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2022年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线 、 相交于点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）如图，将矩形纸片 绕边 所在直线旋转一周，得到的立体图形是
A． B．
C． D．
4．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．（4分）如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是
第1页（共21页）A． B．
C． D．
7．（4分）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度
数是
A． B． C． D．
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是14
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多 ，则这个底角的度数是
A． B． C． D．
10．（4分） 为 外一点， 与 相切于点 ， ， ，则 长为
A． B．5 C．8 D．9
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角
形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
12．（4分）已知 ， ，抛物线 顶点在线段 上运动，形
状保持不变，与 轴交于 ， 两点 在 的右侧），下列结论：
① ；
②当 时，一定有 随 的增大而增大；
③若点 横坐标的最小值为 ，则点 横坐标的最大值为3；
④当四边形 为平行四边形时， ．
其中正确的是
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算： ．
14．（4分）分解因式： ．
第2页（共21页）15．（4分）化简： ．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100
条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼
池．（填甲或乙）
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，弓形高
为2厘米，则镜面半径为 厘米．
18．（4分）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，线段 在边 上左右
滑动，若 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
20．（8分）如图， 是等边三角形， 、 在直线 上， ．求证： ．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3
倍，求张老师骑车的速度．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为
四个等级，分别用 、 、 、 表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决
以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；
第3页（共21页）（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的
学生人数；
（3）某小组有4名同学， 、 等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属 等级的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图
象相交于 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，点 是直线 上一动点，若 ，
求点 的坐标．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以
．我们还可以得到 ， ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ，请证明这一结论；
（3）已知 ， ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间
的距离．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 ．测量时，使支杆
、量角器 刻度线 与铅垂线 相互重合（如图① ，绕点 转动量角器，使观测目
标 与直径两端点 、 共线（如图② ，此时目标 的仰角 ．请说明这两个
角相等的理由．
第4页（共21页）（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点 处测得树顶端 的仰角
，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米，求树高 ．
，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距地面的高度 （如图④ ，同学们经过讨论，决
定先在水平地面上选取观测点 、 、 、 在同一直线上），分别测得点 的仰角 、 ，
再测得 、 间的距离 ，点 、 到地面的距离 、 均为1.5米．求 （用 、 、
表示）．
26．（14分）已知二次函数 ．
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线
与 轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范
围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数图象
经过 ， ， 两点，试比较 、 的大小．
第5页（共21页）第6页（共21页）2022年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线 、 相交于点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角相等可得 ．
【解答】解： ， 与 是对顶角，
．
故选： ．
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（4分）如图，将矩形纸片 绕边 所在直线旋转一周，得到的立体图形是
A． B．
C． D．
【分析】将矩形纸片 绕边 所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到
的立体图形是圆体．
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片 绕边 所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．
故选： ．
4．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据有理数的乘方判断 选项；根据平方差公式判断 选项；根据同底数幂的除法判
断 选项；根据零指数幂判断 选项．
第7页（共21页）【解答】解： 、原式 ，故该选项不符合题意；
、原式 ，故该选项符合题意；
、原式 ，故该选项不符合题意；
、原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
5．（4分）如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【分析】菱形的对角线相互平分可知点 与 关于原点对称，从而得结论．
【解答】解： 四边形 是菱形，
，即点 与点 关于原点对称，
点 ，
点 的坐标是 ．
故选： ．
