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专项训练七 相似
一、选择题
1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( )
A．1∶4 B．1∶2 C．1∶16 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝
5，则线段BC的长为( )
A．7.5 B．10 C．15 D．20
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝
4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A
向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC
＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是( )
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
5．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段
CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标为( )
A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．(2016·舟山中考)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线
段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( )
A. B. C．1 D.
7．(2016·丽水中考)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC上一点，BD交
AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
A．3 B．2 C．1 D．1.2
8．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇
形AOB与扇形AOB 是相似扇形，且半径OA∶OA＝k(k为不等于0的常数)．那么下面四
1 1 1 1 1
个结论：①∠AOB＝∠AOB；②△AOB∽△AOB；③＝k；④扇形AOB与扇形AOB 的面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
积之比为k2.成立的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．(2016·衡阳中考)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的
周长之比为________．
10．如图，直线l、l、…、l 是一组等距的平行线，过直线l 上的点A作两条射线，分别与
1 2 6 1
直线l、l 相交于点B、E、C、F.若BC＝2，则EF的长是________．
3 6第10题图 第11题图
11．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．
12．(2016·龙东中考)平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交BD
于点F，则EF∶FC的值是________．
三、解答题
13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的
顶点上．
(1)填空：AC＝________，AB＝________；
(2)判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由．
14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成
120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路
路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC的高度．
15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两
点．
(1)求证：PA·PB＝PD·PC；
(2)若PA＝，AB＝，PD＝DC＋2，求点O到PC的距离．16．★(2016·南充中考)已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M
在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM.
(1)如图a，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN，AM＝AN；
(2)①如图b，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，
AP⊥BN和AM＝AN是否成立？(不需说明理由)
②是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．参考答案与解析
1．B 2.C 3.D 4.C 5.B
6．D 解析：过 F 作 FH⊥AE 于 H.∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，
AB∥CD.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，∴DE＝BF，∴AF＝3－
DE.∵∠FHA＝∠D＝∠DAF＝90°，∴∠AFH＋∠HAF＝∠DAE＋∠FAH＝90°，∴∠DAE＝
∠AFH，∴△ADE∽△FHA，∴＝，∴AE＝AF.∵AE＝，∴＝3－DE，∴DE＝.
7．C 解析：∵等腰Rt△ABC中BC＝4，AB为⊙O的直径，∴AC＝4，AB＝4，∠D＝90°.
在 Rt△ABD 中，∵AD＝，AB＝4，∴BD＝.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE.∵AD∶BC＝∶4＝1∶5，∴△ADE和△BCE的相似比为1∶5.设AE＝x，
∴BE＝5x，∴DE＝－5x，∴CE＝28－25x.∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1.
8．D 解析：由扇形相似的定义可得＝，所以n＝n，故①正确；因为∠AOB＝∠AOB，
1 1 1 1
OA∶OA＝k，所以△AOB∽△AOB，故②正确；因为△AOB∽△AOB，所以＝＝k，故③正
1 1 1 1 1 1 1 1
确；由扇形面积公式·πr2可得到④正确．
9．5∶4 10.5 11.
12.或 解析：∵AE＝AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图①所示．∵四边
形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF∶FC＝
DE∶BC.∵AE＝AD，∴DE＝AD＝BC，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶FC＝2∶3；②当点E在线
段DA的延长线上时，如图②所示．同①得△EFD∽△CFB，∴EF∶FC＝DE∶BC.∵AE＝
AD，∴DE＝AD＝BC，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶FC＝4∶3.综上所述，EF∶FC的值是或.
13．解：(1)2 2
(2)相似．理由如下：△CAB与△DEF均为等腰直角三角形，故相似．
14．解：延长OD，BC交于点P.由题意得OB＝11米，CD＝2米，∠ODC＝∠PDC＝∠B＝
90°，∠BCD＝120°，∴∠P＝30°，∴在直角△CPD中，PD＝CD·tan60°＝2米，PC＝CD÷sin30°
＝4米．∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴＝，∴PB＝＝＝11(米)，∴BC
＝PB－PC＝(11－4)米．
答：路灯灯柱BC的高度为(11－4)米．
15．(1)证明：连接AD，BC.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝
∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴＝，∴PA·PB＝PC·PD；
(2)解：连接OD，作OE⊥DC，垂足为E.∵PA＝，AB＝，PD＝DC＋2，∴PB＝16，PC＝
2DC＋2.∵PA·PB＝PD·PC，∴×16＝(DC＋2)(2DC＋2)，解得DC＝8或DC＝－11(舍去)，
∴DE＝4.∵OD＝5，∴OE＝3，即点O到PC的距离为3.
16．(1)证明：∵△PBC∽△PAM，∴∠PBC＝∠PAM.∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BC，∴∠PBC＝∠ANP，∴∠PAM＝∠ANP.∵∠PAM＋∠PAN＝90°，∴∠ANP＋
∠PAN＝90°，即AP⊥BN.∵∠ABP＝∠NBA，∠APB＝∠NAB＝90°，∴△ABP∽△NBA，∴＝，∴＝.又∵△PBC∽△PAM，∴＝，∴＝.又∵AB＝BC，∴AM＝AN；
(2)解：①点M在AB的延长线时，AP⊥BN和AM＝AN仍然成立．②选择图b，以AB为直
径，作半圆O，连接OC，OP.∵BC＝1，OB＝，∴OC＝.∵AP⊥BN，∴点P一定在以点O为圆
心，半径为的半圆上(A，B两点除外)．如果存在点P，那么OP＋PC≥OC，则PC≥.∵>，∴不
存在满足条件的点P，使得PC＝.
