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第 6 讲 分式方程 答案解析（教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一、分式方程的概念
1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 如 等这样的方程叫做分式方程.
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
知识点二、分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思想：
将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形
时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，
所以解分式方程时必须验根（检验）.
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，
再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简
公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3. 解分式方程的增根
（1）增根的定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为
0，对于整式方程来说, 求出的根成立, 而对于原分式方程来说，分式无意义, 所以这个根是原分式方程的
增根.
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程
本身无解，当然原分式方程就一定无解。
知识点三、列分式方程解决问题
1.分式方程解应用题的一般步骤：
①审题（找等量关系）；
②设未知数；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（检验是否为增根，是否符合实际问题）；
⑥答。
2.分式方程中常见等量关系：
（1）利润问题：总价=单价×数量，利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%；
（2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
（3）行程问题：路程＝速度×时间.
第二部分：考点突破
考点1分式方程的相关概念
第 1 页 共 31 页1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 无解，那么实数 的值是
（ ）
A． B． C． 或 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将
原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【详解】解：方程去分母，得： ，
整理，得： ；
∵原方程无解，
∴①整式方程无解，则： ，解得： ；
②分式方程有增根，则： ，解得： ；
把 代入 ，得： ，解得： ；
综上： 或
故选C．
2．（2023·山东淄博·中考真题）已知 是方程 的解，那么实数 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将 代入方程，即可求解．
【详解】解：将 代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将 代入原方程中得到关于 的方程．
3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于 的分式方程 解为负数，则 的值为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于 的表达式，再结合解为负
第 2 页 共 31 页数及分母不为零的条件确定 的范围．
【详解】解： ，
得 ，
得 ，
解得： ，
根据题意，解 ，
即 ，
解得： ，
分母 ，
即 ，
即 ，
解得： ，
，
故选：A．
4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分
式方程 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解
分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得： ，
第 3 页 共 31 页∵关于x的不等式组 至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为 ．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当 时，解集包含 ，
此时 ．
分式方程 化简为： ，
解得 ．
要求解为正整数且 ，则 为大于等于2的整数，
即 为大于等于6的偶数．
∵ ，
∴ 或8，
当 时，不等式组的解集为 ，整数解为 ，满足条件．
当 时，不等式组的解集为 ，整数解为 ，满足条件．
则所有满足条件的整数 之和为 ，
故选：B．
5．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．0或2 D． 或3
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；
将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求
解即可．
【详解】解：原方程两边同乘 ，得：
化简得： ，
即 ；
当整式方程无解时：即当 且 时，即 ，此时方程无解；
第 4 页 共 31 页当解为增根时：即当解 时，
解得 ，此时 使原方程分母为零，无意义；
综上， 的值为 或 ；
故选：D．
6．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方
程两边乘 ，化为整式方程，求出 ，再根据解是正数得到 且 ，即可求解．
【详解】解：方程两边乘 ，得 ，
解得： ，
方程 的解是正数，
且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去
分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得， ，
整理得， ，
当 时，方程无解，
当 时，令 ，
解得 ，
所以关于x的分式方程 无解时， 或 ．
故选：A．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取
第 5 页 共 31 页值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程
的解是负数得到 ，并结合分式方程的解满足最简公分母不为 ，求出 的取值范围即可，熟练掌
握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程的解是负数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程
解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程 的解为正数，
∴ ，
第 6 页 共 31 页∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 且 ，
故选： ．
10．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
11．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程 无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
根据题意，解分式方程，得到 ，由题意得到原方程无解，故 是原方程的增根，由
，得到 ，由此得到答案．
第 7 页 共 31 页【详解】解： ，
去分母：方程两边同时乘以 ，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由 ， ，
，
，
故答案为： ．
12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数 的值即可．
【详解】解： ，
化简得： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
由方程的解是正整数，得到 为正整数，即 或 ，
解得： 或 （舍去，会使得分式无意义）．
故答案为： ．
第 8 页 共 31 页13．（2024·重庆·中考真题）若关于 的不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方
程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于 的一元一次不
等式组至少有两个整数解，确定 的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得
，由分式方程的解为非负整数，确定 的取值范围 且 ，进而得到 且 ，根
据范围确定出 的取值，相加即可得到答案．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得 ，
解方程 ，得 ，
关于 的分式方程的解为非负整数，
且 ， 是偶数，
解得 且 ， 是偶数，
且 ， 是偶数，
则所有满足条件的整数 的值之和是 ，
故答案为：16．
14．（2024·四川达州·中考真题）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解得到
第 9 页 共 31 页或 ，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
解得： ，
∵关于 的方程 无解，
∴当 或 时，分式方程无解，
解得： 或 （经检验是原方程的解），
即 或 ， 无解．
故答案为： 或2．
15．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是
．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
考点2解分式方程
16．（2025·湖南·中考真题）将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解．
将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程．
第 10 页 共 31 页【详解】解： ．
方程两边同时乘以 ，得： ．
故选：A．
17．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去
分母．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
整理可得：
故选：A．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：
去分母，得： ，
解得： ；
经检验， 是原方程的解，
故选C．
19．（2024·海南·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可．
【详解】解：
去分得： ，
第 11 页 共 31 页解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
故选：A．
20．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【详解】解： ，
，
，
检验，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
故选：A．
21．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，
再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为 得： ，
检验：当 时，
第 12 页 共 31 页可得： ，
是原分式方程的解．
故答案为： ．
22．（2025·北京·中考真题）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
故答案为： ．
23．（2025·甘肃平凉·中考真题）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ；
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
故答案为： ．
24．（2025·四川宜宾·中考真题）分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断
即可．
第 13 页 共 31 页【详解】解： ，
去分母得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
所以，原分式方程的解为 ，
故答案为： ．
25．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方
程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得： ，即
解得： ，
检验：当 时， ，
故原方程的解为 ，
故答案为： ．
26．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解
即可，注意验根．
【详解】解：去分母，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
27．（2021·江苏连云港·中考真题）解方程： ．
【答案】无解
【分析】本题考查解分式的方程．在方程两边同乘以 得到整式方程，求解后再进行检验即可
得解．
第 14 页 共 31 页【详解】解：在方程两边同时乘 ，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴分式方程无解．