6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项 ， ， 都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项 能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
故选： ．
7．（4分）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度
数是
第8页（共21页）A． B． C． D．
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到 的度数，再根据三角形内角和可以求得
的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到 的度数．
方法二：根据 是 的直径，可以得到 ，再根据 和三角形内角和，
可以得到 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到 的度数．
【解答】解：方法一：连接 ，如图所示，
，
，
，
，
，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
故选： ．
方法二： 是 的直径，
，
，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
故选： ．
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是14
【分析】分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
【解答】解： 选项，平均数 （岁 ，故该选项不符合题意；
选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数 （岁 ，故该选
项不符合题意；
选项，方差 ，故该选项不符合题意；
选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；
故选： ．
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多 ，则这个底角的度数是
第9页（共21页）A． B． C． D．
【分析】设底角的度数是 ，则顶角的度数为 ，根据三角形内角和是 列出方程，
解方程即可得出答案．
【解答】解：设底角的度数是 ，则顶角的度数为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
故选： ．
10．（4分） 为 外一点， 与 相切于点 ， ， ，则 长为
A． B．5 C．8 D．9
【分析】根据切线的性质得到 ，根据含30度角的直角三角形的性质得到 的值，
根据勾股定理即可求解．
【解答】解：方法一：如图， 与 相切于点 ，
，
又 ， ，
，
．
故选： ．
方法二：在 中， ，
．
故选： ．
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角
形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解答】解：方案1：设 米，则 米，
第10页（共21页）则菜园面积 ，
当 时，此时菜园最大面积为8米 ；
方案2：当 时，菜园最大面积 米 ；
方案3：半圆的半径 ，
此时菜园最大面积 米 米 ；
故选： ．
12．（4分）已知 ， ，抛物线 顶点在线段 上运动，形
状保持不变，与 轴交于 ， 两点 在 的右侧），下列结论：
① ；
②当 时，一定有 随 的增大而增大；
③若点 横坐标的最小值为 ，则点 横坐标的最大值为3；
④当四边形 为平行四边形时， ．
其中正确的是
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【分析】根据顶点在线段 上抛物线与 轴的交点坐标为 可以判断出 的取值范围，
得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定 时，点 的横坐标取得最大
值，然后根据二次函数的对称性求出此时点 的横坐标，即可判断③正确；令 ，利用根
与系数的关系与顶点的纵坐标求出 的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且
相等可得 ，然后列出方程求出 的值，判断出④正确．
【解答】解： 点 ， 的坐标分别为 和 ，
线段 与 轴的交点坐标为 ，
又 抛物线的顶点在线段 上运动，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
，（顶点在 轴上时取“ ” ，故①正确；
抛物线的顶点在线段 上运动，开口向上，
当 时，一定有 随 的增大而增大，故②错误；
若点 的横坐标最小值为 ，则此时对称轴为直线 ， 点的横坐标为 ，则 ，
抛物线形状不变，当对称轴为直线 时， 点的横坐标为3，
点 的横坐标最大值为3，故③正确；
令 ，则 ，
，
根据顶点坐标公式， ，
第11页（共21页），即 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
解得 ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选： ．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算： 2 ．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解： ，
．
故答案为：2．
14．（4分）分解因式： ．
【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
15．（4分）化简： ．
【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．
【解答】解：
，
故答案为： ．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100
条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 甲
第12页（共21页）鱼池．（填甲或乙）
【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小
即可．
【解答】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为： （条 ，
乙鱼池中的鱼苗数量约为： （条 ，
，
初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，弓形高
为2厘米，则镜面半径为 2 6 厘米．
【分析】根据题意，弦 长20厘米，弓形高 为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求
得圆的半径．
【解答】解：如图，点 是圆形玻璃镜面的圆心，连接 ，则点 ，点 ，点 三点共线，
由题意可得： ， （厘米），
设镜面半径为 厘米，
由题意可得： ，
，
镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
18．（4分）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，线段 在边 上左右
滑动，若 ，则 的最小值为 ．
【分析】利用已知可以得出 ， 长度不变，求出 最小时即可得出四边形
周长的最小值，利用轴对称得出 ， 位置，即可求出．
【解答】解：如图，作 关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于 ，
在 上截取 ，此时 的值最小，
第13页（共21页）， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， 为边 的中点，
， ，
由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：由不等式 ，解得： ，
由不等式 ，解得： ，
