文档内容
第 18 讲 图形的变换（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两
次轴对称后的图形；
3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.
4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；
5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应
用.
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平
移，平移不改变图形的形状和大小．
【要点诠释】
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的
变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图
形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相
同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的
线段平行且相等，对应角相等．
【要点诠释】
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又
可作为平移作图的依据．
考点二、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条
直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折
痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.
【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中
有相似三角形，常用勾股定理.
考点三、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角
叫做旋转角.
２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点
与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，
图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应
点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
【要点诠释】
１．图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
2．平移、旋转和轴对称之间的联系
一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于
一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.
【典型例题】
题型一、平移变换
例1．操作与探究：
1
3
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，
得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中
点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点
B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E
重合，则点E表示的数是__________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、
纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得
到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一
个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
2cm AC
【变式】如图，若将边长为 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线 翻折成等腰直角三角形后，再
抽出一个等腰直角三角形沿 AC 移动，若重叠部分 A'PC 的面积是 1cm2 ，则移动的距离AA'等于
.题型二、轴对称变换
例2.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点
为C′．
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′= ；
（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．
【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN
上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．
（1）求MP的长；
1
3
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于 .ABCD BC 18.5 AE 6
例3.已知：矩形纸片 中，AB=26厘米， 厘米，点E在AD上，且 厘米，点P是
AB边上一动点，按如下操作：
MN
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 （如图（1）所示）；
PT AB, MN
步骤二，过点P作 交 所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）
ABCD
（2）如图（3）所示，将矩形纸片 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT 与 MN 交于点 Q 1 , Q 1 , 点的坐标是（ ， ）；
②当 PA 6 厘米时，PT 与 MN 交于点 Q 2， Q 2点的坐标是（ ， ）；
Q
③当PA 12厘米时，在图（3）中画出 MN ，PT （不要求写画法）并求出 MN 与PT 的交点 3的
坐标；
（3）点P在在运动过程中，PT 与 MN 形成一系列的交点 Q 1 , Q 2， Q 3…观察，猜想：众多的交点形成的
图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.
y
C
D
C
M C 18
D
B
12
Q
E 6
（ PE Q 2
） x
A N P B O（ A 1 N 6 12 18 24B
）
（1） （2） （3）题型三、旋转变换
例4.已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP
绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.
（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 ；
（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（3）如图③，若 ，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．例5 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l上，OA边与直线l重合，然后将三
1 1
角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O 处，点B运动到了点B 处；小慧又
1 1
将三角形纸片AOB 绕点B 按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A 处，点O 运动到了点O 处（即
1 1 1 1 1 2
顶点O经过上述两次旋转到达O 处）．
2
O O
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 1和
O O
1 2 ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l 1 围成的图形面积等于
扇形AOO 的面积、△AOB 的面积和扇形BOO 的面积之和．
1 1 1 1 1 2
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合，
2 2
然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O 处（即点B处），点C运动
1
到了点C 处，点B运动到了点B 处；小慧又将正方形纸片AOCB 绕顶点B 按顺时针方向旋转
1 1 1 1 1 1
90°，……，
按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运
动过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶
2
点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________?