28．（2025·浙江·中考真题）解分式方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解
方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
29．（2024·青海西宁·中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．要注意解分式方程
时要检验．
先去分母，然后求解，再检验即可．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
第 15 页 共 31 页∴原方程的解为： ．
30．（2025·广东·中考真题）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步： ，
第二步： ，
第三步： ，
第四步： ．
第五步：检验：当 时， ．
第六步： 原分式方程的解为 ．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写
出你的解答过程．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．
【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式
仍然成立；
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
，
，
解得： ，
经检验， 是增根，
∴原方程无解．
考点3分式方程的实际应用
31．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人
种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为 人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
第 16 页 共 31 页【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为 人，原计划平均每
人种树 棵，实际平均每人种树 棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
32．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A， 两种货车运输化工原料，A货车比 货车每小时多运输15吨，
A货车运输450吨所用时间与 货车运输300吨所用时间相等．若设 货车每小时运输化工原料 吨，则
可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键．
设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输 吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨
的时间，列方程 ．
【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输 吨．
∵A货车运输450吨的时间为 ，B货车运输300吨的时间为 ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
33．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做
4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做 个盒子，
根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做 个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每
第 17 页 共 31 页小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做 个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分
钟”，列出方程 即可．
【详解】解：设乙每小时做 个盒子，则甲每小时做 个盒子，
由题意得： ，
故选：C．
34．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的
路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车
每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为
元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”
列出分式方程即可．
【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为 元，
根据题意得， ，
故答案为： ．
35．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某
厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元
购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为
元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰
辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多
30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】 55 1260
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数
的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，根据题意
建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为
第 18 页 共 31 页个，先求出 的取值范围，再设该网店所获利润为 元，建立 关于 的函数关系式，利用一次
函数的性质求解即可得．
【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．
设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为 个，
由题意得： ，
解得 ，
设该网店所获利润为 元，
则 ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即该网店所获最大利润为1260元，
故答案为：55；1260．
36．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人 ，机器人 搬运化工原料，机器人 比机器人 每小
时少搬运20千克，机器人 搬运800千克所用时间与机器人 搬运1000千克所用时间相等．求机器人 ，
机器人 每小时分别搬运多少千克化工原料．
【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小
时搬运 千克化工原料，根据机器人 搬运800千克所用时间与机器人 搬运1000千克所用时间相
等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运 千克化工原料，
由题意得， ，
解得 ，
第 19 页 共 31 页经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
37．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，
结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设小林跑步的平均速度为 米每秒，则小吉的平均速度为 米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比
小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．
【详解】解：设小林跑步的平均速度为 米每秒，则小吉的平均速度为 米每秒，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为： ，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
38．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会
吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每
个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的 ，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数
量多7个．
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求
该游客最多购买多少个A种挂件．
【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元
(2)该游客最多购买11个A种挂件
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答
的关键．
（1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 ，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，则购买 个B种挂件，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 元．
第 20 页 共 31 页根据题意，得 ，
解得 ，经检验 是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买 个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为 （元），
根据题意，得 ，
解得 ，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
39．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精
准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工
更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该
型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注
意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢
轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得： ．
解得： ．
经检验， 是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
40．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒
玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少
第 21 页 共 31 页50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100
个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方
案？
【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
(2)4种
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次
不等式组，是解题的关键：
（1）设B款玩偶的单价是 元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单
价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购进 款玩偶 个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过
1100元，列出不等式组，求出整数解，即可．
【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是 元，由题意，得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意；
∴ ；
答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
（2）设购进 款玩偶 个，则购进 款玩偶 个，由题意，得：
，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ，
∴ ，
故共有4种方案．
41．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器
人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态
下，该机器人的每一个机械手平均 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比
第 22 页 共 31 页用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求 的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械
手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?
