文档内容
专题 06：☆ 简单的周期（期中专项训练）
考点梳理.................................................................................................................................1
考点一、周期现象的认识............................................................................................................1
考点二、周期规律的确定............................................................................................................1
考点三、周期问题的解决步骤....................................................................................................2
例题讲解.................................................................................................................................2
题型一、周期问题........................................................................................................................3
专项训练.................................................................................................................................4
练习一、周期问题........................................................................................................................4
考点梳理
考点一、周期现象的认识
（一）周期现象的定义
周期现象是指事物在运动变化过程中，某些特征或排列按照一定的顺序重复出现的现象。其
核心特征是“重复”，即经过一定的次数或时间后，相同的情况会再次出现。例如：季节按
“春、夏、秋、冬”的顺序重复出现；星期按“星期日、星期一、星期二、星期三、星期
四、星期五、星期六”的顺序重复出现。
（二）周期的基本要素
1.周期单元：指重复出现的最小部分，是构成周期现象的基本单位。例如，排列“红、黄、
蓝、红、黄、蓝……”中，“红、黄、蓝”是重复出现的最小单元，即周期单元。
2.周期长度：指一个周期单元包含的元素个数。例如上述排列中，周期单元“红、黄、蓝”
包含3个元素，因此周期长度为3。
考点二、周期规律的确定
（一）观察与识别周期单元
确定周期规律的关键是找出重复出现的最小单元，具体步骤如下：
1.观察排列顺序：从给定的排列（如图形、颜色、数字等）中，按顺序观察元素的排列特点，寻找重复出现的片段。
2.验证重复性：确认找到的片段是否从第一个元素开始，连续重复出现，且没有其他额外元
素插入。若片段重复出现，则该片段为周期单元。
(1)示例：排列“△○□△○□△○□……”中，从第一个元素“△”开始，“△○□”依次
重复出现，因此周期单元为“△○□”。
（二）确定周期长度
在明确周期单元后，数出周期单元中包含的元素个数，即为周期长度。例如：
1.周期单元为“☆△△”，包含3个元素，周期长度为3；
2.周期单元为“1、2、3、4”，包含4个元素，周期长度为4。
考点三、周期问题的解决步骤
（一）核心思路
解决周期问题的核心是通过计算总数量中包含的完整周期数和剩余元素个数，确定所求位置
的元素。
（二）具体步骤
1.确定周期单元和周期长度：根据题目给出的排列，找出重复的周期单元，并明确周期长度
（记为“n”）。
2.计算总数量包含的完整周期数和余数：用总数量（记为“m”）除以周期长度“n”，得到商
（记为“q”，表示完整周期数）和余数（记为“r”，表示剩余元素个数），即：m ÷ n = q……
r（0 ≤ r < n）。
3.根据余数确定结果：