请你解答上述两个问题．【变式】 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它
的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到
有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
N P
C
D
B
Q
A(M)【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•台湾）如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将
B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，
BF＝8，则CG的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD
的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（ ）
A．OE∥AB
B．四边形ABCD是中心对称图形
C．△EOD的周长等于3cm
D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形
3．（2022•资阳）如图，正方形 ABCD的对角线交于点 O，点E是直线BC上一动点．若 AB＝4，则
AE+OE的最小值是（ ）
A． B． C． D．4．（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着
CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝ ，则∠EAC等于（ ）
α
A． B．90°﹣ C． D．90°﹣2
5．（20α22•牡丹江）下列图形是黄金α 矩形的折叠过程：α α
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④ ，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③6．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B
的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝ ，则∠EFC的度数是（用含 的代数式
表示）（ ） α α
A．90°+ B．90°﹣ C．180°﹣ D．
7．（2022•绥α化）如图，线段OA在平α面直角坐标系内，A点α坐标为（2，5）α，线段OA绕原点O逆时针旋
转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
8．（2022•营口）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD
边上的点 E 处，连接 EC，过点 B 作 BF⊥EC，垂足为 F，若 CD＝1，CF＝2，则线段 AE 的长为
（ ）
A． ﹣2 B． ﹣1 C． D．
二．填空题（共5小题）9．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长
度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
10．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣
1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是
．
11．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线
段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
12．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A B C 的位置．若顶点A（﹣3，4）的对
1 1 1
应点是A （2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 1
13．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移 1个单位，再向右平移1
个单位，得到点A （1，1）；把点A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A （﹣1，
1 1 2
3）；把点A 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A （﹣4，0）；把点A 向下平移4个单
2 3 3
位，再向右平移4个单位，得到点A （0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A 的坐标为 ．
4 10三．解答题（共5小题）
14．（2022•宁夏）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平面直
角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）．
（1）画出该平面直角坐标系xOy；
（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A B ；
1 1
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
15．（2022•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小
正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且
平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．16．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标
系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC 先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到△A B C ，画出两次平移后的
1 1 1
△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点A 的过程中所经过的路径长（结果保留 ）．
1 2
π
17．（2022•锦州）如图，在△ABC中， ，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连
接DE，DF．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ
交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．18．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕
点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BC＝ AB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求 的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出 的值．【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共5小题）
1．（2023•偃师市一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿
EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG
的长等于（ ）﹣
A． B． C．2 D．4
2．（2023•琼山区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形
AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2 ﹣1 B． C． ﹣ D． ﹣13．（2023•深圳模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边
上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的
长是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2023•青岛模拟）如图，将△ABC先向下平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转一定角度，得到
△A B C ，顶点A落到了点A （5，3）处，则点B的对应点B 的坐标是（ ）
1 1 1 1 1
A．（3，0） B．（3，2） C．（2，2） D．（1，2）
5．（2023•青岛模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得
到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下5个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF
＝ ；④GB＝2AG．在以上4个结论中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
6．（2023•雁塔区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的
对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为 ．7．（2023•延安一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2 ，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点
C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好
落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 ．
8．（2023•武汉模拟）如图，D是△ABC内一点，∠BDC＝90°，BD＝CD，AB＝20，AC＝21，AD＝
，则BC的长是 ．
9．（2023•澄迈县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），
（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M ，使得点M 与点O关于点A成中心对称；
1 1
第二次跳跃到点M ，使得点M 与点M 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M ，使得点M 与点M
2 2 1 3 3 2
关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M ，使得点M 与点M 关于点A成中心对称；…，依此方式跳
