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菱形的判定
一、选择题
1. 下列条件能判断四边形 是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．对角线互相垂直且平分
2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为
（ ）
A．矩形． B．菱形． C．矩形和菱形． D．正方形．
3. 满足下列（ ）的是菱形．
A．两对角线相等
B．两对角线垂直
C．两条对角线垂直且互相平分
D．两条对角线相等且互相垂直
4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（
）
A．等腰梯形 B．矩形 C．对角线相等 D．菱形
5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部
分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．矩形B．三角形 C．正方形 D．菱形
6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形
是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
8. 已知四边形 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．
1 / 11B．
C． 时，它是菱形
D．当 时，它是矩形
二、填空题
9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是 ．
10. 在四边形 中，对角线 、 交于点 ，从（1） ；（2）
；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 平分 这六
个条件中，选取三个推出四边形 是菱形．如（1）（2）（5） 是菱形，
再写出符合要求的两个： 是菱形；
是菱形．
11. 延长等腰 顶角平分线 到 使 ，连结 ，则四边形
是_________形．
12. 对角线__________的四边形是菱形．
13. 将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与B重合，得
F
矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，则四边形BMDN是______（填特殊四 A M D
边形的名称）．
B C
N
三、证明题 E
14. 已知，如图，从菱形 对角线的交点 分别向各边引垂线，垂线分别是
， ， ．
Ｄ
求证：四边形 是矩形． Ｈ Ｇ
Ｏ
Ａ Ｃ
Ｅ Ｆ
Ｂ
15. 已知四边形 的四边分别为 ， ， ， ，且满足 ，
求证：四边形 是菱形．
2 / 1116. 已知 是对角线 相交于 ，如图，且 ，
，你能说明四边形 是菱形吗？
Ｄ Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
17. 如图所示， 中， ， 的角平分线 交 于点 ，
交 于 ， 于 ，四边形 是菱形吗？
Ａ
Ｅ
Ｄ Ｈ
Ｆ
Ｃ Ｂ
18. 如图，在五边形 中， ．请说
明：四边形 是菱形．
Ｅ Ｄ
Ａ
Ｃ
19. 如图，在 中， 是 的平分线， Ｂ垂直平分 交 于 ，交
于 ，求证：四边形 是菱形． Ａ
Ｅ
Ｏ Ｆ
3 / 11 Ｂ Ｄ Ｃ20. 如图，矩形 中， 是两对角线的交点， 垂直平分线段 ，垂足为 ，
垂直平分线段 ，垂足为 ．
求证：（1） 是等边三角形；
（2）四边形 是菱形．
Ａ Ｈ Ｄ
Ｇ
Ｏ
Ｅ
Ｂ Ｆ Ｃ
21. 如图，矩形 中， 是 与 的交点，过 点的直线 与 ， 的
延长线分别交于 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 与 满足什么条件时，四边形 为菱形？并证明你的结论．
Ｆ
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｂ Ｃ
Ｅ
22. 如图所示， 是Rt△ 斜边 上的高， 的平分线交 于 ，交
于 ， 的平分线交 于 ．求证：四边形 为菱形．
Ａ
Ｅ
Ｏ
Ｍ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｎ
4 / 1123. 如图所示，在四边形 中，对边 ， ， ， ， 分别是 ，
， 的中点，求证： ．
A M D
P
Q
B N C
24. 如图，四边形 中，点 在 上，且△ 与△ 都是正三角形，点
， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点．求证：四边形 为菱形
Ｄ
Ｍ
Ｃ
Ｎ
Ｑ
A P Ｅ Ｂ
25. 如图，四边形 中， ， 为 中点，且 与
的平行线 交于 ，求证：四边形 为菱形．
Ａ
Ｄ
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
5 / 1126. 如图Rt△ 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，
交 于 ， 于 ，求证：四边形 为菱形．
Ａ
Ｅ Ｇ
Ｂ Ｆ Ｄ Ｃ
27. 的对角线的垂直平分线与边 分别交于 ，求证：四边
形 是菱形．
A E
D
O
B F C
28. 已知： 如图，过 的对角线交点 作互相垂直的两条直线 与
平行四边形 各边分别相交于点 ．
求证：四边形 是菱形．
E
A
D
F
H
O
B
C
G
6 / 1129. 如图，在 中，O是对角线AC的中点，
过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形．
四、应用题
30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加
一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．
7 / 11参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. C
5. D
6. C
7. B
8. B
二、填空题
9. 菱形
10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)]
11. 菱
12. 互相平分且垂直
13. 菱形
三、证明题
14. 先证四边形 为平行四边形，再证 ．
15. 解：因为 ，所以 ，所以
所以
由非负
数性质得， ， ， ，
， ， ．
所以 ．
所以四边形 是菱形．
8 / 1116. 解： 四边形 是平行四边形， ．
．
又 ．
是菱形．
17. 解：四边形 是菱形．理由如下：
．
即： ．
又 是角平分线，
，
且
四边形 是平行四边形，又因 ．
四边形 是菱形．
18. 提示：只需证四边形 为平行四边形，只需证明 ，过 作
经证 即可．
19. 垂直平分 ， ， ，
平分 ， ， ， ，故
四边形 是菱形．
20. （1）可证 ， ， ．
垂直平分 ， ，故 为等边三角形．
（2）在等边 中， ， ，
可证明 ， ， ，
9 / 11可证明四边形 是平行四边形，而 ，故四边形 是菱形．
21. （1） 在矩形 中， ， ， ，又
， ．
（2）当 与 垂直时，四边形 为菱形．
证明： ， ．
又 ， 四边形 为平行四边形．
又 ， 四边形 为菱形．
22. 证明：设 与 交于点 ，因为 是Rt△ 斜边 上的高，
所以 ．
又 ， 分别平分 和 ，
所以 ．
所以在Rt△ 中， ，△ 是等腰三角形， 平分 ，
又因为 ， ，
所以Rt△ Rt△ ， ，即 垂直平分 ，四边形 是菱
形．
23. 证明四边形 是菱形即可．
24. 连结 ， ， △ 与△ 都是正三角形， ， ，
， 证△ △ （
） ，又 ， ， ， 分别为各边中点，得 ，
. 四边形 为菱形．
25. 设 与 交于 ，易证 ，再证△ △ ，从而
，又由 ，可证得四边形 为菱形．
26. 易证 ，而且 ， 又
为菱形．
27. 证明： 垂直平分 ， ， ， ，
． ， ， ． ，
10 / 11， ， ， 四边形 是菱形．
28.略
29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．
四、应用题
30. 添加的条件是： ．
理由略．
11 / 11