(1)若余数r = 0：表示总数量刚好包含q个完整周期，所求位置的元素是周期单元的最后一个
元素。
(2)若余数r ≠ 0：表示总数量包含q个完整周期后，还剩余r个元素，所求位置的元素是周期
单元中第r个元素（从1开始数）。
（三）注意事项
1.计算时需确保周期单元识别准确，避免因周期单元判断错误导致结果偏差。
2.余数的取值范围是0 ≤ r < n，计算时需注意除法运算的正确性。
3.若排列中存在非周期部分（如开头或结尾有不重复的元素），需先排除非周期部分，再对
剩余周期部分进行计算。例题讲解
题型一、周期问题
【例题 1】按 ……这样
的规律排列，第23个图形是( )，前51个图形中 有( )个， 有( )个。
【答案】 △ 21 10
【分析】按○○△△☆顺序依次排列，则这5个图形为一组，那么就用23÷5得出结果商是有
第几组这样图形，余数是第几组后面第几个图形；51÷5求出有几组这样的图形，有余数就再
数一组的第一个，已知一组里有2个○，用组数乘2，余下的一个是新的一组的第一个也是○，
那么就再加1即可；同理，一组里有1个☆，那么就用组数×1即可；据此可解此题。
【详解】根据分析可得：
23÷5＝4（组）……3（个）
则第23个图形是△
51÷5＝10（组）……1（个）
10×2＝20（个）
20＋1＝21（个）
则前51个图形中○有21个
10×1＝10（个）
☆有10个
综上可知，第23个图形是△，前51个图形中，○有21个，☆有10个。
【练习1】有一列数按“6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1…”的顺
序排列，第38个数字是( )，前38个数字的和是( )。
【答案】 5 137
【分析】观察题目可知，这列数按照“6、5、4、3、2、1”循环重复出现，6个数字为一个周
期，求第38个数字可以用38除以6，商是6，余数是2，有6个完整的周期，多的两个数是6
和5；求前38个数字的和，可以先算出一个周期的数字之和，再乘周期数量，最后加上余下
的6和5；据此即可解答。
【详解】由分析可知：6个数字是一个周期。38÷6＝6……2
有6个完整的周期，多2个数，一个周期第2个数是5，所以第38个数字是5；
（6＋5＋4＋3＋2＋1）×6＋6＋5
＝21×6＋6＋5
＝126＋6＋5
＝132＋5
＝137
所以前38个数的和是137。
故有一列数按“6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1…”的顺序排列，
第38个数字是5，前38个数字的和是137。
专项训练
练习一、周期问题
1．○□□△○□□△○□□△……第37个图形是（ ）。
A．○ B．☐ C．△
【答案】A
【分析】观察图形排列顺序，○□□△每4个图形重复一次，计算第37个图形是什么，也就
是看这4个图形重复了几次，37÷4＝9……1；这4个图形重复了完整的9次还余1，说明第
37个图形是○。
【详解】观察图形排列，周期是4，按照○□□△的顺序重复。
37÷4＝9……1
余数为1，对应周期中的第一个图形，即○。
所以○□□△○☐☐△○□□△……第37个图形是○。
故答案为：A
2．“142857”是一组神奇的走马灯数，小明把这组数按照142857142857…排成一排，数字（
）排在第32个。
A．4 B．2 C．1
【答案】A【分析】按照142857142857…排成一排，可知是6个数字为一组，用32除以6通过余数可知
第32个数字在一组中的第几个，据此判断。
【详解】32÷6＝5……2
第32个数字在一组中的第2个，所以是数字4。
故答案为：A
3．国庆期间，园林工人在幸福广场上摆放鲜花，每3盆一组，每组按“红花、黄花、蓝花”
的顺序排列，第46盆花是（ ）花。
A．红 B．黄 C．蓝
【答案】A
【分析】每3盆一组，用46除以3可算出有几组，根据余数判断是什么颜色。
【详解】46÷3＝15（组）……1（盆）
余数是1朵，说明是第16组的第1盆，所以第46盆是红花。
故答案为：A
4．“我们爱阜宁我们爱阜宁我们爱阜宁……”根据这样的排列规律，第64个字是( )，
在这64个汉字中，“爱”有( )个。
【答案】 阜 13
【分析】观察发现是以“我们爱阜宁”5个字为一组进行循环的，用64除以5计算出的商为
组数，余数是几也就是一组中的第几个字；
“爱”字在一组中的第3个，余数如果大于或等于3，说明余数中有1个“爱”字；因为每组
中都有一个“爱”字，那么用组数乘1，再加上余数中的1个“爱”字，计算出“爱”字的总
个数，据此解答。
【详解】根据分析：
64÷5＝12（组）……4（个）
一组中的第4个字是“阜”，所以根据这样的排列规律，第64个字是阜；