4 4 3
跃，点M 的坐标是 ．
202210．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，点F、点N分
别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD′，
点M为BD'中点，则MN的最小值是 ．
三．解答题（共6小题）
11．（2023•西安一模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，请画出△ABC关于y
轴对称的△A'B'C'，其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点，并写出点A'、B'、C'的坐标．
12．（2023•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A B C ，画出点A的对应点A 的坐标
1 1 1 1
；并在坐标系中画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）求△ABC的面积．13．（2023•定远县校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角
形ABC和格点O（网格线的交点，叫做格点）．
（1）作△ABC关于点O的中心对称图形△A B C ；（点A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ）
1 1 1 1 1 1
（2）将△A B C 先向上平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
（点A ，B ，C 的对应点分别为A ，B ，C ）
1 1 1 2 2 2
（3）连接OA，OC ，则∠AOC ＝ °．
2 2
14．（2023•石家庄模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×11的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）以点A为中心，将AB逆时针旋转90°，得到线段AB ，画出线段AB ；
1 1（2）连接BB ，以点B 为中心，将△ABB 缩小0.5倍得到△A B B ，画出△A B B ；
1 1 1 2 2 1 2 2 1
（3）若△ABB 的面积为S，则△A B B 的面积为 ．
1 2 2 1
15．（2023•庐江县模拟）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A
重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．
①求证：AP＝BQ；
②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC＝ ，求PB的长；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若
AC＝1，BC＝3，求CD长．
16．（2023•天涯区一模）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．
（1）如图1，若∠BCD＝40°，直接写出∠CFE的度数；
（2）如图1，若CF＝10，AF＝4，求AE的长；
（3）如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【名校自招练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•长寿区自主招生）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． 科克曲线 B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图 D． 斐波那契螺旋线
2．（2022•温江区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点Q（﹣3，7）关于y轴对称的点的坐标是（
）
A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
3．（2022•南陵县自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，P为△ABC内一点，分别
连接PA、PB、PC，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA时， ，则BC的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022•九龙坡区自主招生）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
5．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF ＝ AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝
2∠BAC，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•长寿区自主招生）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点
E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则
OE的长为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方
向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．（2022•工业园区校级自主招生）如图，矩形 ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，
AD＝4 ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为
（ ）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）
9．（2022•南岸区自主招生）如图，在矩形纸片ABCD中，E是BC边上的中点，连接AE，把矩形纸片沿
AE对折，点B恰好落在矩形纸片ABCD的对角线BD上的点F处，连接CF．
①CF∥AE；
②AD＝ AB；
③CF＝ CD；
④∠ABD＝60°；
⑤S矩形ABCD ＝4S△AEF •
以上五个结论，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2022•九龙坡区自主招生）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的
点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R
处．当AD＝CP时，则 的值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
二．填空题（共4小题）11．（2022•渝中区校级自主招生）如图，正方形ABCD中，点E在AB边上且AE＝2BE．连接CE，取CE
边上中点G，作GH⊥CG且CG＝GH连接CH．将△CGH绕着点C逆时针旋转得到△CG'H'．当H'恰好
落在AH的延长线上时连接HG'．CG′与HH'交于F，若AH＝2 ，则FH＝ ．
12．（2022•相城区校级自主招生）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点
F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D'点．
若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D'PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 ．
13．（2022•温江区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，在线段BD上存在一动点
Q，取线段DC中点M，连接MQ，并以MQ为对称轴作点D的对称点P，再以AB为对称轴作点P的对
称点P′，连接AP'，BP′，在△ABP'内有一动点O，分别连接P′O，AO，BO，已知∠ADB＝30°，
AB＝1，则在Q运动的过程中，P′O+AO+BO的最小值为 ．
14．（2022•宁波自主招生）如图，在 ABCD中，AD＝6．将 ABCD绕点A旋转至 AEFG．使得点E落
▱ ▱ ▱在对角线AC上，若此时B、E、D、F恰在同一条直线上，则C、G两点间的距离为 ．
三．解答题（共4小题）
15．（2022•徐汇区校级自主招生）有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b，将矩形ABCD沿对角线AC对
折后放于桌面上，探究其覆盖桌面的面积．
16．（2022•渝北区自主招生）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在AC上，连接BD，F为BD
上一点．
（1）如图1，连接AF，将AF绕着点A逆时针旋转120°得AH，且点H恰好落在BD的延长线上，若BF
＝1，求点C到直线BD的距离；
（2）将△BCD沿着BC所在的直线翻折得△BCE，点D的对应点为E．
①如图2，连接AE，点F为BD的中点，连接AF，EF，求证：EF⊥AF；
②如图3，点M为BE的中点，连接AM交BC于点N，若AB＝2，当△AMB周长最小时，直接写出
的值．17．（2022•荣昌区自主招生）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，点E为AC
边上一点，连接ED并延长至F，使ED＝FD，以EF为底作等腰Rt△EGF．
（1）如图1，若∠ADE＝30°，AE＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接BF，DG，点M为BF的中点，连接DM，过D作DH⊥AC，垂足为H，连接AG交
DH于点N，求证：DM＝NG；
（3）如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接KD，将KD绕点D顺时针旋转90°得到
K'D，连接K'A，KB．直线K'A与直线KB交于点P，D'为直线BC上一动点，连接AD'并在AD'的右侧作
C'D'⊥AD'且C'D'＝AD'，连接AC'，Q为BC边上一点，CD＝3CQ，AB＝6 ，请直接写出QC'+C'P的
最小值．18．（2022•渝中区校级自主招生）在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°．在△AEF中，∠AFE＝90°，
∠AEF＝30°，AE＝AB，连接CE，点G是CE的中点．将△AEF绕点A顺时针旋转 （0＜ ＜360°）．
（1）如图1，若点F恰好落在线段CE上，连接BG．证明：2（GC﹣GB）＝ ABα． α
（2）如图2，若点F恰好落在BA延长线上时，作CD⊥BC，DA⊥BA，M是线段BC上一点，4BM＝
BC，P是平面内一点，满足∠MPC＝∠DCE，连接PF，已知AC＝4，直接写出PF的最小值．