【答案】(1)8
(2)至少需要6个这样的机器人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解
即可；
（2）设需要 个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴ 的值为8；
（2）解：1小时 ，
设需要 个这样的机器人，
由题意得： ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
42．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的
数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷
的数量不少于A种型号帐篷数量的 ，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费
第 23 页 共 31 页用是多少元？
【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
(2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正
确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为 元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与
用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可；
（2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷 顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少
于A种型号帐篷数量的 列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次
函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为 元．
由题意得： ，
解得：
经检验： 符合题意，
，
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元．
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷 顶，总费用为W元．
由题意得： ，
解得： ．
又 两种型号的帐篷均需购买，
．
，
，
随m的增大而减小
当 时，W取最小值， ，
此时 ，
第 24 页 共 31 页答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元．
43．（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款
书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，
求这两款书签的单价．
【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用
128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为 （元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
44．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国
有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车
一 多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
材料
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 元/辆；
二
租用B型客车，租车费用打八折．
租车公司最多提供8辆A型客车；
材料
三
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
第 25 页 共 31 页(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人
(2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关
键．
（1）设A型客车每辆载客量为 人，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设租A型客车 辆，B型客车 辆，租车总费用 ，根据材料三先求出m的取值范围，再列
出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为 人，根据题意得：
．
解之得 ．
经检验： 是方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租A型客车 辆，B型客车 辆，租车总费用 ，则
．
解之得 ．
．
∵ ，且对称轴为 ，
∴ 时， 随着 的增大而增大．
∵ 取正整数，且 ，
∴当 时， 最小值为27000（元）．
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元
45．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
第 26 页 共 31 页问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是 元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题
意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是 元，根据用1000元购买的五子棋数量和用
1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋 副，根据购买五子棋数量不超
过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函
数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是 元，根据题意得：
解得： ，
经检验 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是 元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋 副，根据题意得：
，
解得： ，
，
，
随 的增大而减小，
在 中，
为正整数，
当 时， 有最小值，最小值为 （元），
则 （副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
第 27 页 共 31 页46．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提
供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
【问题解决】
(1)问题一：求出 两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购
买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 元，按问
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2) ；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元，用18000元购买A种书架
个，用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取
值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元．
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，且符合题意，
第 28 页 共 31 页．
答： 两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用 ，
即 ，
由题意得，a应满足： ，解得 ．
，
∴w随着a的增大而增大，
当 时，w的值最小，最小值为 ，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得 ．
47．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、
航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是
用1800元购买航海模型数量的 ．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为 元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 元，根据用2000元购买航空模型的数量是
用1800元购买航海模型数量的 列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型 个，先根据航空模型数量不少于航海
第 29 页 共 31 页模型数量的 列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质
求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为 元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型 个，
由题意得， ，
解得 ，
，
∵ ，
∴y随m增大而增大，
∴当 时，y有最小值，最小值为 ，
此时有 ，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
48．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国
具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、
右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，求
四周边衬的宽度．
第 30 页 共 31 页【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出 的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，
∵ 与 的比是 ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是 ．
第 31 页 共 31 页