4＞3
12×1＋1
＝12＋1
＝13（个）
所以在这64个汉字中，“爱”有13个。
5．2025年1月1日是星期三，1月28日是除夕，那么除夕这一天是星期( )。【答案】二
【分析】根据题意，1月1日是星期三，1月28日是除夕，先用28－1求出一共经过了多少天，
一周有7天，用经过的天数除以7，如果正好能被整除则除夕这一天也是星期三，如果有余数
则余数是几就是星期三之后的第几天，据此填空即可。
【详解】28－1＝27（天）
27÷7＝3（周）……6（天）
星期三之后的第六天是星期二。
2025年1月1日是星期三，1月28日是除夕，那么除夕这一天是星期二。
6．按规律在（ ）里画出每组的第38个图形。
(1)▲●■▲●■▲●■……( )……
(2)●△△●★●△△●★……( )……
(3)◇○◇☐◇◇○◇☐◇◇○◇☐◇……( )……
【答案】(1)●
(2)△
(3)◇
【分析】（1）观察图形序列“▲●■▲●■▲●■……”，可知“▲●■”为一个循环周期，
周期长度为3。38÷3＝12……2，其中商12表示有12个完整周期，余数2表示第38个图形是
下一个周期的第2个图形。所以第38个图形是●。
（2）观察图形序列“●△△●★●△△●★……”，可知“●△△●★”为一个循环周期，
周期长度为5。38÷5＝7……3，其中商7表示有7个完整周期，余数3表示第38个图形是下
一个周期的第3个图形。所以第38个图形是△。
（3）观察图形序列“◇○◇☐◇◇○◇☐◇◇○◇☐◇……”，可知“◇○◇☐◇”为一个
循环周期，周期长度为5。38÷5＝7……3，其中商7表示有7个完整周期，余数3表示第38
个图形是下一个周期的第3个图形。所以第38个图形是◇。
【详解】（1）▲●■▲●■▲●■……（●）。
（2）●△△●★●△△●★……（△）。
（3）◇○◇☐◇◇○◇☐◇◇○◇☐◇……（◇）。
7．按照★□00★□00★□00…这样的规律排列，第60个图形是( )，前102个图形中有
( )个★。【答案】 0 26
【分析】序列“★□00”每4个图形重复一次。第60个图形是周期中的第4个图形（因为
60÷4＝15（组），对应周期最后一个图形）。前102个图形中，102÷4＝25（组）……2
（个），有25个完整周期和2个余下图形，每个周期有1个★，余下图形中有1个★，因此
总★数为26。
【详解】序列以“★□00”为一组，每组4个图形，循环排列。
第60个图形：60÷4＝15（组），所以是第4个图形，即0。
前102个图形中★的数量：102÷4＝25（组）……2（个）。25组有25个★（每组1个★）。
余下2个图形是第101个和第102个，第101个是★，第102个是□，所以余下图形中有1个
★。总★数：25＋1＝26（个）。
按照★□00★□00★□00…这样的规律排列，第60个图形是0，前102个图形中有26个★。
8．如图，乐乐串了一些黑白相间的珠子，中间有一部分被挡住了，被挡住的部分( )色
珠子多：如果整串有16颗白珠子，那么盒子里有( )颗黑珠子。
【答案】 黑 13
【分析】观察这些珠子，每组有2个珠子，按照1黑1白这样的规律排列。观察被挡住部分
的前面珠子颜色和后面珠子颜色，即可知道被挡住的部分哪种颜色的珠子多。
整串白珠子有16颗，说明按照1黑1白这样的规律排列了16组，也就是黑珠子有16颗，再
加上最后的一颗珠子也是黑色的，所以整串有黑珠子16＋1＝17颗，再减去盒子外看得见的4
颗黑珠子，就可以求出盒子里黑珠子的个数了。
【详解】被挡住部分前面珠子是白色，说明被挡住部分第一个珠子是黑色；被挡住部分后面
珠子是白色，说明被挡住部分最后一个珠子是黑色，因此，被挡住部分黑色珠子多。
16＋1＝17（颗）
17－4＝13（颗）
综上所述，乐乐串了一些黑白相间的珠子，中间有一部分被挡住了，被挡住的部分黑色珠子
多：如果整串有16颗白珠子，那么盒子里有13颗黑珠子。
【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组。
9．“六一”儿童节用彩色小灯泡布置教室，按“一蓝、三红、二黄、二绿”的规律连接起来，
第100个灯泡是( )色。【答案】红
【分析】8个灯泡一个循环周期，分别按照“一蓝、三红、二黄、二绿”的规律，循环排列，
用100除以8算出余数，余数是几就是第几个灯泡。
【详解】100÷8＝12……4
所以，第100个灯泡是第13周期里的第4个灯泡，是红色。
10．一本童话书，每两页插图中间有3页文字，如果第一页是插图，那么第75页是(
)，在75页中插图一共有( )页。
【答案】 文字 19
