
，
∴B(4,18−6t)．
∵0<t<4
∴点C在A，B之间
过点C作CM//y轴交AB于点M，
∵A(−1,3+4t)，B(4,18−6t)，
设直线AB的表达式为y=kx+b，
−k+b=3+4t
∴ ，
{4k+b=18−6t
k=3−2t
解得 ，
{b=6+2t
∴直线AB的解析式为：y=(3−2t)(x+1)+3+4t
∵CM//y轴
∴x =x =t
C M
∴y =−2t2+5t+6
M
∴CM =y −y =−t2+3t+4
M C
1
∴S =S +S = CM ⋅(x −x )
ΔABC ΔACM ΔBCM B A
2
/ 2
5 5 3 125
∴S =− (t2−3t−4)=− t− +
ΔABC
2 2( 2) 8
∵0<t<4
3 125
∴当t= 时△ABC的⾯积有最⼤值S = ；
max
2 8
(3) ∵对于图象H上任意两点M(x ,y )，N(x ,y )，当x <x 时，总有y <y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴抛物线H是单调递增的，
∵点A，B在抛物线G上，且抛物线开口向上，
∴点B必须在抛物线下⾯，△ABD内部才包含G的部分图象，
∴点D在点B的下⽅，
即y <y ，
D B
由（1）可知抛物线G的解析式为y=x2−2tx+2+2t，
∴B(4,18−6t)，
∴−4<18−6t，
11
解得t< <4，
3
∴点B在对称轴直线x=t的右侧，
①当点A也在对称轴的右侧时，
如图所⽰，
∵A(−1,3+4t)，C(t,−t2+2t+2)，
∴t≤−1，
②当点A在对称轴左侧即t>−1时，
设AD与抛物线交于另⼀点E，
∵A(−1,3+4t)，D(4,−4)，
4t+7
∴直线AD的解析式为：y=− (x−4)−4，
5
4t+7
y=− (x−4)−4
联⽴⎧ 5 ，
⎨y=x2−2tx+2+2t
⎩
7−6t 2−6t
∴x2+ x+ =0，
5 5
c 2−6t
∵x ⋅x = = ，
A E
a 5
6t−2
∴x = ，
E
5
/ ①当点E在对称轴的右边时，
此时x ≥x
E C
6t−2
∴ ≥t
5
解得t≥2
11
∴2≤t<
3
②当点E在对称轴左侧时
如图所⽰，
∵抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增⼤而减小，而在△ABD内部，从点A到点E，x增⼤
时y减小，从点E到对称轴右侧y随x增⼤而增⼤，
∴在△ABD内部会出现y先减小后增⼤的情况，不满⾜当x <x 时，总有y <y 的条件，舍
1 2 1 2
去．
11
综上所述t<−1或2≤t< ．
3
解答题
如图，正⽅形ABCD的边⻓为6，E为边BC上的动点（点E不与点B，C重合），点F在CD上，且
∠BEA=∠AEF．
/ (1) 设∠BAE =α，求证：∠FEC =2α；
(2) 过点E作EP⊥AF，P为垂⾜，连接PC，求证：△PCE为等腰三⻆形；
(3) 若点G为边AE上⼀动点，且△AFG的⾯积为6，当BG取最小值时，求线段BE的⻓．
答案
(1) 详⻅解析；
(2) 详⻅解析；
(3) 3√13−9．
解析
(1) 证明：∵四边形ABCD为正⽅形，
∴∠B=90∘，
∵∠BAE =α，
∴∠AEB=90∘−α，
⼜∵∠BEA=∠AEF，
∴∠FEC =180∘−2∠BEA=180∘−2(90∘−α)=2α；
(2) 解：过点A作AM⊥EF，
∴∠AME =90∘=∠B，
⼜∠BEA=∠AEM AE =AE，
/ ∴△ABE ≌△AME(AAS)，
∴∠BAE =∠EAM AM =AB
⼜四边形ABCD为正⽅形，
∴AD=AB=AM，
⼜AF =AF，
∴Rt△AMF ≌Rt△ADF(HL)，
∴∠DAF =∠MAF，
∴∠EAF =∠EAM +∠FAM =45∘，
∵EP⊥AF，
∴△APE为等腰直⻆三⻆形，
∴∠AEP =∠EAP =45∘， PE =PA，
设∠BAE =α，
由（1）得∠AEB=∠AEF =90∘−α，
∴∠AFE =180∘−45∘−(90∘−α)=45∘+α，∠PEC =180∘−∠AEB−∠AEP =45∘+α
，
∵∠EPF =∠ECF =90∘，
∴E，P，F，C四点共圆，
∴∠PCE =∠PFE =45∘+α，
∴∠PEC =∠PCE，
∴PE =PC，
∴△PCE为等腰三⻆形；
(3) 解：由（2）知∠GAF =45∘，
1 √2 √2
∴S = AG⋅AF ⋅ = AG⋅AF =6，
△AGF
2 2 4
∴AG⋅AF =12√2，
连接AC，在AC上取点H使得AD⋅AH =12√2，
∵AD=6，
∴AH =2√2，
连接GH，
∵∠DAC =∠GAF =45∘，
∴∠DAE =∠GAH，
/ ∵AG⋅AF =AD⋅AH，
AD AG
∴ = ，
AF AH
∴△ADF ∽△AGH(SAS)，
∴∠AGH =∠ADF =90∘，
∴点G在以AH为直径的⊙O上运动，
连接BO，当点G运动到BO上时BG有最小值，
此时，过点O作OR⊥AB，过点G作GS⊥AB，
∵AH =2√2，
∴⊙O的半径r=√2，
即AO=OG=√2，
∴AR=RO=1，
∴RB=5，
∴BO=√26，
∴BG=BO−r=√26−√2，
∵OR//GS，
∴△BSG∽△BRO，
SG BS BG SG BS √26−√2
∴ = = ，即 = = ，
RO BR BO 1 5 √26
5 √13−1
( ) √13−1
∴BS = ，SG=
√13 √13
5+√13
∴AS =6−BS = ，
√13
⼜∵SG//BE，
∴△ASG∼△ABE，
AS SG
∴ = ，
AB BE
解得BE =3√13−9．
/ 