不等式组的解集为： ，
在数轴上表示不等式组的解集为：
20．（8分）如图， 是等边三角形， 、 在直线 上， ．求证： ．
【分析】要证明 ，只要证明 即可，根据等边三角形的性质和 可以
证明 ，本题得以解决．
【解答】证明： 是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
第14页（共21页）自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3
倍，求张老师骑车的速度．
【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间 汽车用的时间 ，即可列出相应的分式方程，
然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：设张老师骑车的速度为 千米 小时，则汽车的速度为 千米 小时，
由题意可得： ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米 小时．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为
四个等级，分别用 、 、 、 表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决
以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的
学生人数；
（3）某小组有4名同学， 、 等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属 等级的概率．
【分析】（1）利用抽查的学生总数 等级的人数 对应的百分比计算，即可求 等级的人
数；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于 4小时的学生所占
的百分比，即可求解；
（3）设 等级2人分别用 ， 表示， 等级2人分别用 ， 表示，画出树状图，即可求
解．
【解答】解：（1） ，
等级的人数 （人 ，
条形统计图补充如下：
第15页（共21页）（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于 4 小时的学生人数
（人 ，
估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设 等级2人分别用 ， 表示， 等级2人分别用 ， 表示，随机选出2人向老师
汇报兴趣活动情况的树状图如下：
共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属 等级有2种，
所求概率 ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图
象相交于 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，点 是直线 上一动点，若 ，
求点 的坐标．
【分析】（1）先把 代入反比例函数 求出 的值即可得出其函数解析式，再把
代入反比例函数的解析式即可得出 的值，把 ， 两点的坐标代入一次函数
，求出 、 的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定 的长和点 的坐标，由 可得 ，从而得点 的坐标．
【解答】解：（1） 在反比例函数 的图象上，
，
其函数解析式为 ；
第16页（共21页）在反比例函数的图象上，
，
，
．
， 两点在一次函数 的图象上，
，解得 ，
一次函数的解析式为： ；
（2） 直线 轴， ，
， ，
，
，
点 是直线 上一动点，
或 ．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以
．我们还可以得到 ， ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ，请证明这一结论；
（3）已知 ， ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间
的距离．
【分析】（1）由推动矩形框时，矩形 的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形 是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理可求 的长，由相似三角形的性质可求解．
【解答】（1）解： 把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
矩形 的各边的长度没有改变，
， ， ，
故答案为： ， ；
（2）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
；
（3）如图，过点 作 于 ，
第17页（共21页），点 是 的中点，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
与 之间的距离为 ．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 ．测量时，使支杆
、量角器 刻度线 与铅垂线 相互重合（如图① ，绕点 转动量角器，使观测目
标 与直径两端点 、 共线（如图② ，此时目标 的仰角 ．请说明这两个
角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点 处测得树顶端 的仰角
，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米，求树高 ．
，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距地面的高度 （如图④ ，同学们经过讨论，决
定先在水平地面上选取观测点 、 、 、 在同一直线上），分别测得点 的仰角 、 ，
再测得 、 间的距离 ，点 、 到地面的距离 、 均为1.5米．求 （用 、 、
表示）．
第18页（共21页）【分析】（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出 的长；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 、 、 的式子表示出 ．
【解答】解：（1） ， ，
，
；
（2）由题意可得，
米， 米， ， ，
，
，
解得 ，
（米 ，
即树高 为10.2米；
（3）由题意可得，
， 米，
由图可得， ， ，
， ，
，
，
，
米．
26．（14分）已知二次函数 ．
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线
与 轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范
围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数图象
经过 ， ， 两点，试比较 、 的大小．
第19页（共21页）【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解；
（2）由题意画出图象，结合图象可求解；
（3）结合题意分别求出 ， ，将点 ，点 坐标代入可求 ， 的值，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
顶点坐标为 ，
当 时，则 ，
， ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ， ；
（2）如图，
当 时， ，
第20页（共21页）， ，
由图象可得：当 时， ；
（3） 且 ，
， ， ，一元二次方程 必有一根为 ，
一元二次方程 两根之差等于 ，
方程的另一个根为 ，
抛物线 的对称轴为：直线 ，
，
，
，
，
， ， ， ，
，
抛物线解析式为： ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
，
，
，
，
，
．
第21页（共21页）