【分析】根据题意可知这本书3页文字前后各有1页插图，也就是说这本书是按“1页插图3
页文字”的规律重复排列的，把“1页插图3页文字”看作一个周期，用75除以一个周期，
余数是1就是插图，没有余数或余数不是1就是文字；计算75页中含有多少个这样的周期，
即可算得插图有多少页。据此列式解答即可。
【详解】75÷（1＋3）
＝75÷4
＝18（组）……3（页）
插图：18×1＋1
＝18＋1
＝19（页）
一本童话书，每两页插图中间有3页文字，如果第一页是插图，那么第75页是文字，在75
页中插图一共有19页。
11．“ 拍”歌曲的强弱规律如下图，第22拍是( )拍，这时 有( )个。
【答案】 弱 6
【分析】
曲子按照 为一组重复排列，所以用22除以每组的数量。如果能除尽，则
是这一组的最后一拍，如果不能除尽，余数是几，就看下一组的第几个。求有几个 ，就看有这样的几组，每组里面有 1个 。再看余数是几，里面有几个 。用
组数×1＋几就是 的个数。
【详解】22÷4＝5（组）……2（个）
5×1＝5（个）
5＋1＝6（个）
余数2对应的分别是 ，○对应的是弱拍。所以，第22拍是弱拍，这时 有6个。
12．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光（□表示亮的， 表示暗的）。照这
样规律第32秒是( )的，第48秒是( )的。
【答案】 暗 亮
【分析】这盏照明灯是按照亮、暗、亮样的规律发出亮光的，每3秒为一组。用32除以3，
算出商和余数，商是几，就是按这样的规律发光几组，余数是几，就是这一组规律中的第几
秒发出的亮光。用48除以3，算出商和余数，商是几，就是按这样的规律发光几组，余数是
几，就是这一组规律中的第几个，没有余数，则是这一组规律中的最后一秒发出的亮光。
【详解】32÷3＝10（组）……2（秒），第32秒是暗的。
48÷3＝16（组），第48秒是亮的。
海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光（□表示亮的， 表示暗的）。照这样规律
第32秒是暗的，第48秒是亮的。
13．某商厦开业，门口挂的彩旗排列如下图。
从左边起第21面彩旗是什么颜色？第32面呢？
【答案】蓝色；黄色
【分析】观察发现彩旗是3面为一组排列的，排列的顺序为：红色、黄色、蓝色；求第21面
彩旗是什么颜色，用21除以3计算出的结果没有余数，那么就是一组中最后一面的颜色；求
第32面彩旗是什么颜色，用32除以3计算出的结果有余数，余数是几就是一组中的第几面
颜色；据此解答。【详解】21÷3＝7（组）
一组中最后一面为蓝色
32÷3＝10（组）……2（面）
一组中第2面为黄色
答：从左边起第21面彩旗是蓝色，第32面是黄色。
14．有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5，…
(1)第26个数是几？
(2)这26个数的和是多少？
【答案】(1)3
(2)76
【分析】（1）根据题意可知，1，3，5这三个数字为一组一直循环，用26÷3如果正好能整
除，则第26个数是每组的最后一个数字，如果有余数则余数是几就是每组的第几个数字。
（2）26÷3求出的商即为组数，先用1＋3＋5求出每组的和，然后乘组数，最后加上单独的
数字即可求出这26个数的和是多少。
【详解】（1）（1）26÷3＝8（组）……2（个）
每组的第二个数字是3。
答：第26个数是3。
（2）（1＋3＋5）×8＋1＋3
＝9×8＋1＋3
＝72＋1＋3
＝76
答：这26个数的和是76。
15．有同样大小的红、黄、蓝珠子共150颗，按3颗红珠子、2颗黄珠子、1颗蓝珠子的顺序
排列。
(1)第122颗珠子是什么颜色？
(2)这150颗珠子中黄珠子共有多少颗？
【答案】(1)红色
(2)50颗
【分析】周期规律分析：珠子按“3红、2黄、1蓝”的顺序排列，一个周期包含3＋2＋1＝6
颗珠子。解题核心是通过除法计算余数，确定指定位置珠子在周期中的位置；再通过周期数计算黄珠子的总数。
（1）第122颗珠子颜色：用122除以周期数6，根据余数判断颜色。
（2）150颗珠子中黄珠子数量：先算150颗珠子包含多少个完整周期，再用周期数乘每个周
期里黄珠子的数量。
【详解】（1）计算周期数：3＋2＋1＝6（颗）
122÷6＝20（个）……2（颗）
余数为2，说明第122颗珠子是第21个周期里的第2颗，对应周期内“3红”的第2颗，即红
色。
答：第122颗珠子是红色。
（2）150÷6＝25（个）
每个周期有2颗黄珠子，总数为：25×2＝50（颗）
答：黄珠子共有50颗。
